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三棱锥外接球权威发布_三棱锥外接球半径公式(2024年12月精准访谈)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：观点更新日期：2024-12-02

三棱锥外接球

外接球 𐟓š 外接球与内切球，是数学中的两大难题，但掌握了这些技巧，就能轻松应对。 𐟔 对于外接球问题，我们总结出了秒杀的万能公式。例如，在三棱锥C-ABD中，记平面ABC与平面ABD交线长AB=1，二面角C-AB-D的二面角的平面角为𜌁ABD、AAC的外接圆的圆心分别为O、Q、E，其中QE=m，O、E=n。三棱锥外接球半径为R，首先00=0,E+0.6-20E.0,Ecos=m*+nⲭ2mcs。图中O、O、E、Q四点共圆，这个四边形外接圆的半径与三角形OO、E外接圆半径相等，且AOQ、EO外接圆直径为sin𜌅OsinR-0+AE-m+-2m sinsin€‚ 𐟔 对于内切球问题，我们也有一套解题策略。例如，在三棱锥A-BCD中，若一个三棱锥存在同一起点出发的三条棱两两垂直，则可将这个三棱锥补成一个长方体，这个三棱锥的外接球和补成的长方体的外接球是一样的。若一个三棱锥三组对角分别相等，则可将这个三棱锥放到长方体里面，它的外接球和长方体的外接球是一样的。 𐟎‰ 通过这些技巧和方法，我们可以轻松解决各种外接球与内切球的问题。快来试试吧！

𐟓˜ 投影向量的探索之旅 𐟚€ 投影向量，一个看似深奥的数学概念，其实并不难以理解。让我们通过几个经典案例，一起来探索它的奥秘吧！ 𐟓Œ 案例一：三棱锥的外接球问题考虑一个三棱锥P-ABC，其中PA=PC=AB=BC=AC=2v3，PB=33。我们的目标是求出这个三棱锥外接球的表面积。首先，我们画出三棱锥的草图，并进行详细分析。由于APAC和ABAC都是正三角形，我们可以取AC的中点，连接PD和BD。通过一系列的计算和推理，我们可以得出二面角P-AC-B为钝角。接下来，我们设定球心为O，半径为R。通过作图和计算，我们可以发现OB=R，从而得出外接球的表面积为4Rⲣ€‚最终，我们通过选择正确的选项，成功求解了这个问题。 𐟓Œ 案例二：解三角形与特殊角背景求角的正切值在这个案例中，我们已知点P是ABC内的一点，且LABP=45Ⱟ𜌚PBC=PCB=LACP=30Ⱓ€‚我们的目标是求出tan BAP。我们可以通过构造特殊直角三角形，利用边的比例关系来求解。具体来说，我们可以延长BP交AC于点D，然后作PE1AB于E。通过一系列的计算和推理，我们可以得出tan BAP的值为2。 𐟓Œ 案例三：投影向量的计算在这个案例中，我们已知A=B=C且AB+AC+0A=0。我们的目标是求出BA在A上的投影向量。我们可以通过运用向量数量积来处理这个问题。具体来说，我们可以令AB+AC+=0，然后通过计算得出BA在A上的投影向量为(A-OB)。另外，我们也可以通过设定点D为边AB的中点，然后利用平行四边形和菱形的性质来求解。最终，我们成功得出了BA在A上的投影向量。通过这三个案例，我们可以看到投影向量在数学中的应用和重要性。无论是解决三棱锥的外接球问题，还是求解三角形的角的问题，还是计算投影向量本身，都需要我们具备扎实的数学基础和逻辑推理能力。𐟧 𐟒ኊ希望这三个案例能够帮助你更好地理解和应用投影向量这个概念！𐟚€✨

𐟓立体几何与空间向量全攻略𐟓 𐟔 立体几何与空间向量，你掌握了吗？一起来梳理下这些重要知识点吧！ 1️⃣ 常见几何体的表面积与体积公式𐟓 - 圆台、圆锥、棱台、棱锥、球，这些几何体的表面积和体积公式你都会了吗？ 2️⃣ 外接球与内切球模型解析𐟎“ - 长方体的外接球半径怎么求？延伸对边相等的三棱锥如何还原成长方体面对角线？还有正四面体的汉堡模型等等，这些你都会了吗？ 3️⃣ 空间向量与立体几何的交融𐟌 - 建系公式是关键！还有三余弦定理（最小角定理），这些高考趋势你了解吗？ 𐟒ꠧ다𝓥‡ 何与空间向量，你准备好了吗？一起来挑战这些知识点吧！

𐟎“外接球问题全解析𐟓˜ 𐟔一张图带你搞定所有外接球问题！无论是长方体、对棱体还是三棱锥，我们都有对应的解题模型。𐟓对于长方体，记住公式(2R)=aⲫbⲫcⲯ𜌨𝻦𞦉𞥈𐥤–接球半径。𐟔⥯𙦣𑤽“？先补成长方体，再利用Rⲽ2(aⲫbⲩ找到答案。𐟌三棱锥？找底面外接圆，半径R=2+Rⲯ𜌩—˜迎刃而解！𐟎‰还有更多模型等你来探索，如圆锥、圆柱等，我们都有详细的解题步骤。快来试试吧！𐟌Ÿ

𐟎다𝓥‡ 何外接球模型全解析 𐟌 在高一（下）的数学课程中，立体几何的外接球模型是一个重要的知识点。这个模型涉及墙角和对棱相等两个模型，掌握它们对于理解立体几何问题至关重要。 𐟏 墙角模型：当多面体的各个顶点都在同一个球面上时，这个多面体被称为球的内接多面体，而这个球则被称为多面体的外接球。研究多面体的外接球问题，需要运用多面体和球的知识，关键在于抓住内接的特点，即球心到多面体顶点的距离等于球的半径。 𐟓 对棱相等模型：对于三棱锥的三组对棱长分别相等的情况，可以通过构造长方体来解决。外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2R=√(a^2+b^2+c^2)，其中a、b、c分别为长方体的长、宽、高。 𐟓 例题选讲： 1️⃣ 已知三棱锥A-BCD的四个顶点A,B,CD都在球O的表面上，AC⊥平面BCD,BC⊥CD,且AC=5,BC=2,CD=√5，求球O的表面积。 2️⃣ 若三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直,且SA=2，SB=SC=4，求该三棱锥的外接球半径。 3️⃣ 已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC=√2，求球O的表面积。 𐟒ᠦ–𙦳•总结：墙角模型：三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型。用构造法（构造长方体）解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长。对棱相等模型：三棱锥的三组对棱长分别相等模型。用构造法（构造长方体）解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长。通过这些模型的掌握，学生可以更好地理解立体几何中的外接球问题，提升空间想象能力和化归能力。

高中立体几何知识点全解析立体几何是高中数学中相对容易的一个板块，只要你对基本知识点非常熟悉，掌握一些解题技巧，就能轻松应对。下面我们来详细讲解一下立体几何的关键知识点。外接球和内切球 𐟎ˆ 外接球补形为长方体：有些几何体补形后为长方体，它们通常有两个特征：①侧棱垂直底面，底面有直角（如墙角模型、鳖模型、阳马模型）；②三棱锥的三组对棱对应相等。补形后，长方体的体对角线即为外接球的直径，公式为(2R)Ⲡ= aⲠ+ bⲠ+ cⲯ𜌥…𖤸풤𘺥䖦Ž姐ƒ半径，a、b、c分别为长方体的长、宽、高。补形为圆柱体：先将几何体补形为圆柱体，然后计算出底面小圆半径，利用圆柱高的一半构建勾股定理。第一步是找到三角形的外接圆半径r（满足h = 2r），第二步利用勾股定理求得外接球半径R = √(rⲠ+ hⲩ。补形为圆锥体：补形为圆锥体的模型要求顶点、球心、底面圆心三点共线。常见特征有：①正棱锥；②顶点在底面的射影是底面外心；③侧棱长相等。圆柱体的截面 𐟓 平行截面：若截面与底面平行，则截面是一个圆面。垂直截面：若截面与底面垂直，则截面是一个矩形。斜截面：若截面与底面斜交，则截面是一个椭圆（或椭圆的一部分）。圆锥体的截面 𐟌 平行截面：若截面与底面平行且不过顶点，则截面是一个圆面。过顶点截面：若截面过圆锥顶点且与底面相交，则截面是一个等腰三角形。动点轨迹：当截面不过顶点且不与底面平行时，截面可能是抛物线、双曲线、椭圆等情况。正方体的截面 𐟎𙳨ጦˆ꩝⯼š若截面与正方体的一条棱平行，则截面是一个矩形。不平行截面：若截面与正方体任何一条棱都不平行，则截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形。常见的形状有等腰三角形、等边三角形、菱形、等腰梯形、正六边形等。注意，截面不包含直角三角形、直角梯形、钝角三角形、正五边形。棱柱的截面：对于n棱柱，其截面形状最多成为n+2边形（其中n≥4）。多面体截面作图技巧 𐟓 相邻平面的点：延长找棱的交点。平行平面：找平行线。连接棱上交点：通过连接棱上的交点来辅助作图。二面角背景的模型 𐟌 双圆拼接模型：几何体中可看作存在一个二面角D-BC-A形态，此时往往需要将两个三角形的外接圆圆心分别找出来，外接球球心位于过小圆圆心的小圆垂线交点处。特别地，若△AABC和△BCD为全等的三角形或者等腰三角形拼接，或者两圆所在平面垂直，可以通过几何关系来求解外接球半径R。三面角余弦定理：已知PA、PB、PC分别是从P点发出的三条射线（不共面），LAPC = 𜌌BPC = 𜌌APB = 𜌤𚌩⨧’sin€sin€sin𛡨𖳤𘀥š„关系。其他结论 𐟌Ÿ 已知平面a，若△ABC所在平面B，AB = B，AC、BC分别与平面a所成角为€𜌥ˆ™平面B与a所成角满足sin+ sin= sin€‚ 通过这些知识点和技巧，你可以更好地掌握立体几何，提高解题能力。加油！𐟒ꀀ

高中数学立体几何：球的切接与截面翻折 𐟓š 高中数学专题整理——立体几何 𐟔 球的切、接问题及截面、翻折问题外接球题型归类三线垂直图形计算公式：三棱锥三线垂直→还原成长方体→2R=aⲫb+c 长方体（正方体）的特殊性质三棱锥对棱相等：mⲫnⲫpⲽ2RⲊ等边三角形与等腰直角三角形连接投影为矩形线面垂直型线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形），外接圆半径是r，满足正弦定理计算公式：R=PC+2；其中21-sinⲎ𘊩⩝⥞‚直型一般情况下，两面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型垂线相交型等边或者直角：等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心。许多情况下，会和二面角结合求多面体的外接球半径的常见方法三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心立体几何中截面的处理思路直接连接法有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程作平行线法过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线作延长线找交点法若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线辅助平面法若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面 𐟓– 制作：习理科实验室（数学教研组）

安康高新中学2024届高三模拟考试解析祝愿大家在即将到来的高考中取得优异成绩，考出自己的水平！𐟒ꊦ•𐥭橢˜目解析题目5：设a和˜露䤸ꤸ同的平面，1和m是两条直线，且m在a上，1在a上。那么“1在𘊢€是“m在𘊢€的什么条件？选项A：充分而不必要条件选项B：必要而不充分条件选项C：充分必要条件选项D：既不充分也不必要条件题目6：随着国潮的兴起，汉服的接受度逐渐提高。数据显示，中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演和婚庆典礼六类。某自媒体博主计划从这六类场景中选两类拍摄汉服照片，那么汉服活动或旅游观光至少有一类被选中的概率为多少？选项A：3/5 选项B：2/5 选项C：1/5 选项D：4/5 题目7：已知一个三棱锥的三视图如图所示，正视图为边长为3的正方形，侧视图和俯视图均为等腰直角三角形。求此几何体的外接球表面积。选项A：6选项B：12选项C：17选项D：27考试祝福祝大家在这次模拟考试中取得好成绩，为即将到来的高考打下坚实的基础！𐟓š𐟒

𐟓š数学学渣的救星来啦！𐟚€ 你是不是对数学感到头疼？𐟤”别担心，这里有一份超详细的数学笔记等你来拿！𐟓– 𐟔外接球模型大解析： 1️⃣ 墙角模型：已知正方体的体积，求外接球的表面积。𐟓 2️⃣ 汉堡模型：三棱柱的顶点都在球上，给出部分边长，求球的表面积。𐟍” 3️⃣ 斗笠模型：正三棱锥的侧棱长和底面边长已知，求外接球的体积。𐟎銴️⃣ 切瓜模型：三棱锥的侧面与底面夹角已知，求外接球的表面积。𐟍‰ 𐟒ᨿ˜有更多模型等你来挑战！每个模型都有详细的解题步骤和公式，让你轻松掌握数学难题！𐟌Ÿ 快来试试吧！让这份数学笔记成为你的学习利器！𐟒ꀀ

𐟎㠩똤𘀧다𝓥‡ 何外接球经典模型大揭秘 𐟎‰ 在高一的立体几何中，外接球的经典模型是学生们必须掌握的重要知识点。以下是四种常见的外接球模型，帮助你更好地理解和应用。【一】𐟓š 长方体模型长方体的体对角线就是外接球的直径。𐟌Ÿ 变式：三种特殊的三棱锥可以补全为长方体。【二】𐟛 ️ 圆柱模型利用底面圆的半径、高的一半和外接球半径组成的直角三角形来计算。𐟌Ÿ 变式：一条棱垂直于底面的三棱锥或直三棱柱可以补全为圆柱。【三】𐟌𐠥œ†锥模型通过底面圆半径、高和外接球半径之间的关系，构建直角三角形来求解。注意球心可能在高线上或高线外。𐟌Ÿ 变式：顶点在底面投影位于底面三角形外心的三棱锥，可以补全为圆锥。【四】𐟌ˆ 圆台模型利用上下底面圆的半径、球的半径和球心到两底面的距离，构建两个直角三角形来计算。注意球心可能在高线上或高线外。𐟌Ÿ 变式：上下底面三角形的外心连线垂直于底面的三棱台，也可以转化为圆台，再计算外接球。通过这些经典模型，你可以更好地理解和掌握立体几何中外接球的计算方法，为后续的学习打下坚实的基础。

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