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垂直平分线的交点新上映_三角形三边垂直平分线的交点的性质(2024年11月抢先看)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：导读更新日期：2024-11-27

垂直平分线的交点

初中数学尺规作图模型全解析初中数学中的尺规作图题是必考内容，千万不要丢分！𐟓 作图题有时看似简单，有时稍显复杂，但解题方法总是从基础作图开始。𐟔 因此，考前再巩固，确保简单的题目不失分。✅ 题目十：已知三角形，作三角形的外接圆和内切圆。已知：如图，△ABC。求作：△ABC的外接圆和内切圆。作法：外接圆的圆心是△ABC三条边的垂直平分线的交点。转化为作AB、BC的垂直平分线交点，半径是交点与△ABC其中一个顶点的长度。内切圆的圆心是△ABC三个角的角平分线的交点。转化为作∠B、∠C的角平分线交点，半径是交点到△ABC其中一条边的长度。通过这些步骤，你可以轻松作出三角形的外接圆和内切圆。𐟎

触屏令牌：智商税背后的科技真相说到智商税，我特意查了一下百科，原来这是指那些看似高大上，实际上却被别人笑话的东西。在交互行业，也有很多这样的产品，其中一个特别暴利的例子就是触屏令牌识别。你知道吗？这个行业的行情价是四万，而成本只有五千！不过，尽管知道这是智商税，但有时候你不得不交，毕竟有人愿意接盘。再说，这些东西看起来确实很高大上，软硬结合，算法复杂，让人无从下手。今天，我就来给大家解密一下这个所谓的触屏令牌识别技术，让你知道这智商税是怎么交的，同时也让你明白，做韭菜也是需要实力的。首先，我们来说说这个技术的核心算法。其实很简单，小学二年级的数学水平就能搞定。原理是这样的：不共线的三个点可以确定一个圆。不共线的三个点可以确定一个圆。不共线的三个点可以确定一个圆。具体来说，不共线的三点相互连接会形成一个三角形，这个三角形称为圆的内接三角形，而这个圆则称为三角形的外接圆。三角形三边垂直平分线的交点就是外接圆的圆心。有了圆心，就能算出半径，进而确定顶角角度，有了角度就能算出ID，顺便还能算出旋钮角度。结合手机触屏的电容感应原理，每个令牌可以同时反馈三个触控点，根据距离或令牌大小换算成共圆。所以，整体配置就是一个电容触控屏和若干marker。因为触控屏一般能识别40个触控点，所以他们说可以支持十几个令牌，听起来是不是很酷？那么，你还想了解更多细节吗？

三角形五心总结：初中数学必备知识点三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心和旁心。以下是它们的详细总结： 𐟌Ÿ 外心定义：三角形外心是三角形外接圆的圆心，也是三边垂直平分线的交点。性质一：锐角三角形：外心在三角形内。直角三角形：外心在斜边上，与斜边中点重合。钝角三角形：外心在三角形外。等边三角形：外心与内心同一点。性质二：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心，外心到三顶点的距离相等。 𐟒™ 内心定义：三角形内心是三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。性质：内心的点也是这个三角形内切圆的圆心，三角形内心到三角形三条边的距离相等。 𐟓 垂心定义：三角形的三条高线所在直线的交点叫做三角形的垂心。性质一：锐角三角形：垂心在三角形内。直角三角形：垂心在直角顶点上。钝角三角形：垂心在三角形外。性质二：三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。性质三：三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。（垂心伴随外接圆，必有平行四边形）性质四：等边三角形的重心把三角形的高分成2:1两段，靠近顶点的那段长度为高的三分之二。 𐟟⠦—心定义：三角形旁切圆的圆心，简称为三角形旁心。它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点。性质一：三角形的旁心是其一内角的平分线（所在直线）和其他两角的外角平分线的交点，每一个旁心到三边的距离相等。性质二：三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来，一个三角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的旁心与内心。性质三：一个旁心与三角形三条边的端点连结所组成的3个三角形面积之比等于原三角形三条边长之比；三个旁心与三角形的一条边的端点连结所组成的三角形面积之比等于三个旁切圆半径之比。通过这些总结，可以更好地理解和掌握三角形的五心概念。

探索过三点的圆的奥秘 𐟌ˆ 嘿，大家好！今天我们来聊聊一个超级有趣的话题——过三点的圆。相信很多同学都遇到过这样的问题：两个点能确定一条直线，那么两个点能确定一个圆吗？三个点呢？让我们一起来探究一下吧！两点确定一条直线，但不一定能确定一个圆 𐟓 首先，我们来看看两个点的情况。两个点在平面上确实能确定一条直线，但它们并不能确定一个唯一的圆。为什么呢？因为你可以在无数个不同的位置上画一个圆，只要这个圆的圆心在这条直线上就行了。所以，经过两点的圆有无数个。三点确定一个圆，但只有特定情况下 𐟌• 那么，三个点呢？三个点在平面上不一定能确定一个圆，但也不是完全不可能。如果这三个点不在同一条直线上，那么它们就能确定一个唯一的圆。这个圆的圆心是这三条直线的垂直平分线的交点。想象一下，就像三条线的交点一样，这三个点的圆心也是唯一的。特殊情况：三点共线 𐟚늊如果这三个点在同一条直线上，那就另当别论了。这时候，无论你怎么画，都无法找到一个能同时经过这三点的圆。所以，过三点共线的圆是不存在的。确定圆的条件 𐟓 总结一下，不在同一条直线上的三点能确定一个圆，而两点则不能确定一个唯一的圆。这个结论在数学上是非常重要的，因为它帮助我们更好地理解几何和圆的基本性质。实际问题 𐟛 ️ 现在，我们来看看一些实际问题。比如，已知一个直角三角形的两条直角边，我们怎么求这个三角形的外接圆半径呢？或者，有一个残破的圆形轮子，我们怎么确定它的圆心并重新浇铸一个一模一样的轮子呢？这些问题都需要我们运用过三点的圆的原理来解决。小结 𐟓 通过今天的讨论，我们知道了两点不能确定一个唯一的圆，但三点（不在同一直线上）可以确定一个圆。这个结论不仅在数学上重要，也在实际问题中有广泛的应用。希望这篇文章能帮助大家更好地理解圆的性质和几何原理！好了，今天的数学日记就到这里，我们下次再见！𐟑‹

三角形的五心总结表格三角形的五心包括重心、外心、内心、垂心和旁心，它们各自有着独特的性质和几何意义。以下是详细解析： 1️⃣ 重心（G）：三角形三条中线的交点，称为三角形的重心。设G为ABC的重心，则G是ABC的重心。 2️⃣ 外心（O）：三角形三边垂直平分线的交点，称为三角形的外心（外接圆的圆心）。设O为ABC的外心，则有以下性质： OA = OB = OC； ∠BOC = 2∠BAC，∠LAOC = 2∠ABC，∠LAOB = 2∠ACB。 3️⃣ 内心（I）：三角形三条内角平分线的交点，称为三角形的内心（内切圆的圆心）。设I为ABC的内心，则有以下性质：到三边距离相等； ∠BIC = 90Ⱐ+ ∠ACB。 4️⃣ 垂心（H）：三角形三边高所在直线的交点，称为三角形的垂心。设H为ABC的垂心，则有以下性质： AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB； A, F, H, E；B, D, H, F；C, E, H, D；C, E, F, B；C, A, F, D；A, B, D, E共六组四点共圆。 5️⃣ 旁心（Q）：三角形盘切圆的圆心，称为三角形的旁心。旁切圆是与三角形的一边外侧相切，又与另两边的延长线相切的圆。设Q为ABC的旁心，则有以下性质：每个三角形都有三个旁心，三个旁切圆，旁心都在三角形外部；旁心到三角形三边的距离相等；旁心是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点；直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。通过这些性质，我们可以更好地理解和应用三角形的五心概念。

三角形的心脏与线条：记忆小技巧三角形的“四心”：重心：三角形三条中线的交点。重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。内心：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。内心到三角形三边的距离相等。外心：三角形三条边的垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。外心到三角形三个顶点的距离相等。垂心：三角形三条高所在直线的交点。三角形的“五线”：中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。高线（或叫垂线段）：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。中位线：连接三角形两边中点的线段。中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半。中垂线（垂直平分线）：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线。

𐟓三角形的五心大揭秘𐟒ኰŸ” 你是否对三角形的五心感到好奇？今天，我们将带你一起探索这个数学之谜！ ❤️ 内心：三角形三条角平分线的交点，也是内切圆的圆心。它到三角形三边的距离都相等哦！ 𐟒š 外心：三角形三边中垂线的交点，也就是外接圆的圆心。你知道吗？它的性质可多了！ 𐟒› 垂心：三角形三条高的交点，这个心可是三角形的重要角色之一呢！ 𐟒™ 重心：三角形三边中线的交点，它可是三角形的稳定支撑点哦！ 𐟒œ 旁心：三角形一个内角的平分线与其他两个内角的外用平分线的交点，虽然它有点“旁”门左道，但也是数学世界中的一道亮丽风景线。 𐟎‰ 现在，你是不是对三角形的五心有了更深入的了解呢？快来试试这些性质吧，相信你会爱上数学的魅力！

南京九上数学期中试卷分析：细节决定成败这次南京九上数学期中试卷，难度不算特别大，但细节之处需要特别注意。以下是各题目的分析：中等题 𐟓 第5题和第16题属于同一类型，都是动角隐圆问题。关键是要抓住不动的点和特殊角，然后根据点到圆的距离来求解。第15题 𐟔 这道题需要理解ABC三点与圆的关系。圆是ABC的外接圆，所以圆心一定是三角形三边垂直平分线的交点。通过勾股方程可以解题。偏难题 𐟧銧쬲2题 𐟓ˆ 这道题容易掉进陷阱，函数关系式表示的是销售量与降价之间的关系。利润等于每千克的利润乘以所卖千克数。第25题 𐟖Œ️ 第二问作图的基础是第一问的结论。注意作图的准确性和完整性。第26题 𐟧銨🙦˜炙典的定义新运算题目。解题思路就是复刻题目给出的方法，但要注意从特殊到一般的转化，过程要写完整。第27题 𐟔 这道题涉及极限值的分类讨论。E在AD上，所以OE≥3。3,4,24/5等都是极限值。极限值由圆与线的特殊位置关系相切决定，确定了相切的半径后，圆与线的交点个数就很好判断了。总结 𐟓 总体来说，这份试卷难度不大，但需要注意细节较多。对初三同学而言，学好知识点不难，综合运用、细节把握以及能否及时完成题目，才是考到满意分数的关键。

八年级数学：轴对称图形的奥秘 𐟔 1. 轴对称的定义 𐟓 当你把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能和另一个图形完全重合，那么这两个图形就是关于这条直线对称的。对称的点叫做对称点，对称的线段叫做对称线段。轴对称图形的特点 𐟌Ÿ 如果一个图形沿着一条直线折叠，两边能完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。轴对称的性质 𐟓œ 关于某条直线对称的两个图形是全等的。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。如果两个图形的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。线段垂直平分线的性质 𐟓 垂直平分一条线段的直线叫做这条线的垂直平分线。垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。角的平分线的性质 𐟓 把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。等腰三角形的性质与判定 𐟓 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线、底边上的高或顶角的平分线所在的直线都是它的对称轴。等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等腰三角形的两个底角相等，两腰上的高也相等，底边上的中点到两腰的距离也相等。判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。等边三角形的性质与判定 𐟓 等边三角形的三个角都相等，每个角都等于60Ⱓ€‚ 等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且在每条边上都有“三线合一”。因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，而等腰三角形（非等边三角形）只有一条对称轴。判定定理：有一个角是60Ⱗš„等腰三角形是等边三角形。

无刻度直尺作图技巧大揭秘 𐟓 嘿，大家好！今天我们来聊聊无刻度直尺作图，这可是很多地方中考的必考内容哦！平时多练习，考试时就能轻松拿分啦！𐟓š 基本作图1：求线段中点 𐟓 已知线段AB、CD、EF，求作它们的中点。作图原理：利用8字全等或平行线等分线段定理。小技巧：如果有偶数跨度，优先平分偶数跨度，这样可以轻松找到中点。比如线段AB和EF，不需要额外画线，找到线段与“格线”的交点即可。基本作图2：作线段的平行线 𐟓˜ 过P1、P2分别作AB和CD的平行线。作图原理：利用平行四边形的判定定理（本质是构造相同“纵横比”的线段）。小提示：这个方法非常实用，尤其是当你需要作平行线时。基本作图3：作线段的垂线 ✖️ 过P1、P2分别作AB和CD的垂线。作图原理：利用十字架全等（相似）和锐角三角函数（本质是构造出与原线段“纵横比”互为倒数的线段）。小技巧：这个方法非常适合用来作垂线，特别是当你需要构造特定角度时。基本作图4：作线段的垂直平分线 𐟓 利用正方形的对角线互相垂直平分；拆解成“取中点”+“作垂直”；综合前面两种方法。小提示：这个方法非常适用于需要作垂直平分线的情况。基本作图5：作角平分线 𐟓⊦ž„造等腰三角形，利用“三线合一”平分角。小技巧：这个方法非常适合用来作角平分线，特别是当你需要构造特定角度时。基本作图6：有网格的轴对称 𐟔„ 分别作P1、P2、P3关于直线AB的对称点。作图原理：利用中位线定理的推论（或者平行线等分线段定理）。小提示：这个方法非常适用于有网格的情况，可以轻松找到对称点。基本作图7：无网格的轴对称 𐟔„ 已知等腰三角形ABC中，D、E是腰上的两点，AD=AE，在AC上求作Q点，使AO=AP。作图原理：轴对称的两个图形，对应线段所在的直线如果相交，交点一定在对称轴上。小技巧：这个方法非常适合用来作无网格的轴对称，特别是当你需要构造特定角度时。基本作图8：旋转和中心对称 𐟔„ 正方形ABCD中，M是边BC上一点，请在AD边上找一点，使COAM。作图原理：利用中心对称（8字全等）。小提示：这个方法非常适用于需要旋转和中心对称的情况。基本作图9：作直径和圆心 𐟓œ 已知圆经过格点A、B，请找出圆心。作图原理：利用90圆周角找直径；利用垂径定理推论找直径；两条直径的交点是圆心。小技巧：这个方法非常适合用来找圆的直径和圆心。基本作图10：平移非格点（四人抬轿） 𐟚— 如图，求作P点，使四边形ABCP为平行四边形。作图原理：利用平移的基本性质。小提示：这个方法非常适用于需要平移的情况，可以轻松找到特定点。希望这些技巧能帮到你们！平时多练习，考试时就能轻松应对啦！加油！𐟒ꀀ

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