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循环群最新娱乐体验_循环群的自同构群(2024年11月深度解析)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：话题更新日期：2024-11-28

循环群

姜萍数学竞赛满分秘籍曝光！在2024年阿里巴巴全球数学竞赛中，天才少女姜萍以高分夺得第12名，她的决赛题目难度极高，宛如天书。其他参赛者自曝，六道决赛题目中，仅仅做完了一道题就卡住了。以下是部分决赛题目：问题1：记Mat2(Z)为2㗲整系数矩阵环，R为子环。通过Mat2(Z)在V:=Q2上的自然左作用，将V看成一个左R-模。找出V中R-格等价类的个数（有限或无限），并证明你的答案。问题2：多项式环Clc,的一个理想I是缩放不变的，如果对于任意一对元素入,uEC(0)，由所有形如f(xc,13)的元素(f(c,3)E)生成的理想就是本身。找出Clc,中满足dimc(C(x,刘/1)=6的缩放不变的理想的个数（有限或无限），并证明你的答案。问题3：设n和d为正整数。设Fi,,Fm为C[Xo,,Xn]中次数最多为d的齐次多项式，使得V(F1,…,Fm)的元素个数至多是d"。证明这个结论。问题4：设p>5是一个素数。证明方程(-1)/2I(x-2os(2rk/p)Y)=pP人=1没有整数解。问题5：设H是GL4(R)的由矩阵(a,bc≥0)生成的幺半子群。选取元素yi,iEH(i=1,2,3)使得序列(six)21收敛。证明：存在(1,2,3,)的一个无穷子序列(in)n≥1，使得序列(Jis)n21与(2zi)n>1均收敛。问题6：设p是一个素数。考虑半直积群G=LxH，其中L是一个循环p-群，H是一个有限循环群，以及一个有限生成的Fp[H]-模M，满足Hom(L,Ends,(M)=0。假设我们有一个Fp[]-模分解M=M1Mn，使得对于任意ij，Hom(Mi,Ms)=0成立。证明：对任意正整数d，以及任意(Zpz)[GJ-模N满足N@zlpzF,作为F,)(G-模同构于M，都存在唯一一个(ZpZ)GJ-模分解N=MNn，使得对于任意1≤in,N:zlz,M成立。这些题目不仅考察了参赛者的数学基础，还考验了他们的逻辑思维和创新能力。姜萍能够在这场全球顶尖的数学竞赛中脱颖而出，足以证明她的数学天赋和努力。

作业让证明一个看起来很神奇的结论，就是下面那张图第4题，每个素数阶的群都是循环群我在网上搜到的解答都是用了拉格朗日定理的，这个玩意更神奇啊我靠，子群的阶整除群的阶但我们还没学这个定理，目前只学了群子群循环群的基本概念和简单性质，别的啥也没学，网上搜到的定理证明都用了陪集之类的所以这个结论不用拉格朗日定理能证吗？毕竟这题里群的阶直接是一个素数，拉格朗日定理这么普遍的结论证这个有点大炮打蚊子吧

写出模12的剩余类加群(Z_12,+)到Z8的所有同态映射，以及Z8到Z12的同态映射。老师给我们了一个定理提示，如果有限循环群G?是有限循环群G的同态象，那么G?的阶数整除G的阶数。求各位大佬还写一下找到映射的思路