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数项级数最新视觉报道_数项级数收敛当且仅当对每个固定的满足条件(2024年11月全程跟踪)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：热点更新日期：2024-11-30

数项级数

广西大学机械学硕考研第9天：查漏补缺 𐟓… 数一：今天订正了昨天写的10年真题，发现自己在微分方程、无穷级数和多元函数积分方面还有很多不足。看来得赶紧刷一下880题，及时弥补这些漏洞。 𐟓š 英一：今天尝试了13年的新题型，结果惨不忍睹，只对了一个。虽然刘琦的讲解看起来很简单，但自己实际操作起来还是很难。希望多做几年会好一点。 𐟌 政治：今天做了马原第二章的多选题，结果也很糟糕。看来还得继续背呀。 𐟔砦料力学专业课：终于把专业课过了一遍，明天准备无缝衔接再过第二遍。 𐟒ᠥ楤–，最近感觉身体不太舒服，心里总是莫名其妙的心慌，希望没啥坏事发生吧！All best!

𐟌𑠦Ž⧴⨇꧄𖥸𘦕𐥧š„奥秘 𐟌Ÿ 𐟔 你是否曾好奇，为什么自然常数e被视为数学和自然界中的关键元素？让我们一同揭开这个谜团，探索e的来源和重要性。 𐟓ˆ e的来源有两个主要途径：极限和无穷级数。极限定义通过一个存款福利最大化的例子来解释。假设你存了1元钱，银行每年给你100%的利息。如果每年结算一次，一年后你将得到2元。但如果银行每半年结算一次，那么一年后你将得到2.25元，因为你在第二个6月靠最初的利息又赚了利息。随着结算次数的增多，利息增加但永远不会超过2.71828。这个数就是e。 𐟓š 另一个途径是通过无穷级数来近似计算e的值。欧拉在论文《无穷分析引论》中引入了这个公式。阶乘倒数级数是一个生成e的方法，随着项数的增加，其结果越接近e。 𐟌𑠥在自然界和数学理论中都有着深刻的意义和广泛的应用。例如，人口的增长、细菌的繁殖、放射性物质的衰减等，都遵循e的指数增长规律。甚至在警察破案过程中，e也发挥着关键作用。根据牛顿冷却定律，一个物体的冷却速度取决于它与周围环境的温度差。利用这个定律，可以通过微积分推导出尸体温度随时间变化的公式，从而推算出被害人的死亡时间。 𐟔젥œ觧‘学和工程领域，e的应用更是无处不在。法医、遗传学家、地质学家以及研究动态世界现象的科学家都非常熟悉自然常数。在微积分中，e的指数函数是唯一一个与其自身导数相等的函数，因此在数学分析和物理方程中非常有用。 𐟌 欧拉公式则建立了三角函数与指数函数之间的联系，进一步展现了e在数学理论中的核心地位。在信号处理中，e用于傅里叶变换，将信号分解为不同频率分量，这一方法在数学、物理、工程和统计学等领域都有广泛应用。 𐟌Ÿ 总之，e被称为自然常数，是因为它在自然界和数学理论中都有着深刻的意义和广泛的应用。

高数第九章：无穷级数全解析 ### 一、常数项级数：基础与性质 𐟓š 常数项级数的定义常数项级数，顾名思义，就是每一项都是常数的级数。它的定义很简单，就是一堆常数排成一队，形成级数。常数项级数的敛散性级数的敛散性是级数的一个重要性质。常数项级数要么收敛（即和存在），要么发散（即和不存在）。常数项级数的性质常数项级数有五个基本性质，这些性质在解题时非常有用。二、常数项级数的审敛性：技巧与策略 𐟔 正项级数正项级数就是所有项都是正数的级数。它的审敛有特定的条件和技巧。正项级数的定义正项级数的定义很简单，就是所有项都是正数的级数。正项级数审敛的充要条件正项级数收敛的充要条件是级数的和存在。正项级数审敛的充分条件虽然正项级数收敛的充要条件是级数的和存在，但有一些单向成立的充分条件，比如比较审敛法和比值审敛法。必考的三大级数 P级数及其拓展形式、等比级数是正项级数中必须掌握的三种级数。交错级数交错级数就是正负项交替出现的级数。它的审敛有特定的方法和技巧。交错级数的定义交错级数的定义很简单，就是正负项交替出现的级数。莱布尼茨审敛法莱布尼茨审敛法是交错级数审敛的一种重要方法。加绝对值法加绝对值法是另一种审敛交错级数的方法。任意项级数：灵活与多变 𐟌ˆ 绝对值性质任意项级数的绝对值性质是判断级数收敛性的重要依据。绝对收敛与条件收敛任意项级数要么绝对收敛（即和存在），要么条件收敛（即和不存在）。任意项级数的判定方法总结任意项级数的判定方法，帮助你更好地理解和应用。三、幂级数：深入与拓展 𐟚€ 函数项级数函数项级数是幂级数的基础，它涉及到的概念和性质非常丰富。函数项级数的定义函数项级数的定义很简单，就是一堆函数排成一队，形成级数。函数项级数相关概念函数项级数涉及到的概念包括收敛域和和函数等。函数项级数收敛域的求法求函数项级数的收敛域是解题的关键。幂级数幂级数是函数项级数的一种特殊形式，它有自己独特的性质和审敛方法。幂级数的定义幂级数的定义很简单，就是所有项都是幂函数的级数。阿贝尔定理阿贝尔定理是幂级数审敛的重要工具。幂级数收敛域的求法求幂级数的收敛域是解题的关键。幂级数的性质幂级数有一些重要的性质，比如和函数性质、逐项可导性和逐项可积性。角标变换角标变换是处理幂级数的一种技巧。函数的幂级数展开函数的幂级数展开是求函数和的重要方法。幂级数求和幂级数求和是求解级数和的关键步骤。通过这些内容，你可以全面掌握无穷级数的概念、性质和审敛方法，为高数的学习打下坚实的基础。

𐟓š无穷级数收敛与发散的判断方法𐟓ˆ 1. 𐟔判别正项级数的敛散性要判断正项级数是否收敛，首先需要找到级数的通项公式。然后，利用比较法、比值法或根值法等来判断级数的敛散性。 2. 𐟔„交错级数收敛性判别法交错级数的收敛性可以通过莱布尼茨判别法来判断。莱布尼茨判别法的条件是：级数的通项绝对值单调递减且极限为0。满足这些条件的交错级数一定收敛。 3. 𐟓–求幂级数的和函数求幂级数的和函数需要先确定级数的收敛域。然后，通过设定辅助函数或对函数进行求导来找到和函数。最后，利用已知的幂级数公式来计算和函数。例如，对于幂级数∑(x^n)，首先需要确定x的取值范围（收敛域）。然后，通过设定辅助函数（如e^x）来找到和函数。最后，利用已知的幂级数公式来计算和函数。通过以上步骤，可以有效地判断无穷级数的收敛与发散性，并求出相应的和函数。

无穷级数880考点全解析！ 1️⃣大题考法与微分方程结合：常见题型，通常涉及求导。与高阶导数结合：利用级数和公式及泰勒展开式计算 f（n）（a）/n！＝an，注意计算过程中容易出错，转化下标或上标。和函数：展开和函数时，不要忘记对特殊点讨论，0点可直接带入，其余根据求出的和函数判断级数和的极限。子级数只有一种方法，母级数分情况（尤其是阶层拆项根据具体题目进行拆，前面配系数，常考）。展开时一定要合并到底，注意计算的粗心。伽玛函数：在这里也会用到，熟练掌握。 ⭕交错级数：简单两种方法，一是莱布尼茨法（关键是判断单调不增），二是取绝对值法（如题中出现sin、cos等函数）。如果题中缺少（-1）^n，但很明显是交错，可以凑（-1）^n，常见于三角函数。 ⭕正项级数：通常可以利用Sn是否有界，limun≠0则发散。比较判别法（大收小收小散大散），这里通常可以利用函数趋于0或趋于♾️速度来快速判别，前提要很熟悉。比较判别法的极限形式（主要是找相比较的函数），有时候找到之后进行相比也可以利用趋向速度来快速判断。熟悉的p级数、q级数等（图3总结），比值判别法，根值判别法，积分判别法（要求是正项且Un＝f（n）其中f是非负连续单调减少，可以看方浩强化讲义例6）。 ⭕一般项级数：给它加上绝对值写成正项级数进行判别。 ❗❗❗做题总结：对于选择题，可以举反例先进行排除，积累常见的反例！880很多！基础部分选择题基本都可以通过举反例排除掉。比值根值比较审敛法都是充分不必要！选择题看到这种形式立刻排除！定性判断不了定量，除了已有的那个定理，其余都不可以，所以选择可以直接排除（大家移步上一篇笔记看即可）。判断绝对收敛还是相对，第一步利用比较审敛法（判断是否绝对），第二步用莱布尼茨。缺项的级数判收敛域都用比值法！ 2️⃣选择题判断级数敛散性首先判断级数是什么类型（正项、交错、一般）。正项级数：通常可以利用Sn是否有界，limun≠0则发散。比较判别法（大收小收小散大散），这里通常可以利用函数趋于0或趋于♾️速度来快速判别，前提要很熟悉。比较判别法的极限形式（主要是找相比较的函数），有时候找到之后进行相比也可以利用趋向速度来快速判断。熟悉的p级数、q级数等（图3总结），比值判别法，根值判别法，积分判别法（要求是正项且Un＝f（n）其中f是非负连续单调减少，可以看方浩强化讲义例6）。交错级数：两种方法，一是莱布尼茨法（关键是判断单调不增），二是取绝对值法（如题中出现sin、cos等函数）。如果题中缺少（-1）^n，但很明显是交错，可以凑（-1）^n，常见于三角函数。一般项级数：给它加上绝对值写成正项级数进行判别。

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线性回归与证明的疯狂之旅 𐟚€ 今天是农历七月初一，心情有点复杂。最近状态不太好，精神状态不稳定，感觉有点像是狂犬病疑似患者。𐟘𕊊今天的故事主角是一个定理。从P2到P5，我们一直在探讨theorem&proof，从P6到P7，我们深入了解了well-defined和各种确定方法。𐟓š 尤其是P9，我们对比了单调收敛和受控收敛，真是让人头疼。证明这些定理，感觉就像是在和一群不讲道理的证明怪物打交道。𐟑𙊊数学分析、实分析和测度论，这些家伙们从大一开始就纠缠着我，真是“不离不弃”啊！𐟘… 二分悖论的核心困惑现在终于搞清楚了：从点A到点B的任务，其实不是一个包含无数子任务的问题，而是一个简单的任务。这个任务的“1”可以通过一个收敛的无穷级数来逼近。正是这个逼近的机理，让魏尔斯特拉斯的分析学能够真正解释二分悖论，也就是100%算术的，没有无穷小、类比或任何芝诺式层出不穷的自然语言的模糊性。𐟧所以，证明至上，真理至上！虽然过程有时候让人抓狂，但最终的结果总是那么美妙。𐟌Ÿ 感谢这些证明，它们让我更接近真理，更接近自己。𐟙

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考研心得𐟒꯼š顿悟与激励最近重新审视了一下武老师的基础阶段无穷级数课程，结合其他老师的讲解，终于有种“顿悟”的感觉。虽然展开式还是有点记不住，但如果能牢牢刻在心里那就太好了𐟒ꣀ‚ 晚上复习时，有些地方听起来很新奇（可能是以前走神了），当听到某个知识点时，感觉像刚开了个头，我就已经掌握了，然后就会自我感叹“我真聪明”𐟘Ž，这种自我激励特别适合我这种“小笨蛋”。昨天加入了一个积极向上的夸夸群，里面的成员都特别热情，也很会鼓励别人，简直是正能量的源泉𐟌ž。下午本以为老师会讲期末考试的内容，特意去了一趟，结果什么也没讲，下周还得再去𐟘ᣀ‚感觉临近期末周，考研的进度总是推进不下去啊呜呜𐟘⣀‚

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