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矩阵的零空间权威发布_矩阵的零空间是什么(2024年12月精准访谈)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：观点更新日期：2024-12-02

矩阵的零空间

线性代数复盘：从基础到进阶嘿，期末考试刚结束的小伙伴们，你们辛苦了！今天我们来聊聊线性代数，特别是李正元老师的线代部分，真的是让我爱恨交织啊！𐟘… 向量部分首先，咱们来聊聊向量。对于一个AX=0的线性方程组，如果它只有0解，那为什么可以推出A矩阵的列向量是无关的呢？其实，这背后有一个很重要的概念——线性无关。如果A矩阵的列向量线性无关，那它的行列式就不为0，从而方程组只有0解。反过来，如果A矩阵的列向量线性相关，那它的行列式为0，方程组可能有非0解。再比如，如果一个向量组和基础解系等价，那它是不是也是方程组的基础解系呢？答案是肯定的。因为基础解系就是那些能满足方程组的解，而等价的向量组也能满足同样的条件。线性方程组齐次方程和非齐次方程：齐次方程就是那些系数全为0的方程，而非齐次方程则至少有一个系数不为0。在解答方程组时，我们通常只能对方程组进行行变换，而不能进行列变换。什么时候齐次方程只含有0解？什么时候含有非0解？非齐次方程什么时候有唯一解？什么时候有无穷解？什么时候又无解呢？这些问题其实都有规律可循。比如说，对于一个齐次方程，如果它的系数矩阵的秩小于未知数的个数，那它就有非0解。而对于非齐次方程，如果它的系数矩阵的秩等于未知数的个数，那它就有唯一解。如果你把一个齐次方程变成非齐次方程，解系的秩会怎么变呢？其实，解系的秩会减少1。这是因为非齐次方程多了一个自由变量。为什么行数目小于列数目的方程一定有无穷个解？这是因为方程组的系数矩阵的秩小于未知数的个数。反过来，如果行数目大于列数目的方程存在n阶矩阵不为0，那它可能是有唯一解，也可能是有无穷解。思考一下中学的时候，我们常被灌输一个思想：要解决几个未知数的问题，就需要有几个方程。但真的是这样吗？比如x+y=1和2x+2y=2这两个方程，它们能求出x和y的精确值吗？为什么？如果把这两个方程写成一个非齐次方程组，它是无穷解还是唯一解呢？方程组的解系和原方程有什么关系？由原方程可以求出它的解系，那么我们以它的解系为系数，能求出来原方程吗？这些问题都值得深入思考。特征值部分特征值的求解公式：特征值的求解公式是A-|=0。在求特征值时，你会尝试使用列变换吗？其实，这取决于你的个人习惯和问题的具体要求。特征向量和（A-）X=0的关系：如果A-可逆，那么𐱤𘍦˜Ÿ驘𕧚„特征值了。因为可逆意味着矩阵没有零空间。对于A矩阵的衍生矩阵来说，他们的特征值会有什么变化呢？这个问题其实挺有意思的。比如说，对于A的转置矩阵AT，它的特征值和A是一样的。但对于A的逆矩阵A-1，它的特征值是1除以A的特征值。特征值和矩阵的迹有什么关系呢？特征值相乘又和它有什么关系呢？对于秩为1的矩阵，它的特征值怎么样快速求出来呢？这些问题都需要你花时间去琢磨。两个相似矩阵的特征值之间有什么关系呢？这个问题其实很简单：两个相似矩阵的特征值是一样的。但对于多重的同一个特征值，我们该怎么判断它能否进行相似对角化呢？这又是一个值得思考的问题。复盘小结如果你不翻书的话，上个阶段有哪部分你连不起来呢？不妨列个提纲，看看自己到底哪些地方还需要加强。线性代数其实并不难，只要掌握了基本概念和方法，一切都会变得很简单。加油！𐟒ꀀ

一位线性代数教授正在给大二学生讲授矩阵。他正在讨论矩阵乘法的性质，教室里一片安静。突然，教授停了下来，脸上露出一丝恶作剧的笑容。“现在，让我给你们讲一个关于矩阵的笑话，”他说道。全班学生抬起头来，一脸好奇。 “有一个矩阵，他非常胆小，”教授说，“每次看到另一个矩阵，他都会缩成一团。” 学生们忍不住笑了起来。教授继续说道：“过了几天，一个行列式经过那里，看见矩阵吓得瑟瑟发抖。行列式 (矩阵) = 0！” 学生们再次大笑起来。 “现在，我们来说说行列式吧，”教授说，“有一个行列式，他非常自负。” “自负到什么程度？”一个学生问道。 “自负到他认为自己比任何矩阵都重要，”教授回答道，“他是谁？单位矩阵！” 学生们笑得东倒西歪。 “最后，让我给你们讲一个关于向量空间的笑话，”教授说，“有一个向量空间，他非常无聊。” “无聊到什么程度？”一个学生问道。 “无聊到他每天都做同样的线性变换，”教授回答道，“他是谁？零空间！” 学生们笑得前仰后合。 “好了，现在我们继续上课吧，”教授说，“希望这些笑话能让你们记住线性代数的一些基本概念。” 学生们一边擦着眼泪一边拿起笔，继续记笔记。

有没有大佬会的

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