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齐次线性微分方程新上映_齐次线性微分方程和非齐次的区别(2024年11月抢先看)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：导读更新日期：2024-11-26

齐次线性微分方程

沐良课堂第十周微分方程学习心得 𐟓š 这是我在沐良课堂学习的第十周，通过77学长的介绍，我接触到了这个学习平台。这节课主要涵盖了常微分方程的基本概念，包括变量可分离的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程以及二阶带系数齐次线性微分方程等。 𐟔 我们需要掌握的内容如下：了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等基本概念。熟练掌握变量可分离的微分方程、齐次方程与一阶线性微分方程的通解与特解的求法。会用一阶微分方程求解简单的应用问题。理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构，熟练掌握二阶带系数齐次线性微分方程的解法。 𐟓 通过这些内容的学习，我深刻理解了微分方程的概念和求解方法，为后续的学习打下了坚实的基础。

𐟓š 专升本高数全攻略 𐟓– 𐟔 函数与极限：探索映射与函数的关系，深入理解数列与函数的极限，掌握无穷小与无穷大的奥秘，还有极限运算法则等你来学！ 𐟒ᠥＦ•𐤸Ž微分：导数概念、求导法则、高阶导数，还有隐函数和参数方程的导数，让你的数学思维更上一层楼！ 𐟓ˆ 微分中值定理与导数的应用：微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式，还有函数的单调性与曲线的凹凸性，助你成为数学达人！ 𐟌𑠤𘍥篥ˆ†与定积分：从不定积分的概念到定积分的换元法和分部积分法，再到反常积分，让你轻松掌握积分的精髓！ 𐟌 定积分的应用：定积分的元素法，以及在几何学和物理学上的应用，让你的数学应用能力更上一层楼！ 𐟚€ 微分方程：从可分离变量的微分方程到高阶线性微分方程，还有常系数齐次线性微分方程，让你领略微分方程的魅力！ 𐟏𙠥‘量代数与空间解析几何：向量及其线性运算、数量积、向量积，还有平面、空间直线、曲面和空间曲线的方程，让你的空间想象能力更上一层楼！ 𐟌 多元函数微分法及其应用：探索多元函数的微分法及其在经济学中的应用，让你的数学应用能力更上一层楼！ 𐟌Ÿ 重积分与曲线积分：二重积分的概念与性质、计算法，还有对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分，让你轻松掌握重积分的精髓！ 𐟒堦— 穷级数：从常数项级数的概念到函数的幂级数展开式，再到傅里叶级数，让你领略无穷级数的神奇之处！ 𐟓š 参考书目推荐：《高等数学》（第七版）上下册、《微积分》（第四版），助你顺利备考专升本高数考试！

2024年山东专升本数学大纲详解 𐟓š 2024年山东专升本数学考试大纲来啦！小伙伴们，赶紧收藏起来，按照大纲来复习吧！𐟓– 函数、极限与连续函数理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，能建立应用问题的函数关系。掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。理解分段函数、反函数和复合函数的概念。掌握函数的四则运算与复合运算。熟悉基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。了解经济学中的几种常见函数（成本函数、收益函数、利润函数、需求函数和供给函数）。极限理解数列极限和函数极限（包括左极限和右极限）的概念，理解函数极限存在与左极限、右极限存在之间的关系。掌握数列极限和函数极限的性质，熟练掌握它们的运算法则。熟练掌握两个重要极限m-=1(-)=8，并会用它们求极限。理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会比较无穷小量的阶（高阶、低阶、同阶和等价）。会求二元函数的无条件极值。二重积分理解二重积分的概念、性质及其几何意义。掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。常微分方程微分方程的定义理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解等概念。可分离变量微分方程的解法。一阶线性微分方程的解法。二阶常系数齐次线性微分方程的解法。考试形式与题型范围考试形式考试采用闭卷、笔试形式。试卷满分100分，考试时间120分钟。题型范围选择题、填空题、判断题、计算题、解答题、证明题、应用题。其他重要内容不定积分熟练掌握不定积分的基本公式。熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。掌握简单有理函数的不定积分的求法。定积分理解定积分的概念及几何意义，了解可积的条件。掌握定积分的性质及其应用。理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法。会用定积分表达和计算平面图形的面积。小伙伴们，按照这个大纲来复习，祝大家都能顺利通过考试，加油！𐟒ꀀ

2025考研数学三大纲变动解析 𐟓… 2025考研数学大纲更新啦！快来看看有哪些变化吧！ 𐟓š 数学三的考试科目包括：微积分、线性代数和概率论与数理统计。考试形式为闭卷笔试，共180分钟。试卷满分150分，分为单选题、填空题和解答题三个部分。 𐟓– 微积分部分占86分，线代部分占32分，概率部分占32分。具体考试内容如下： 1️⃣ 微分方程与差分方程：了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念，掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法，理解线性微分方程解的性质及解的结构，掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 2️⃣ 二次型：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理。掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形。理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。 3️⃣ 概率论与数理统计：了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律），了解棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维-林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布。了解经验分布函数的概念和性质。 4️⃣ 参数估计：了解参数的点估计、估计量与估计值的概念，掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。 𐟓ˆ 概率部分有一些小变动，比如将“掌握用事件独立性进行概率计算”改为“掌握用事件独立性进行概率计算的方法”。大家在复习时要注意这些细节哦！

𐟓š微分方程求解秘籍大揭秘𐟔 𐟎“同学们，你们是不是对微分方程的求解感到迷茫呢？别担心，今天我们就来一起攻克这个难题！ 𐟔首先，我们要明确常见的微分方程类型。可以直接分离的微分方程、齐次微分方程、线性微分方程...这些你都能分辨出来吗？ 𐟒᥽“你面对一个微分方程题目时，怎么思考才能避免遗漏解题格式呢？记住，关键在于判断方程类型并选择正确的求解方法。 𐟓–另外，还有一些冷门但重要的方程，如全微分方程、伯努利方程和欧拉方程等。你能尝试推导它们的解法并给出理由吗？ 𐟤”什么是齐次方程？什么又是非齐次方程？它们的解又如何关联呢？还有常系数微分方程，你应该如何假设特解呢？ 𐟒ꦜ€后，通过一些经典的选择题和判断题，我们可以进一步巩固和提升自己的微分方程求解能力。记住，理论和实践相结合才是王道！ 𐟎‰现在，你是不是对微分方程的求解有了更清晰的认识呢？加油，相信你一定能够攻克这个难题！

内蒙古专升本《高等数学Ⅰ》大纲详解 𐟓š 想要在内蒙古专升本考试中取得好成绩？那你一定要对《高等数学Ⅰ》的考试大纲了如指掌！大纲是备考的关键，掌握了它，你的复习效率将大大提升。下面，我们就来详细解析一下这份大纲。函数与极限 𐟓ˆ 掌握函数的定义和基本性质。理解函数的极限定义，掌握极限存在的条件。掌握洛必达法则，解决0/0型和∞/∞型极限问题。一元函数导数与微分 𐟓 理解导数的定义，明白函数可导与连续的关系。掌握导数的几何意义，能够求平面曲线的切线和法线方程。熟悉基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则。掌握隐函数求导法、由参数方程所确定的函数求导法。了解反函数的求导法则、对数求导法。理解高阶导数的定义，掌握显函数的二阶导数的计算方法。掌握微分的定义，理解微分的基本公式、运算法则及一阶微分形式不变性。一元函数导数的应用 𐟔犧†解微分中值定理——罗尔定理、拉格朗日定理，掌握罗必塔法则。掌握函数单调性的判定方法。理解函数极值的概念，掌握其求法。掌握函数最值的求法，会求简单的应用问题。理解曲线的凹凸性和拐点的含义，掌握其求法。了解函数作图的主要步骤。一元函数积分学 𐟓 理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质。掌握不定积分的基本积分公式。掌握不定积分的直接积分法、换元积分法与分部积分法。理解定积分的概念及其性质。理解积分变上限函数及其求导定理。掌握牛顿——莱布尼兹公式。掌握定积分的直接积分法、换元积分法和分部积分法。了解无穷限广义积分的概念，会求简单的无穷限广义积分。掌握定积分在几何及简单实际问题中的应用。空间解析几何 𐟌 了解空间直角坐标系，会求空间两点之间的距离。了解向量的概念，会进行向量的加法与数乘运算。掌握平面与空间直线的方程及它们之间的平行、垂直关系。掌握求平面的点法式方程、一般式方程及用点向式求空间直线方程的方法。了解球面方程及母线平行于坐标轴的柱面方程。常微分方程 𐟌€ 了解微分方程的阶及其解、通解、初始条件和特解的概念。掌握可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程的求解方法。会用降阶法求解形如y''=f(x)的微分方程。了解二阶线性微分方程解的结构。掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。会应用微分方程求解简单的实际问题。考试形式与参考题型 𐟓 考试形式：闭卷、笔试，时间为150分钟，满分100分，不使用计算器。参考题型：单项选择题、填空题、计算题、应用题等，也可能采用其他符合数学学科性质和考试要求的题型。参考书目 𐟓– 备考时，可以参考含有上述考试内容的《高等数学》等相关参考书目，这些书目将为你提供更深入的学习资源和详细的解题指导。希望这份大纲能帮助你在内蒙古专升本《高等数学Ⅰ》的备考中取得好成绩！加油！𐟒ꀀ

2025年考研数学大纲最新变化解析嘿，准备考研的小伙伴们，你们是不是也在关注今年的数学大纲有啥新变化？别急，我来给你们捋一捋。数二大纲基本不变 𐟓š 首先，数二的大纲基本上没啥大变化。高数部分还是那些老知识点，线代和概率论也还是那些内容。不过，概率论里有个小变动，把“掌握用事件独立性进行概率计算的方法”改成了“掌握用事件独立性进行概率计算”。虽然看起来不起眼，但大家还是要留意一下哦。高数部分 𐟓– 函数、极限、连续：这部分内容基本上还是那些经典的考点，像函数的单调性、周期性、奇偶性，还有函数关系的建立等等。极限的概念和性质也是重中之重。一元函数微分学：导数和微分的基础知识还是要掌握的，比如导数的几何意义、函数的可导性与连续性的关系。还有高阶导数、洛必达法则这些高级一点的技巧也要熟悉。一元函数积分学：不定积分和定积分的基本公式、性质和计算方法还是要牢记的。特别是定积分的几何意义和物理应用，像平面图形的面积、旋转体的体积这些都要会算。多元函数微积分学：这部分内容相对复杂一些，但也不必太紧张。多元函数的偏导数、全微分，还有多元函数的极值和条件极值这些都要掌握。特别是二重积分的计算方法和应用，像计算曲面的面积、旋转体的体积这些都要会做。常微分方程：这部分内容虽然有点繁琐，但也不难。像变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程这些基础题型还是要掌握的。特别是二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程的解法，还有一些简单的应用问题也要会解决。线代部分 𐟧ጥˆ—式：行列式的概念和性质还是要牢记的，特别是行列式按行（列）展开定理的应用。矩阵：矩阵的概念、线性运算、乘法、转置这些基础知识还是要掌握的。特别是矩阵的逆、伴随矩阵、初等变换这些高级一点的技巧也要熟悉。向量：向量的概念、线性组合与线性表示还是要牢记的。特别是向量的内积、正交规范化方法这些高级一点的技巧也要掌握。线性方程组：克拉默法则还是要会的，还有齐次和非齐次线性方程组的解法也要熟悉。特别是用初等行变换求解线性方程组的方法。矩阵的特征值与特征向量：矩阵的特征值和特征向量的概念、性质还是要掌握的。特别是相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件也要熟悉。二次型：二次型及其矩阵表示还是要牢记的，特别是合同变换与合同矩阵的概念、二次型的标准形和规范形也要掌握。还有用正交变换和配方法化二次型为标准形的方法也要熟悉。小结 𐟓 总的来说，今年的数学大纲变化不大，但还是有些细节需要注意。大家还是要按照自己的计划好好复习，争取在考试中取得好成绩！加油吧！𐟒ꀀ

江苏专转本高数历年考点全解析！江苏省的三年制专转本考试对于专科生来说，简直是一次人生的转折点。而高等数学，作为其中的重中之重，更是决定你能否顺利上岸的关键。为了帮助大家更好地备考，我特意整理了历年高等数学的主要考点，希望能帮到你们查漏补缺，顺利过关！选择题考点 𐟓 函数的极限与连续函数的极限无穷小的比较函数的连续性与间断点导数与微分导数的定义利用导数定义求导数或极限导数的几何意义和物理意义高阶导数不定积分与定积分原函数与不定积分的概念定积分的概念和基本性质定积分的应用多元函数微积分学二元函数的极限与连续多元函数的偏导数和全微分二重积分的概念、计算和应用级数无穷级数的收敛与发散级数绝对收敛与条件收敛幂级数的收敛区间与收敛域线性代数矩阵的秩行列式的性质与展开向量组的线性相关性填空题考点 𐟖Œ️ 极限与连续数列极限、函数极限函数连续性导数与微分导数的定义参数方程求导、幂指函数求导 n阶导数不定积分与定积分不定积分的概念定积分偶倍奇零性质无穷限广义积分、变限积分求导多元函数微积分学多元函数的极值和条件极值二重积分（直角坐标系和极坐标系）线性代数矩阵的运算行列式的性质向量组的线性相关性计算题考点 𐟧ž限求函数极限（洛必达法则+等价无穷小替换）不定积分与定积分计算不定积分（根式换元法、分部积分法）计算定积分（根式换元法、三角换元法、分部积分法）多元函数微积分学二元隐函数求导（一阶偏导、二阶偏导、全微分）二重积分的计算微分方程解微分方程（重点是二阶常系数非齐次线性微分方程）线性代数解矩阵方程解线性方程组（含参线性方程组是否有解）证明题考点 𐟓– 不等式证明利用单调性或最值证明不等式利用比较定理证明积分不等式中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理综合题考点 𐟌 导数应用单调性与极值凹凸区间与拐点渐近线微分方程与极限微分方程与极限变上下限积分线性代数齐次线性方程组的基础解系和通解希望这些信息能帮到你们，祝大家都能在专转本考试中取得好成绩，顺利上岸！𐟚€

如何判断微分方程是线性还是非线性？ 𐟒ᥜ襾†方程的世界里，线性与非线性的区分可是个大问题。一个n阶的常微分方程（ODE）如果满足以下条件，那就是线性的： . 线性ODE通常比较“干净”，不包含y^2, √y, sin(y), ln(y)等复杂操作，只有单纯的y或y的导数。让我们来看看图中的两组微分方程。 . 𐟔—左边这组方程的每一项都非常“干净”，要么是变量t的函数乘以未知函数或其导数，要么是变量t的函数本身。没有出现未知函数或其导数的乘除或其他复杂变形，所以左边这组就是线性的。 . 𐟔—右边这组方程则出现了像y和其导数相乘的项，或者对y进行了一些复杂操作，比如把y放到指数函数的幂上，所以右边这组都是非线性的。 . 再来看看这个例子，原式可能对一些同学来说有点复杂。但我们可以把它整理成标准形式，清晰地看到这是一个线性ODE。 . 𐟚樿™里补充一个重要知识点，整理后的方程中的HRS是一个常数，我们称它为非齐次项。如果这个常数是0，那么这个ODE就是齐次的。 . 接下来，我们一起做一道题感受一下吧！具体过程见图哦～

「生活手记」算一个二阶常系数非齐次线性微分方程，好不容易把特解的一阶导和二阶导都求完还反代进去了，突然发现最开始有一项求导错了，全要推倒重来。想起来猴哥那句“烦死了”[顶][顶][顶][顶]

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