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中垂线定理前沿信息_中垂线定理是什么(2024年12月实时热点)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：教程更新日期：2024-11-28

中垂线定理

数学竞赛必备定理公式大全 𐟓š 初中数学竞赛中，掌握一些常用的定理和公式至关重要。以下是一些重要的数学定理，帮助你在竞赛中取得好成绩。中线定理 𐟓 AD为BC边上的中线结论：ABⲠ+ ACⲠ- 2(ADⲠ+ BDⲩ 垂线定理 𐟓˜ AD为BC边上的高结论：AB - BD = AC - CD 梅涅劳斯定理 𐟓– 一条直线与三角形ABC三边延长线交于R、Q、P 结论：AR/RB = PC'/QA = RC/PB 塞瓦定理 𐟓š 三角形内部一点O，延长AO、BO、CO交三边于X、Y、Z 结论：ZBXC / YAZC = XBYA 角平分线定理 𐟓 AD为∠BAC平分线结论：BD/CD = AB/AC 斯特瓦尔特定理 𐟓˜ D为BC边上一点结论：D(AB' + DC) + AC.BD - AD' - BC = BC.DC.BD 射影定理 𐟓– BAC=90Ⱟ𜌁D⊥BC 结论：AD' = BD - CD，AB' = BDⷂC，AC' = COⷂC 外森匹克不等式 𐟓š 三角形面积为S 结论：a + bⲠ+ cⲠ> 4√3S 西姆松定理 𐟓 过三角形ABC外接圆上一点P作三边延长线的垂线结论：三个足M、N、Q共线海伦公式 𐟓˜ AABC三边分别为a、b、c 结论：S△ABC = p(p - a)(p - b)(p - c)，其中p = (a + b + c)/2 燕尾定理 𐟓– AABC中，AD、BE、CF相交于同一点O 结论：S△AOB = S△AOC = S△BOC / 2 拖勒密定理 𐟓š 四边形ABCD为内接四边形结论：ACⷂD = ABⷃD + ADⷂC，AC - BD < AB - CDⷁD - BC，当且仅当ABCD四点共线时等号成立九点圆 𐟓 三角形三边的中点，三条边的垂足和各顶点与心连线的中点共线结论：九点圆的半径是三角形外接圆半径的1/2，九点圆的圆心在欧拉线上，为三角形内心外心的中点，九点圆的三个切点分别是三角形的三个内心点垂美四边形 𐟓˜ 对角线互相垂直的四边形ACBD 结论：AB' + CD' = AD' + BC'，P是矩形内任意一点，PA' + PC' = PB' + PD' 维维亚尼定理 𐟓– P是三角形ABC内任意一点，P到三边的距离分别是h1、h2、h3，三角形ABC的高为H 结论：h1 + h2 + h3 = H 炫切角定理 𐟓š PA切于A，PB切于B，PC切于C 结论：LPAC = PA / PC = PB / PC 圆幂定理 𐟓 相交弦定理：弦AB与弦CD交于P，PAⷐB = PCⷐD 切线定：PQ切圆于Q，线PB、PO交圆于A、C，PAⷐB - PCⷐD = PQ'Ⲋ莫利定理 𐟓˜ AABC各内角的三等分线交点，构成的三角形ADEF为等边三角形笛沙格定理 𐟓– AABC和AAIBICI甲，AAI、BBI、CCI交于一点P，AB与AB的交点D，BC与BIC的交点E，AC与ACI的交点F，三点共线

𐟓š 九年级上册圆的知识点全解析 𐟔 圆的切线与切点：经过圆心作圆的切线，垂线经过切点；反之，经过切点作切线的垂线也经过圆心。 𐟓 切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 𐟔„ 圆和圆的位置关系：无公共点：外离（d > R + r）有唯一公共点：外切（d = R + r）有2个公共点：相交（R - r < d < R + r）有唯一公共点：内切（d = R - r）无公共点：内含（d < R - r） 𐟌ˆ 三角形的外接圆与内切圆：内心：三角形内心是三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心，到三角形三边的距离相等。外心：三角形外心是三边中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部。重心：三角形重心是三边中线的交点，在三角形内部。 𐟓Š 垂径定理：在直角三角形中，如果一条直角边是圆的直径，那么这条直角边所对的角是直角。 𐟔 弧、弦、圆心角、圆周角的关系：弧长公式：弧长 = 半径㗠圆心角（度数）。弦长公式：弦长 = 2 㗠半径㗠sin(圆心角/2)。圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等。 𐟓ˆ 圆的计算：阴影部分的面积计算，需要综合运用各知识求解。利用勾股定理、相似三角形等知识求解与圆相关的计算问题。 𐟎𛃤𙠩☨磦ž：证明直线DE是圆的切线。求图中阴影部分的面积。证明三角形内心、外心、重心的性质。利用垂径定理解决实际问题。利用弧长公式、弦长公式计算圆的周长和面积。

上海中考数学冲刺，必看攻略！参加中考是上海初中生的必经之路，很多人可能就差几分，从而无缘四大八大高中或者重点高中。因此，很多家长和孩子都早早地开始在外面学习，不停地冲刺。作为一名多年教学经验的老师，我想分享一些建议，帮助大家更高效地备考。打好基础是关键 𐟏 首先，我们要明确中考冲刺的重点，抓住关键才能更高效率实现目标。第一步就是要把基础打坚固。计算部分：分数计算：通分、约分、去括号、去负号等基本操作要保证正确率90%以上，然后再提高速度。解方程：主要分为分式方程和二次方程。分式方程的关键在于去分母和检验增根，二次方程则需要熟练掌握配方法、公式法和十字相乘法，确保正确率90%以上。多项式计算：这是很多学生容易出错的地方，尤其是多项式乘多项式时，容易符号错误、分数乘错或者少算项数。因此，这种计算一定要保持头脑清楚，一项一项写清楚算明白。不等式计算：很多学生忽略练习的地方。不等式要注意有负号乘除时变号，计算后如何把各不等式的结果合并为一个结果。很多学生会卡在不会合并上，此时要抓住关键的数轴上作图。几何部分：全等三角形证明和结论应用：熟练掌握全等三角形的证明和结论应用是关键。相似三角形证明和结论应用：相似三角形的证明和结论应用也是重点。倍长中线法、中位线法、旋转翻折图形的作法：这些方法要熟练掌握。角平分线定理、中垂线定理：这些基础结论要背熟。函数部分：一次函数、二次函数、反比例函数的解析式求法：一次函数可以通过待定系数法或者两点求，反比例函数要把握矩形面积的几何意义，二次函数要把握对称轴和与坐标轴交点等。从基础题目开始 𐟓š 打好基础后，确保基础题目万无一失了，再去冲刺高难度题目。此时要分填空压轴题和大题压轴题。填空压轴题：往往是翻折旋转三角比，很多学生连翻折旋转后的图形都画不出来，所以做不出来题目。只有把图作出来，再配合一些套路，解决难度不大。大题压轴题：这类题目往往是相似三角形，第一小问和第二小问要尽快做出来。学生要学会从角度条件找相似三角形，再通过三角形相似得出结论。第三小问一般不是一个解，可尽快把最容易做出来的解算出来，其他的再根据考试时间长短确定要不要继续做下去。总结总之，上海中考数学冲刺需要有策略有重点地进行，不能盲目刷题和听课。希望这些策略能帮助同学们取得好的成绩。如果有具体疑问或者想了解更多，欢迎在评论区留言哦！

初中数学几何模型解题技巧大全 𐟎𘀣€中点技巧：中线类方法 𐟓Œ 斜中线+角中垂，必等腰 𐟓Œ 若中点在直角三角形斜边上，连中线，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得两个等腰三角形，转化边、角关系。 𐟓Œ 若中点在等腰三角形底边，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质，转化边、角关系。 𐟓Œ 特别地，等腰直角三角形斜边上的中线将其分成两个全等的等腰直角三角形。 𐟓Œ 反之，若三角形一边上的中线等于此边的一半，可反推出此三角形为直角三角形（需证明）；若三角形“角中垂”中已知两线，也可反推此三角形为等腰三角形（需证明）。 𐟎𚌣€中点技巧：平行中点+倍长中线类方法 𐟓Œ 见中点，找“9”，然后把“9”变“8”，本质是根据中点是线段的对称中心，构造“8字型”全等三角形，从而转移线段和角。 𐟎𘉣€圆：求外接圆半径技巧 𐟓Œ 等腰三角形：先作底边中垂线，外接圆圆心一定在这条直线上；再根据垂径定理计算（“弦长+弓高”模型）。 𐟓Œ 直角三角形：直角三角形的外接圆，是以斜边为直径的圆，因此外接圆半径等于斜边一半。 𐟓Œ 含特殊角的三角形（非直角三角形）：r=a。 𐟎››、最值问题：单条线段最值类技巧 𐟓Œ 考法一：动点轨迹为直线（或线段），考察动点与一定点距离最小值 𐟓Œ 模型：如图，若A为定点，动点轨迹为直线BC，则动点位于D处，即ADIBC时，点D到点A距离最小。 𐟓Œ 依据：垂线段最短。 𐟓Œ 最值计算常用方法：勾股定理，相似，面积法等。 𐟓Œ 考法二：两个动点与某定点距离已知，考察两动点间距离最值 𐟓Œ 模型：如图，若A为定点，平面内两动点B、C到点A距离一定，则AC-BBCB+C。 𐟓Œ 依据：三角形三边关系。

𐟧𕰟“ 如何证明线面垂直？ 𐟤” 想要证明一条线与一个平面垂直？没问题，我们一起来探索一下这个数学问题！ 𐟓˜ 首先，我们需要了解线面垂直的性质定理。简单来说，如果一条线与一个平面垂直，那么这条线上的任意一点到这个平面的距离都是相等的。这是线面垂直的一个基本性质。 𐟓 接下来，我们可以利用这个性质来证明线面垂直。比如，我们可以选择线上的一个点，然后构造一个垂线段到平面，然后证明这个垂线段与平面垂直。这样，我们就可以说这条线与这个平面垂直了。 𐟖‹️ 另外，我们还可以通过计算线面角来证明线面垂直。如果线面角为90度，那么这条线就与这个平面垂直。所以，我们可以通过测量或者计算线面角来验证我们的结论。 𐟒ᠦ€𛧚„来说，证明线面垂直需要我们从多个角度来考虑，包括利用性质定理、构造垂线段以及计算线面角等方法。通过这些方法，我们可以更好地理解和掌握数学中的线面垂直关系。 𐟔 如果你对这个问题还有疑问或者想要更深入的了解，不妨查阅一下相关的数学资料或者咨询一下数学老师哦！

三角形五心详解及其性质定理三角形五心及相关定理是初中数学的重要知识点，也是中考数学几何模型的常见考点。以下是三角形五心的详细总结及其相关性质定理。 𐟓Œ 一重心定义：三角形三边中线的交点。性质：重心将每条中线分为2:1的比例。公式：$BC^2 = 2(AB^2 + AC^2)$。结论：重心到三角形任意一边的中点连线，与该边平行且等于该边的一半。 𐟓Œ 二垂心定义：三角形三垂线的交点。性质：垂心与三角形的三个顶点组成垂心组。结论：垂心到三角形任意一边的垂线，与该边垂直且等于该边的一半。 𐟓Œ 三外心定义：三角形三达中垂线的交点。性质：外心是三角形的外接圆圆心。公式：$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}$。结论：外心到三角形任意一边的距离等于该边的长度除以该边对应的正弦值。 𐟓Œ 四内心定义：三角形三条内平公线的交点。性质：内心是三角形的内切圆圆心。公式：$r = \frac{2S}{a + b + c}$。结论：内心到三角形任意一边的距离等于该边的长度乘以该边对应的正弦值的一半，再除以三角形的周长。 𐟓Œ 五旁心定义：三角形一内向平与外两外线的交点。性质：旁心在三角形内部，且到三角形任意一边的距离等于该边的长度除以该边对应的正弦值的一半。 𐟓Œ 欧拉线结论：重心、外心、垂心三点共线，且重心到垂心的距离等于外心到垂心的距离的两倍。 𐟓Œ 五点共圆结论：重心、外心、内心、垂心在三角形中五点共圆，且这个圆的半径等于外接圆半径的一半。通过以上总结，我们可以更好地理解和掌握三角形五心的性质和定理，为解决相关数学问题打下基础。

初中数学几何辅助线添加技巧全解析初中数学想要得满分，几何辅助线技巧是关键！几何在初中数学中占据重要地位，涵盖了众多重点和难点知识。掌握几何辅助线技巧，解题将变得轻松又快速。以下是一些实用的辅助线添加方法：三角形 𐟓 角平分线：可向两边作垂线。对称法：将图形对折，观察对称后的关系。等腰三角形：添加角平分线或平行线。三线合一：尝试角平分线加垂线。中位线：连接三角形两中点。全等三角形：倍长中线法。四边形 𐟓˜ 平行四边形：寻找对称中心或等分点。梯形：转换为三角形或平行四边形。平移腰或对角，延长作出高。中位线：连接腰中点。全等法：过腰中点构造全等三角形。相似法：添加平行线，证明相似。比例法：利用等积式子，寻找关键线段。等量代换：直接证明有困难时，尝试等量代换。斜边高线：作斜边上的高线。圆形 𐟌ˆ 弦长与半径：利用弦心距计算。切线：连接切点和圆心半径。切线长度：使用勾股定理计算。切线证明：注意半径垂线的辨识。直径与半圆：想成直角径连弦。垂径定理：连接弧的中点和圆心。圆周角：连接直径和弦端点。弦切角：连接切线和弦。外接圆：作出各边中垂线。内接圆：连接内角平分线。相交圆：寻找公共弦。内外相切：经过切点作公切线。连心线：连接圆心和切点。等角法：添加辅助圆，简化证明。通过这些方法，你可以轻松掌握几何辅助线的添加技巧，提高解题效率，助力初中数学满分！

初中几何压轴题，只给出线段垂线和一个圆，如何求圆的面积？我们可以利用辅助线构造直角三角形，通过相交弦定理和中垂线解答。#动态连更挑战#

三垂线定理的证明与拓展 𐟓š 1️⃣ 三垂线定理的证明三垂线定理是高中数学中的重要内容，它说明了平面上的一条直线与平面垂直的充要条件是它与斜线在平面上的投影垂直。证明过程可以通过两种方法进行：证明1为判定定理，证明2则利用三垂线定理进行说明。 2️⃣ 拓展三余弦定理三余弦定理与三垂线定理有着密切的联系。在正方体中，我们可以发现一些特殊的几何关系，例如某些面对角线垂直于哪些截面，以及外心和垂心的性质。 3️⃣ 探究新知通过探究新知，我们可以更深入地理解三垂线定理。例如，在正方体中，哪些面对角线垂直于哪些截面，以及如何通过三垂线定理来证明这些关系。 4️⃣ 例题解析通过例题解析，我们可以看到三垂线定理在实际问题中的应用。例如，求两条直线所成的角，或者验证某个角是否大于0Ⱓ€‚ 5️⃣ 练习通过练习，我们可以巩固对三垂线定理的理解。例如，在图10-3-17中，平面𘊧š„斜线L与平面‰€成的角为0Ⱟ𜌦𑂁OC的角度，并验证AOC>0Ⱓ€‚

深圳中考数学题解析：你觉得难吗？大家好，今天我们来聊聊2021年深圳的中考数学题。你还觉得这些题目很难吗？让我来给你逐一分析一下吧。第1题：正方形的展开图 𐟓 这道题简直是送分题，考察的是正方形的展开图。只要你稍微动动脑筋，就能轻松解答。第2题：相反数 𐟔„ 这道题也是送分题，考察的是相反数的概念。基本上只要知道什么是相反数，就能答对。第3题：不等式 𐟓‰ 这道题解一个超级简单的不等式，送分无疑。第4题：中位数 𐟓Š 这道题考察的是中位数的概念，需要先排序。只要知道中位数的定义，就能轻松解答。第5题：正切值和绝对值 𐟧🙩“题稍微有点难度，考察的是正切值和绝对值。少数学生会在这道题上出错。第6题：整式乘除法 𐟓 这道题考察的是整式乘除法运算，送分。第7题：数学文化应用题 𐟓œ 这道题弘扬了数学文化，考察的是一个简单的来自于《九章算术》的应用题。基本送分。第8题：等腰三角形和直角三角形 𐟓 这道题考察的是等腰三角形和直角三角形的边角关系，基本送分。第9题：一次函数 𐟓ˆ 这道题令一次函数y=0，立即锁定A选项。不过这需要敏锐的数学观察能力和数感。能5秒钟看出答案的不多，属于较难题。第10题：多结论题目 𐟤” 这道题是深圳多年的老题型，即正方形背景下的多结论题目。中规中矩，相似、全等、倒角一起上，需要花点时间。属于比较可怕耗时的题目。第11题：因式分解 𐟧ꊨ🙩“题考察的是因式分解，送分。第12题：一元二次方程的根 𐟌𑊨🙩“题考察的是一元二次方程的根，直接带入即可，送分。第13题：角平分线和中垂线 𐟓 这道题考察的是角平分线和中垂线的30度定理，基本送分。第14题：一线三直角全等模型 𐟓 这道题考察的是一线三直角全等模型在坐标系内的应用。经过训练的中等生都可以拿下来，属于较难题目。第15题：折叠问题 𐟓 这道题考察的是折叠背景下的几何求线段长问题。如果对中垂线逆定理比较熟悉的话，辅助线很容易想出来。这题方法很多，是一道好题。对于学生来说属于难题。第16题：分式化简 𐟧🙩“题考察的是分式化简，送分。第17题：轴对称作图和围魏救赵求面积 𐟓 这道题考察的是轴对称作图和围魏救赵求面积，送分。第18题：统计综合 𐟓Š 这道题考察的是统计综合，送分。第19题：圆综合 𐟓 这道题考察的是圆的综合知识，思路很简单。倒角、平行四边形、相似等问题都不难。中等题。第20题：二次函数利润问题 𐟒𜊨🙩“题考察的是二次函数的利润问题，常规题目。第21题：阅读理解题 𐟓– 这道题是阅读理解题，考察方程思想和数形结合思想。照葫芦画瓢即可，只是文字多了点。第22题：纯几何题 𐟓 这道题是纯几何题，考察全等、相似、倒角、中位线等核心知识。不过题目很人性化，一直在不断的暗示思路。最后一问答案有点恶心，懒的算了，也不差这2分。不过知道余弦定理的话，可以直接出答案！

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