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数乘矩阵最新视觉报道_矩阵公式大全图解(2024年12月全程跟踪)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：热点更新日期：2024-12-02

数乘矩阵

#科学趣事# 线性代数之所以被称为“线性代数”，这一命名蕴含了其学科特性和历史渊源。 “代数”这一词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直1859年清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，并一直沿用至今。在历史上，“代数”主要指的是解方程，即通过一定的数学运算求解未知数的过程。 “线性”一词则描述了该学科研究的核心特性。在数学中，线性”通常指的是量与量之间按比例、成直线的关系，即满足加法和数乘运算的性质。具体来说，线性关系具有均匀性和可加性，如函数y=2x，若输入值均匀排列，则输出值也均匀排列。在线性代数中，这种线性关系主要体现在向量、矩阵和线性变换等概念上。线性代数出现于17世纪，是法国数学家费马和笛卡儿等人研究工作的成果。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，最初的线性方程组问题大都来源于生活实践，正是实际应用问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。在古代，“代数”就是指解方程，所以以“线性代数”命名。线性代数最早确实是因解线性方程组而发明的，它研究的是线性方程组、向量空间与线性映射等对象。然而，到了现代，线性代数的研究内容已经远远超出了单纯解线性方程组的范畴。现代的线性代数研究中心已经从解方程演变成了线性空间以及发生在线性空间之中的线性变换（算子）。具体来说，现代线性代数研究的是向量空间、矩阵、线性变换、行列式、特征值与特征向量等概念。其中，向量是线性代数的基本元素，通过线性组合可以表示其他向量；矩阵可以看作是一组向量的集合，用于表示线性变换；行列式用于描述矩阵的性质，与线性方程组的解有密切关系；特征值与特征向量则揭示了矩阵在某个特定方向上的行为。从某种程度上说， “线性代数”这一名称已经过时。因为现代的线性代数已经不再是单纯研究方程的“代数”，而是研究空间及其变换的“分析”。它准确来说应该改名叫“有限维线性泛函分析”。但出于各种考虑（如品牌价值），国内外并未更改这一命名。综上所述，“线性代数”之所以得名如此，既与其历史渊源有关，也与其研究的核心内容——线性关系、线性方程组以及线性变换等——紧密相连。尽管现代线性代数的研究内容已经远远超出了单纯解方程的范畴，但“线性代数”这一名称仍然被广泛使用并接受。 …… …… …… 【文本源于“文心一言”】#优质作者榜# ————————————————————— 欢迎点击下方专栏，并加入书架。

平面向量全解析探索平面向量的奥秘，从基础到进阶，这里有一份详尽的思维导图供你参考。𐟧 𐟔 平面向量的定义：向量是有大小和方向的量，在平面内，它们可以表示为有序对(x, y)。 𐟓 向量的表示方法：极坐标：通过距离和角度来表示向量。直角坐标：使用有序对(x, y)来表示向量。 𐟓ˆ 向量的基本运算：加法：将两个向量的对应分量相加。减法：将一个向量的每个分量减去另一个向量的对应分量。数乘：将向量的每个分量乘以一个标量。点积：两个向量的对应分量乘积之和。叉积：两个向量的叉积结果是一个向量，垂直于原向量平面。 𐟎‘量的应用：在几何中，向量可以用来表示线段、方向和距离。在物理中，向量可以用来描述速度、加速度和力。在工程中，向量可以用来表示电气网络中的电流和电压。 𐟒ᠥ‘量的性质：模长：向量的长度，计算公式为√(xⲠ+ yⲩ。方向角：与x轴正方向的夹角。零向量：模长为零的向量。单位向量：模长为1的向量。 𐟌 向量的空间：二维空间：平面内的向量。三维空间：空间中的向量，涉及x、y、z三个方向。 𐟔„ 向量的旋转与反射：旋转：通过旋转矩阵或极坐标变换来旋转向量。反射：通过镜像变换来反射向量。 𐟓š 向量的证明与计算：利用向量的基本性质和运算规则，进行向量的证明和计算。使用向量图示法来辅助理解和解决问题。 𐟎蠥‘量的可视化：使用图形软件或编程语言来绘制向量图示，帮助理解向量的几何意义。

线性代数学习心得：从错误中发现真理我的线性代数基础并不扎实，从我更新频率就可以看出，这本书我看了很久。当然，期间我也看了很多其他书，哈哈哈。我认真读了前七章的每一个定理，大致看了看第十章，第八章和第九章打算先放一放，因为这本书的英文第四版对这些部分进行了大改，我打算先看第四版的这些部分。我发现了一个作者的错误，在第六章的内积空间中，理论上的所有结果都是建立在有限维向量空间上的，但是对于例子6.58，研究的空间是Cr:实值连续函数构成的实内积空间，这显然不是一个有限维向量空间。相当于作者为了说明一个弱定理的强大偷偷用了它的强大版本，有点可爱。我还想到了一个利用线性映射基本定理和正交补证明行秩等于列秩的方法，虽然没有书上的方法那么优雅，但也很有成就感。个人认为证明行秩等于列秩的最好方法是MIT教授Strang讲的CR分解，通过一个算法以及看矩阵乘法的不同方式，直接就证明了，非常优雅。其实本科学线性代数最困扰我的问题是矩阵的左逆为什么等于右逆。如果用矩阵乘法的定义，一堆数乘起来虽然也能证，但是难免不优雅。用这本书上的结论，那就轻松多了。v到v的线性映射可逆等价于单性或满性（线性映射基本定理告诉我们，v到v的线性映射单性等价于满性，所以这里可以用或，其实两个东西如果有一个都会有）。那可逆后，一组基vi其实就是映射到了另一组基si然后乘以左逆就是再逆回最开始的基vi。所以如果先用si乘左逆，那么是vi，根据前面的定义，乘以原矩阵（映射），vi又会被映回si，si又是一组基，所以就是很显然的结论了。但是要真正说明这一点，绕不开可逆的条件。在传统教科书中，可逆用行列式来刻画，并且后期需要用行列式把复数矩阵的特征值等价于行列式等于0这个方程的根，然后用代数基本定理证明。但本书中是直接深入研究了线性映射，给出了线性映射基本定理，把可逆性用这个定理刻画的清清楚楚了，就不需要行列式来研究线性映射可逆性进而不需要它研究特征值特征向量。这样行文下，可以最后定义行列式，而且压根不需要什么逆序数，拿特征值定义就行了，非常优雅。其实行列式是被大家讨厌，是因为行列式被'玩坏'了，本来用来搭建理论体系的脚手架，非要用来技巧题，让大家把线性代数的印象集中在对着一个表算来算去，很不好。行列式其实性质很好，很轻易就能得到线性映射的可逆的充分必要条件，行列式的值与基的选择无关，所以其实在研究本质的线性算子，而不是那个和基的选择相关的矩阵。行列式还有克莱默法则解方程的优雅表示，非常好的几何意义。

考研数学公式大汇总，轻松搞定！嘿，考研的小伙伴们！数学是不是让你头疼？别担心，我来帮你！今天我给大家带来一份超全的考研数学公式汇总，绝对让你轻松搞定复习！函数与极限 𐟓ˆ 重要极限： lim(x→0) (1+x)^(1/x) = e lim(x→0) sin(x)/x = 1 导数与微分 𐟓 导数公式： C' = 0 (a^x)' = a^x ln(a) (sin x)' = cos x (cos x)' = -sin x 微分中值定理与泰勒公式 𐟓 微分中值定理：拉格朗日中值定理：f(b) - f(a) = f'((b - a) 柯西中值定理：g(b) - g(a) = g'((b - a) 泰勒公式： e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + ... sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - ... 无穷级数 𐟓š 常数项级数：收敛定义：若级数S_n收敛于S，则称级数收敛；否则称为发散。常见收敛级数： p-级数：p > 1时收敛，p ≤ 1时发散。交错p-级数：p > 1时收敛。向量代数与空间解析几何 𐟌 向量运算：加法：a Ⱡb = (a_x Ⱡb_x, a_y Ⱡb_y, a_z Ⱡb_z) 数乘：a ⷠb = (a_x ⷠb, a_y ⷠb, a_z ⷠb) 数量积：a ⷠb = a_x ⷠb_x + a_y ⷠb_y + a_z ⷠb_z 向量积：a 㗠b = (a_y ⷠb_z - a_z ⷠb_y, a_z ⷠb_x - a_x ⷠb_z, a_x ⷠb_y - a_y ⷠb_x) 平面与直线 𐟓 平面方程：一般式：Ax + By + Cz + D = 0，n = (A, B, C)为平面的法矢量。点法式：A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0，n = (A, B, C)，(x0, y0, z0)为平面上已知点。线性代数 𐟧ጥˆ—式：二阶行列式：|a b| = a ⷠb - c ⷠd 三阶行列式：|a b c| = a ⷠ(b ⷠd - c ⷠe) - b ⷠ(a ⷠd - c ⷠf) + c ⷠ(a ⷠb - c ⷠd) 矩阵：初等变换与逆矩阵：通过行变换将矩阵变为单位矩阵，求得逆矩阵。矩阵的乘法与行列式：利用行列式性质计算矩阵的行列式。概率论与数理统计 𐟓Š 基本概念：概率的定义与性质。随机变量及其分布：离散型和连续型。数字特征：均值、方差、协方差等。大数定律与中心极限定理：描述随机变量序列的极限行为。

GPU 的设计初衷是旋转矢量。矢量定义了 3D 游戏中物体的形状。要旋转矢量，您需要将其乘以矩阵。因此，GPU 的设计初衷是将数百万个矢量乘以数百万个矩阵，以便玩家能够看到细节丰富的动态场景。然后神经网络出现了。它们不需要旋转向量，但需要将代表神经网络输入和参数的大量矩阵相乘。同样，神经网络需要将数百万个向量乘以数百万个矩阵，使它们能够接收大量输入并对其进行无数次转换。但这并不那么有趣，因为没有任何东西像最初预期的那样被旋转。然后是 LLM。在 LLM 中，表示标记的输入向量由 RoPE 矩阵旋转！标记的旋转角度决定了它相对于输入序列中所有其他标记的相对位置。事情已经回到原点了！

#数实融合##数商兴农##兴乡共富##乡村振兴##高质量发展# 乘“数”而上，向“新”而行，以“质”致远。兴乡工作室『兴乡共富』体系以地方本土县域（乡镇）产能为底层依托，数字科技技术为辅助，形成“产业+科技+人才”电商直播“新农人”“真人+AIGC数字人”融媒直播和短视频矩阵体系，结合地方打造自身独属的“产业发展典型带头人IP”，让本土人代表本土，并打造形成具有区（县）域特色“文化+产品+旅游”的直播电商矩阵和短视频内容阵地，AIGC成“新农具”， AIGC数字人直播变“新农活”，推动“数智新农村反向包围城市”城乡一体化要素相流动，一二三（农文旅）产业和数实融合发展，丰富乡村经济业态，拓展农民增收空间，讲好家乡故事，推介美景好物。

国外线性代数教材推荐：简单易懂，适合自学 𐟓š 强烈推荐大家阅读这本《data science实用线性代数》！国外的教材真的把人当傻子教！ 𐟓š 国外的教材通常循序渐进，直接了当，将复杂问题简化，例题和概念讲解得非常细致。相比之下，国内的教材往往只是知识点的堆砌，讲解方式玄之又玄，简单问题复杂化，自学起来非常耗时。 𐟓š 看了这本由数据科学家和神经科学家Mike X Cohen撰写的线性代数教材后，才发现以前大学同济大学出版社的线代教材简直没法比。这本书教授了在Python中实现的线性代数的核心概念，包括它们在数据科学、机器学习、深度学习、计算模拟和生物医学数据处理中的应用。通过这本书，你将能够理解、实现和调整无数现代分析方法和算法。 𐟓š 本书面向使用计算机技术和算法的从业者和学生，介绍了以下内容：向量和矩阵的解释及其应用矩阵运算（各种乘法和变换）独立性、秩和逆矩阵应用线性代数中的重要分解（包括LU和QR）特征分解和奇异值分解应用包括最小二乘模型拟合和主成分分析 𐟓š 通过这本书，你将能够更好地理解线性代数的核心概念，并将其应用于实际分析和机器学习任务中。

线性代数笔记：矩阵与线性方程组 ### 矩阵与线性方程组 𐟓– 线性方程组 𐟧𚿦€禖𙧨‹组是数学中一个非常重要的概念，主要研究的是多个未知数之间的关系。比如说，我们有这样一个方程组： ```scss 2x + 3y = 4 x + y = 1 ``` 这个方程组有两组解，一组是相容解，另一组是不相容解。相容解就是有解的情况，而不相容解则是无解的情况。例如，在这个例子中，相容解是 `(x=1, y=1)`，而不相容解则是 `(x=2, y=0)`。矩阵的概念 𐟓Š 矩阵其实就是一组有序的数表，用来说明线性方程组的关系。比如说，上面的方程组可以写成矩阵的形式： ```scss A = [2 3; 1 1] B = [4; 1] ``` 这里的A就是系数矩阵，B是常数矩阵。通过矩阵的形式，我们可以更方便地进行各种计算和变换。矩阵的初等变换 𐟔„ 矩阵的初等变换是线性代数中的一个重要概念。主要有三种变换方式：行交换：交换两行的位置。数乘：将某一行乘以一个非零常数。数加：将某一行加上另一行的倍数。这些变换不会改变矩阵的解，但可以让我们更方便地进行计算。比如说，上面的方程组可以通过初等变换转化为行阶梯形矩阵，然后再转化为行最简形矩阵，从而更容易求解。矩阵的加法和数乘 𐟓ˆ 矩阵的加法和数乘也是线性代数中的基本运算。两个矩阵相加就是对应位置的元素相加，而数乘则是将矩阵的每一行都乘以一个常数。这些运算在求解线性方程组和进行矩阵变换时非常有用。线性变换和旋转变换 𐟌€ 线性变换和旋转变换是矩阵与线性方程组的几何意义。线性变换可以通过矩阵的形式来表示，而旋转变换则是通过旋转矩阵来实现的。比如说，一个以原点为中心的逆时针旋转p角的旋转变换可以用以下矩阵来表示： ```scss R = [cos p -sin p; sin p cos p] ``` 这个矩阵可以将一个向量旋转p角，从而在几何上实现旋转变换。总结 𐟓 线性代数是一个非常有趣和实用的数学领域，通过矩阵和线性方程组的结合，我们可以解决很多实际问题。希望这篇笔记能帮助你更好地理解线性代数的基本概念和原理。

【申万tmt+制造+海外】地平线:软硬一体，智驾解决方案国产领军 𐟒妏供产品矩阵/和其他公司产品对标/大客户明细等产业详细信息。 𐟒娽李줸€体，智驾解决方案国产领军国产领军 ✔占据先发：24H1中国市场自主品牌乘用车智驾解决方案份额29%第一；24Q3累计定点290款车型；24Q2累计出货600万套硬件。 ✔定位Tier 2 + 一体化能力 + 可解耦，财务可以验证：专用处理架构+芯片+算法+工具链+OS/中间件+方案部署，技术栈可单独商业化。 ✔景气：远期，TAM 15x（保守3x），CAGR 50%+；边际，L2++ NOA 加速渗透，高阶上车。 ✔份额提升：前视一体机芯片格局：两大外资（MBLY和瑞萨）~75%，地平线~17%；智驾域控芯片格局：除特斯拉外资（英伟达+MBLY）占~70%，地平线~10%。 ✔竞争力强化：商业拓展之外，技术能力突破中。BPU、征程、解决方案均已有序迭代数代。 ✔盈利预测：预计 2024-2026 年收入为 19 亿元、33 亿元、54 亿元，yoy+21%/+75%/+64%。 ✔风险、催化与跟踪要点 𐟒妖𐤺祓/解决方案导入进展：征程 6 和 SuperDrive(2026E量产) 进度，突破高阶市场，有利于提价 𐟒奮⦈𗧻“构集中：酷睿程（与大众合资）贡献收入~40%，且尚未盈利 𐟒姻营杠杆优化：目前运营费用较高，关注后续规模效应提升带来利润增长

𐟓š 2025年考研数学三新大纲解析 𐟌Ÿ 𐟎“ 微积分：函数、极限、连续：了解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。理解极限的概念，掌握极限的四则运算法则，会用极限求函数的值。一元函数微分学：理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程。一元函数积分学：理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。多元函数微积分学：了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。无穷级数：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法、根值判别法。常微分方程与差分方程：了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法。 𐟧𚿦€礻㦕𐯼š 行列式：了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。矩阵：理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质。掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律。向量：了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则。理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念。线性方程组：会用克拉默法则解线性方程组，掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法。理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。矩阵的特征值与特征向量：理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。二次型：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念。掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形。 𐟓Š 概率论与数理统计：随机事件与概率：了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算。理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率。随机变量及其分布：理解随机变量的概念，理解分布函数F(x)=P(X≤x)的概念及性质。掌握离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握连续型随机变量及其概率密度的概念。多维随机变量的分布：理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质。理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布。随机变量的数字特征：理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征。大数定律和中心极限定理：了解切比雪夫大数定律，伯努利大数定律和辛钦大数定律。了解棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理和列维-林德伯格中心极限定理，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。数理统计的基本概念：了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念。了解经验分布函数的概念和性质。参数估计：了解参数的点估计、估计量与估计值的概念，掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。