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求间断点最新视觉报道_求间断点时,什么情况下需要分左右极限讨论(2024年12月全程跟踪)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：热点更新日期：2024-11-30

求间断点

专升本数学函数极限与连续性全攻略 ### 函数连续性概念 𐟓š 函数在某点连续，意味着在该点附近的某个小区域内，函数值的变化非常小。具体来说，如果函数在点 x0 处连续，那么它在这个点的左右两侧都应该有定义，并且左右极限存在且相等。函数在点 x0 处连续的充要条件是左连续和右连续。间断点的类型 𐟚능‡𝦕𐥜覟点不连续的情况有很多种，常见的有以下几种：没有定义：函数在某点没有定义。存在但不相等：函数在某点有定义，但左右极限不相等。可去间断点：函数在某点有定义，但左右极限存在且相等，但函数值与极限值不相等。跳跃间断点：函数在某点有定义，但左右极限不存在。振荡间断点：函数在某点的极限不存在，且函数值呈上下振荡。连续性与极限 𐟔„ 函数的连续性通常需要通过极限来证明。以下是一些常见的极限求解方法：有理化：当分子或分母中含有根式时，考虑使用有理化。无穷小代换：简化求极限的常用方法。洛必达法则：无法等代换时，考虑使用洛必达法则。重要极限法：将复杂形式转化为已知的重要极限形式。零点定理的应用 𐟓 零点定理是证明方程根的存在性的一种方法。如果函数在闭区间 [a, b] 上连续，并且 f(a) 与 f(b) 异号，那么存在一个点 c ∈ (a, b)，使得 f(c) = 0。这个定理可以用于证明方程在某个区间内至少有一个根。例题解析 𐟔 例如，证明方程 5x^3 = 0 在 (0, 1) 内至少有一个根。考虑函数 f(x) = 5x^3，它在 x = 0 处左连续，且 f(0) = 0。由于 f(x) 在 (0, 1) 内是连续的，并且 f(1) = -12 < 0，根据零点定理，存在一个点 c ∈ (0, 1)，使得 f(c) = 0。因此，方程 5x^3 = 0 在 (0, 1) 内至少有一个根。总结 𐟓 函数的连续性是数学分析中的重要概念，需要通过极限来证明。掌握常见的极限求解方法和零点定理的应用，可以帮助我们更好地理解和解决相关问题。希望这份攻略能帮助你在专升本数学考试中取得好成绩！

大一高数知识点全解析𐟓š 同学们，期末考试快到了，赶紧复习吧！高数可不是闹着玩的，挂了可就麻烦了。下面是我总结的大一高数上册知识点，希望能帮到你们。第一章：函数与极限𐟓ˆ 函数的概念函数的极限求极限的方法重要公式和等价无穷小洛必达法则利用导数定义求极限利用定积分定义求极限函数间断点的分类闭区间上连续函数的性质第二章：导数与微分𐟓 基本概念求导公式常见求导方法复合函数求导法则反函数求导法则隐形函数求导法则对数求导法则求n阶导数两个函数乘积的高阶导数公式第三章：微分中值定理与导数应用𐟔 罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式与估值求极限常用公式和麦克劳林公式导数的应用极值判断方法凹凸性与拐点凹凸的定义凹凸性的判定方法拐点判定方法希望这些知识点能帮到你们，期末考试加油！𐟒ꀀ

数学分析必考题型汇总，轻松掌握！ 𐟓š 理清数学分析考试题型，有助于更好地复习哦～判断开集、闭集、有界集、区域，指出聚点、界点、内点证明集合为闭集：聚点都属于集合求二元函数的极限：直接求或者追敛性讨论二元函数的重极限和累次极限求二元函数的重极限：y=x，极限不存在累次极限存在不相等，重极限不存在讨论函数的连续性：主要看区域分界点的连续性求偏导数：将另一变量看成常量求导证明偏导数不存在：定义求极限考察函数可微性：反证法求全微分：直接求给定点的全微分求切平面方程和法线方程：切平面和法线方程的求解计算近似值：f(x, y)≈f(x0, y0)+fx(x0, y0)dx+fy(x0, y0)dy 求复合函数的偏导数或导数：链式法则求复合函数的全微分：直接求证明等式：质求偏导数求方向导数：f(x, y, z)=fx(p0)cosa+fy(p0)cosfz(p0)cos求梯度：gradf(p0)=(fx(p0), fy(p0), fz(p0)) 求泰勒公式：f(x+dx, y+dy)=f(x, y)+fx(x, y)dx+fy(x, y)dy+fxx(x, y)dxⲫfxy(x, y)dxdy+fy(x, y)dyⲊ求高阶偏导数：注意复合函数的高阶求导，在一阶求导后f与两个中间变量都还有关求极值点：先求出fx=0，fy=0的点，再求fxx，fxy，fy，最后判断极值类型求最值：在稳定点、不连续点、边界点中比较出最值是否存在隐函数：隐函数存在性定理：F(x0, y0)=0，Fy、F连续，Fy≠0 求隐函数导数：先去除fy=0的点，然后求f(x)=-(Fx/Fy) 求平面曲线的切线方程和法线方程求空间曲线的切线方程和法平面方程：两种情况（如求某曲线的切线平行某个平面）求平面的切平面和法线方程（如求某平面的切平面平行某个平面）求条件极值：L(x, y, z, =f(x, y, z)+h1(x, y, z)+h2(x, y, z))，求解方程组：Lx，Ly，Lz，…L0，求得稳足点，判断是否为极值点，是否取极值或最值拉格朗日乘数法应用：重新求水箱设计的问题，解拉格朗日函数L(x, y, z, A)=2(xz+yz)+xy+(xyz-V)，令偏导数等于0，求解方程组，得到最小值S=3(2V)Ⲁ

𐟓š 考研数学三大纲详解 𐟓š 𐟓– 一、函数、极限、连续函数的概念与表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性初等函数的性质与图形函数关系的建立与函数图形的描绘函数极限的概念函数极限的性质与极限存在的准则函数极限的四则运算法则无穷小量与无穷大量的概念及其关系无穷小量的比较与等价无穷小量的求法函数的连续性与初等函数的连续性函数间断点的类型多元函数的极限与连续性 𐟓– 二、一元函数微分学导数与微分的概念导数的几何意义与经济意义导数的四则运算法则基本初等函数的导数公式复合函数、反函数与隐函数的导数高阶导数与一阶微分形式的不变性微分中值定理函数的单调性与极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘洛必达法则与函数单调性的判别法函数极值、最大值和最小值的求法及其应用 𐟓– 三、一元函数积分学不定积分的概念与性质不定积分的换元积分法与分部积分法定积分的概念与性质定积分的几何意义与物理应用定积分的换元积分法与分部积分法定积分的计算方法（直角坐标、极坐标）广义积分（反常积分）的概念与计算方法 𐟓– 四、多元函数微积分学多元函数的概念与几何意义多元函数的极限与连续性多元函数的偏导数与全微分多元函数的极值与条件极值多元函数的等价无穷小量与洛必达法则空间曲线的切线与法线方程的求法空间曲面的切平面与法线方程的求法二元函数的极值问题及其应用多元函数的微分中值定理与最大值最小值问题

𐟓š 河北专升本考试大纲解析 𐟓– 𐟎“ 准备参加河北专升本的同学们注意啦！这里为大家整理了最新的考试大纲，帮助你更好地备考。 𐟓˜ 高等数学二考试大纲 1️⃣ 函数、极限与连续函数的概念、定义域、表达式及函数值的求法函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性复合函数及分段函数的概念初等函数的概念和性质根据实际问题建立函数关系的方法 2️⃣ 一元函数的极限与连续数列极限的概念和性质函数极限的概念和性质极限的运算法则无穷小、无穷大的概念及它们之间的关系利用无穷小的等价代换求函数极限的方法函数在一点处连续的概念函数间断点的概念和分类连续函数的运算性质和初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 3️⃣ 一元函数微分学导数与微分导数的概念和几何意义基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则及复合函数的求导法则隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数计算微分的概念和计算方法 4️⃣ 一元函数积分学不定积分原函数与不定积分的概念不定积分的基本性质和公式不定积分的第一类换元法、第二类换元法和分部积分法定积分定积分的概念及几何意义变限积分函数的概念及其求导定理定积分的换元积分法和分部积分法用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积无穷区间的广义积分的概念和计算方法 5️⃣ 多元函数微分学多元函数的概念和几何意义二元函数的定义域计算二元函数极限与连续的概念（对计算不作要求）偏导数的概念和计算方法全微分的概念和计算方法多元复合函数的一、二阶偏导数计算方法隐函数存在定理的应用二元函数的极值与最值的概念和求法 6️⃣ 无穷级数不定积分和定积分的概念和性质不定积分的基本公式和计算方法定积分的换元积分法和分部积分法用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积 7️⃣ 常微分方程常微分方程的基本概念微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解的概念常微分方程的解、通解和特解的验证方法一阶可分离变量微分方程的解法一阶线性微分方程的求解方法 8️⃣ 线性代数行列式行列式的定义和性质余子式和代数余子式的概念行列式按一行（列）展开定理计算行列式的基本方法克莱姆法则及推论的应用（仅限于二元和三元线性方程组）矩阵矩阵的概念和线性运算矩阵的乘法、转置和伴随矩阵的概念和性质二、三阶方阵的逆矩阵计算方法（伴随矩阵法）矩阵秩的概念和计算方法（初等行变换法）矩阵方程的求解方法（初等行变换法） n维向量与线性方程组的关系。

23数二真题详解：分享我的答题思路 𐟓š 1. 这道题挺友好的，之前遇到的那种问有几条渐近线的题真是让人头疼。选择题不用浪费时间积出来，直接把间断点代入看看是否连续。BD都连续的话，再算算选项的导数和题目是否一致。这道题我不会，只是觉得yⲨ‚葉š比sinx高阶，结果发现是个难题。受之前模拟卷的影响，以为只要都小于0就一定有界，没认真分析。经典题，间断点处用定义，间断点外直接求导。直接积分，把a的函数算出来，然后求导。没有极值点意味着导数始终＞0或＜0，此题＞0，求二导，二导必须有零点，两个约束条件就都出来了。这题真的很经典了，和06年那道如出一辙。周洋鑫说过，一看到已经平方和平方和的还让求规范型，那肯定是他配方法配错了，拆开重配。四个选项，哪个能同时满足与前两个相关又与后两个相关，也就是行列式都为0，那个就是答案。简单题不多讲了。 t的定义域范围确定x的取值，套公式直接算。隐函数求导问题，比较常规。又是隐函数，居然不搞个参数方程。这道题真的不会，要用拆积分上下限的方法，还要代来代去的，不好想，好题。我直接硬算把a和b求出来，看来是求错了，其实只要通过系数矩阵为0，把系数矩阵按最后一列展开，就能得到这两个行列式的关系了。这题我算了好久，一开始把题看成到原点的距离了，浪费了很多时间，计算量还是不小的。这种带三角函数的驻点问题都是要看2n’Œ2n+1š„情况的。先代几个点大致看一下图形走向，然后直接求，第一问居然最后一步出错，真的不该丢分。一开始把式子写出来想着完了完了这么复杂，极坐标真的能行吗，算几步就会发现柳暗花明又一村，不难的。一开始打算用两次拉格朗日，用完结果会多个2，然后想到泰勒公式，果然让我给做出来了，不过第二问卡了，最后几步有点类似放缩，我最不会放缩了。好简单的线代大题，简单到有点怀疑这真的是这样算的吗。

𐟓– 数学基础：连续与间断精解 𐟔 连续的定义： - 若函数f(x)在某点x0处有定义，且f(x0)=f(x)，则称函数在x0处连续。 - 判断函数连续的关键是求极限，需区分不同描述形式的使用情境。 𐟒ᠨ🞧𛭥‡𝦕𐧚„运算特性： 1️⃣ 四则运算：若f(x)、g(x)均在x0处连续，则它们的和、差、积、商也都在x0处连续。 2️⃣ 复合函数：若函数u=p(x)在x0处连续，且函数y=f(u)在u0处连续，则复合函数y=f[p(x)]在x0处连续。 𐟓 间断点的定义及分类： - 若函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，但不连续，则称x0为函数f(x)的间断点。 - 间断点分为两类：第一类（左右极限都存在）包括可去间断点和跳跃间断点；第二类（左右极限至少一个不存在）包括无穷间断点和振荡间断点。 𐟔젦𑂥‡𝦕𐩗𔦖�𙧚„方法： 1️⃣ 找出函数可能的间断点，通常是分母或真数为零的点。 2️⃣ 分别求这些点处的左右极限，并对照间断点的定义进行分类。

华南师范大学数学分析必考知识点清单 𐟓š 数学分析是华南师范大学数学科学专业的重要课程，以下是整理的必考知识点，帮助大家更好地备考！ 𐟔 数列极限通项变形算极限数列极限的性质 Stolz公式迫敛性准则定积分定义归结原则子列与聚点 𐟓ˆ 函数极限无穷小量函数的左右极限幂指函数求极限洛必达法则拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式（4阶）变限积分求极限 𐟒蠥‡𝦕𐧚„连续性连续的定义函数的渐近线间断点的分类一致连续 𐟓ˆ 函数的微分复合求导隐函数求导高阶导数函数的极值点与单调性 𐟒砥‡𝦕𐧚„积分分部积分凑微分法代入换元法微积分基本定理平面图形的面积旋转体的体积 𐟓Š 级数比式判别法根式判别法莱布尼茨判别法绝对收敛幂级数求和函数的幂级数展开 𐟌 多元函数的微积分二元函数的极限复合偏导高阶偏导条件极值二重积分的换序第二型曲线积分的计算格林公式第一型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算高斯公式 𐟓 空间解析几何空间平面方程空间直线方程平面及直线间关系 𐟓– 高等代数多项式：实系数多项式在不同数域上的因式分解实系数多项式根的性质韦达定理有理根的计算行列式：行列式和矩阵性质计算，克拉默法则方程组：基础解系、含参线性方程组求参含参线性方程组解的判别含参线性方程组求解矩阵：方阵行列式、矩阵的秩、伴随矩阵、逆矩阵、矩阵方程求未知矩阵二次型：二次型矩阵、正定二次型（正定矩阵）的判别含参实二次型求参线性空间：基与维数计算、过渡矩阵方法、基变换、生成子空间线性变换：线性变换的矩阵、线性变换（矩阵）可对角化、特征值与特征向量、利用特征值求方阵的行列式、求值域与核欧氏空间：向量的内积、向量的正交、向量的夹角、施密特正交化、标准正交基、实对称矩阵正交相似对角矩阵 𐟓 这些知识点是华南师范大学数学分析考试的重点，希望对大家有所帮助！

考研最后冲刺：各科高效复习攻略大家一定要抓住重点，全力冲刺！ ⭕数学 ① 集中学习：选择真题中短期内容易得分且占比大的知识点，如极限的求法、间断点、极值点、二重积分等。学完一个知识点后，对应刷基础题。 ② 模拟卷练习：尝试李永乐的“6+3”套卷，难度与真题相近，选题填空涉及的知识点多，相当于查缺补漏。先做一套估分，看看离目标100分差多少。想快速提分的同学可以不成套刷，直接按知识点一类类刷，专项突破。一刷近15年真题，每天1套，不会的也要做，在题中吸收。二刷真题：刷前先计时，做完后弄明白每步怎么来的？真正理解好，错的要在纸上重新做一遍。 ⭕英语 ① 阅读：放弃长篇语法课和语法书，直接刷真题，从真题中找语感。 ② 词汇：背完3600核心词后，直接背真题中整理的词（详见置顶的一篇）。 ③ 作文：跟着周思成练自己的模板，一定要自己动手练，顺便练下字（字好看卷面加个一两分不香？），考前周黑押蹲主题~ ⭕政治 ① 一轮复习：刚开始或还没结束一轮复习的同学，看一章背诵笔记+做一章优题库/1000题，碎片化时间看下篇选择题技巧归纳。 ② 二轮复习：优先看大纲今年新增+190题和优题库增补，零碎时间看徐背诵笔记下篇选择题技巧归纳，比如四选二、四选一、各种“宗旨”同类知识点梳理等等，每天规定看一个章节或20页。 ③ 冲刺阶段：11月份各种预测套卷上市后，肖八徐六腿四等上市后，优题库/1000题就不用再做了，把主要精力放在这些冲刺卷上，肖8>徐6＞腿4>米6，肖爷说这两年真题出题越来越细致，大家一定要多刷！！ 𐟌챱月啦！再坚持一下就上岸了！保持不焦虑就是上岸的信号，脚踏实地过好每一天就会稳稳上岸。

广西专升本数学考试大纲详解，你了解多少？嘿，同学们！最近是不是在为广西专升本考试发愁？特别是数学这一科，是不是觉得难度有点大？别担心，今天我就来给大家详细解读一下广西专升本数学考试大纲，看看你们都了解多少。考试内容概览 𐟓š 首先，数学在专升本考试中可是公共基础课，主要考察的是大家的基础知识、数学思维能力、数学运算能力以及运用数学分析、解决实际问题的能力。说白了，就是看你是不是系统掌握了数学的基本理论知识。一元函数微积分学 𐟓ˆ 这部分内容主要包括函数、极限与连续、一元函数导数与微分以及一元函数积分学。具体来说：函数、极限与连续：理解函数的概念，掌握简单函数的定义域、值域的求法和函数的表示法；了解函数与其反函数之间的关系；掌握函数的四则运算与复合运算；理解基本初等函数的简单性质及其图像；了解极限的概念；掌握极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则；掌握两个重要极限及其应用；理解无穷小与无穷大的概念、性质及两者之间的关系；掌握用等价无穷小代换法求极限；理解函数连续性的概念，了解函数间断点的定义；掌握连续函数四则运算及复合运算的连续性；了解闭区间上连续函数的性质。一元函数导数与微分：理解导数的定义、函数可导与连续的关系；理解导数的几何意义；掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；会隐函数求导法、反函数求导法；理解高阶导数的定义，掌握函数的二阶导数计算方法；理解微分的定义，掌握微分的基本公式、运算法则；了解微分的一阶微分形式不变性。一元函数导数的应用：了解微分中值定理——罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；掌握用洛必达法则求未定式极限；掌握函数单调性的判定方法；理解函数极值的概念，并掌握其求法；掌握函数最值的求法及简单应用；了解曲线的凹凸性和拐点的含义；了解函数作图的主要步骤。一元函数积分学：理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的基本性质；掌握不定积分的基本积分公式；掌握不定积分的直接积分法、换元积分法与分部积分法；理解定积分的概念及其性质；理解积分变上限函数及其求导定理；掌握牛顿一莱布尼兹公式；掌握定积分的直接积分法、换元积分法和分部积分法；理解广义积分的概念，掌握广义积分的计算方法；掌握定积分的简单应用。常微分方程 𐟌€ 这部分主要考察大家对微分方程的理解和求解能力：了解微分方程的阶及其解、通解、初始条件和特解的概念；掌握可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程的求解方法；掌握用降阶法求解高阶微分方程；了解二阶线性微分方程解的结构；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。考试形式与试卷结构 𐟓 考试形式是闭卷、笔试，满分150分，考试时间120分钟。题型结构如下：单项选择题：共10题，每题5分，共50分。填空题：共4题，每题5分，共20分。计算题：共7题，每题8分，共56分。应用题：共2题，每题12分，共24分。小结 𐟓 总的来说，广西专升本数学考试大纲的内容还是比较全面的，涵盖了函数的定义、极限与连续、导数与微分以及积分等多个方面。希望同学们能够认真复习，掌握这些基础知识，争取在考试中取得好成绩！加油！𐟒ꀀ