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抛物线的切线权威发布_抛物线二级结论ppt(2024年11月精准访谈)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：观点更新日期：2024-11-28

抛物线的切线

阅读：《高等几何》(梅向明等著) 最近在读《高等几何》(梅向明等著)一书，书里包括仿射几何、射影几何、几何公理体系等内容，特别是包括了帕斯卡定理的一般证明方法（用射影几何的方法），感兴趣的朋友不妨找来一读。射影几何学是一个美不胜收的数学分支。首先我们看帕斯卡定理：圆锥曲线上的六个点，设直线与交于，与交于，与交于，则 ,, 共线。如果用传统的综合几何的方法，或者即使是解析几何，那么就算在圆的情况下，这个定理也不甚好证。更要命的是，这个定理涉及的情况太多了，比如这里说的圆锥曲线可能是椭圆、抛物线或者双曲线，六个点的顺序可能多种多样，再有可能出现某两点合并为一点的情况。要对以上各种情况逐一证明，纵然不超出普通人的能力，也超出了普通人的耐心。然而，在射影几何的情况下，以上所有情况都可以纳入到统一的证明过程中去，至简至奇，真是数学之美的最好例证。其中图（3）中的绿色线是过重复点的直线，即切线。以上三图，即使对于椭圆来说，也远远没有穷尽这个定理的全部情况。从上面的介绍还可以看出一点：即使是只给出圆锥曲线上的五个点而没有给出整条曲线，我们也可以做出该曲线过已知点的切线。第二个例子是关于极点、极线的。有的书上这样定义极点极线：过一点向圆锥曲线作任意割线，再过割线与圆锥曲线的交点作切线，每两条这样的切线有一个交点，这些交点的轨迹称为点的极线，点称为该极线的极点。而另外一些书上却是用调和比或完全四边形定义的。而奇妙的是，这两种定义方法是等效的。下面的图中，, 是两组切线的交点，, 是同样点上两组割线的交点，显然和是一条直线。绿线是切线，红线是与点对应的极线另外，我们已知二次曲线上点的切线方程为而切线与切点恰是一对极线极点。我们高兴地看到，任意点（不一定是曲线上的点）对应的极线方程，形式上和前面的切线也是一致的。最后，我们看一个简单点的例子。我们知道，对椭圆和抛物线来说，如果给定曲线外一点，总可以作两条切线。但是在双曲线的情况下，却有可能无法做出切线或者是只能做一条切线。前者是所给点为双曲线中心的情况，后者是所给点在渐近线但非中心的情况。另一方面，直线如果和椭圆相交，一定会有两个切点，而如果和双曲线、抛物线相交，则可能只有一个交点：当直线与抛物线对称轴或者双曲线的渐近线平行时。但是在射影几何看来，以上各种情况没有任何区别，以双曲线切线为例，从一般的曲线外点，固然可以做出两条切线，而当点在渐近线上时，可以认为渐近线本身就是一条切线，切点位于无穷远处。对割线的情况，如果直线与抛物线对称轴或者双曲线的渐近线平行，则一个交点是普通点，另一个交点是无穷远点。就是一个简单的“无穷远点”的引入，全部结论和谐统一。应该说，射影几何的观点比较是比较难懂的，要学会学好，必须做到两点：一是要保持开放的心态，不能始终停留在原来的境界；二是要做一定数量的习题，达到熟能生巧的程度。另外一个启示就是，虽然数学是美的，但是如果你不付出一定的辛苦，就无法体会到，而你学得越是深入，就越能领会到其中的简洁、奇妙、统一、严谨。

湖北名校联盟数学卷解析 𐟓… 湖北省高中名校联盟2025届高三第一次联合测评数学试卷已经新鲜出炉啦！这份试卷质量杠杠的，特别是最后两题，创新度满分！感兴趣的同学赶紧做起来吧！选择题： 1️⃣ 已知复数z满足1+iz=0，求z的值。答案：B. -i 解析：根据复数方程1+iz=0，可以解得z=-i。 2️⃣ 已知集合A={x|00)的部分图象如图所示，直线y=与交于A,B两点，若|AB|=号，则p的值是多少？答案：A. 1 解析：根据图象和已知条件，可以求得p的值为1。 7️⃣ 长方体ABCD-A'B'C'D'中，AC'与平面ABCD所成的角为𜌁C'与AB'所成的角为𜌩‚㤹ˆ’Œš„关系是什么？答案：D. 90Ⰺ解析：根据长方体的性质和角度关系，可以得出’Œš„关系为90Ⱓ€‚ 8️⃣ 设抛物线C:y=2xⲧš„焦点为F，过抛物线C上的点P作C的切线交x轴于点M，若PM=30Ⱟ𜌥ˆ™PF的长度是多少？答案：A. 2 解析：根据抛物线的性质和切线的定义，可以求得PF的长度为2。填空题： 9️⃣ 已知无穷数列(a。)和(b。)的各项均为整数，a。和b。是非常数数列，且(a。)和(b。)中存在大小相等的项，那么下列说法一定正确的是？答案：D. 若(a。)和(b。)是各项均为正数的等差数列，如果所有相等的项不止一项，则这些项构成等差数列。解析：根据等差数列的定义和性质，可以得出上述结论。 𐟔Ÿ 已知椭圆P: =1经过点A(1,1)，右焦点为F(1,0)，求椭圆P的方程和BC的中点M与F的最小距离。答案：椭圆P的方程为xⲯ4+yⲽ1；BC的中点M与F的最小距离为√2-1。解析：根据椭圆的标准方程和性质，可以求得椭圆P的方程。再通过几何关系求得BC的中点M与F的最小距离。解答题：

初中生自出难题：这就是初中数学的巅峰吗？最近闲着没事，自己琢磨了一道题，感觉这难度简直爆表，至少比我见过的所有中考压轴题都要难得多。希望大家别嘲笑我的无知，毕竟我觉得这题真的很有挑战性。抛物线与对称轴 𐟧œ襹𓩝⧛𔨧’坐标系xOy中，有一条抛物线T：y = x^2 - 5x - 6。这条抛物线分别与x轴和y轴交于M、N两点。它的对称轴是直线a。然后在x轴负半轴上有一个动点W，作射线平分LNOW。第三象限内还有一个动点R，以R为圆心作OR分别与射线L和y轴相切于V、S两点。过点R分别引抛物线T的切线RP、RQ（点P在点Q左侧，点Q在直线a左侧），连PQ、WR、OR、SR。三角形面积与直角三角形 𐟓 第一问：如果△PRQ的面积为2，且AORW为直角三角形，直接写出W点的坐标。这个问题看似简单，但其实需要你运用各种几何知识来求解。我自己算了好几次才搞定，真的不容易。线段PQ的定点 𐟓 第二问：求证：当点P运动时，线段PQ所在直线过一定点。这个问题需要你证明一个结论，虽然看起来很简单，但实际做起来却需要一定的数学基础和技巧。我自己花了不少时间才搞明白。四边形HJLK的覆盖 𐟔 第三问：已知AHJO和△SRO关于原点0对称，过点Q作射线的平行线LK，且点K、L分别在y轴和x轴上连J。以同一平面直角坐标系内的动点D为圆心，R为半径作D，且D可以将四边形HJLK完全覆盖。当6LK = 11MN时，直接写出R的最小值。这个问题真的是个大难题，需要你运用各种几何知识和技巧来求解。我自己算了好几次才搞定，真的不容易。总结 𐟓 总的来说，这道题真的很有挑战性，不仅考察了各种几何知识，还考验了你的解题能力和耐心。希望大家不要嘲笑我的无知，毕竟我觉得这题真的很有趣。如果你也觉得这题有意思，不妨自己试试解一下，看看能不能比我做得更好！

天星45套 𐟌Ÿ 2025版新高考模拟试卷汇编 𐟌Ÿ 主编：壮志建基福卷：优秀模拟试卷汇编 𐟓š 内容概览： 1. 2024年南京市高三模拟考试数学卷 2. 2024年长沙市高三模拟考试数学卷 3. 2024年济南市高三模拟考试数学卷 4. 2024年合肥市高三模拟考试数学卷 5. 2024年金华市高三模拟考试数学卷 6. 2024年太原市高三模拟考试数学卷 7. 2024年石家庄市高三模拟考试数学卷 8. 2024年武汉市高三模拟考试数学卷 9. 2024年郑州市高三模拟考试数学卷 10. 2024年南昌市高三模拟考试数学卷 𐟓– 二级结论精选： 1. 代数运算6大二级结论 2. 三角函数等式mA+58月+ta 3. 空间几何9大二级结论 4. 积化和差 (a+8)-cm(a-=) 5. 错位相减法 6. 等比数列的前n项和公式 7. 直线与平面š„交点公式 8. 正四面体的内切球半径公式 9. 正四面体的外接球半径公式 10. 双曲线的离心率公式 11. 抛物线的焦点三角形相关结论 12. 椭圆与直线的切线方程 13. 双曲线与直线的切线方程 14. 双曲线的第三定义的应用 15. 椭圆的第三定义的应用 𐟓š 电子版下载：请访问天星教育官网或相关论坛获取电子版链接。

用AI解高考数学题，真的靠谱吗？最近看到很多人用AI来解高考数学题，尤其是那些压轴题，感觉挺有意思的。虽然我自己数学不太好，但我还是忍不住想试试。结果发现，AI给出的答案竟然是对的！不过，我还是有点担心，做题的过程是不是真的靠谱呢？证明点P在定直线上 𐟓 已知抛物线C的方程是xⲽ2py（p>0），焦点F在(0,p)上。直线2kx-2y+1=0恰好经过F点，并与抛物线C相交于不同的两点A和B。抛物线C在A、B两点处的切线相交于点P。我们要证明的是，无论k取什么值，点P都在定直线y=p上。这个证明过程其实挺复杂的，涉及到一系列的代数运算和几何关系。不过，AI似乎能自动完成这些步骤，真是让人惊叹！求四边形APBE的面积 𐟓 接下来，我们来看看四边形APBE的面积问题。已知点E(0,t)，当AF=2FB时，D为线段AB的中点，且满足DE-DF=0。首先，我们需要确定k的值。由于AF=2FB，我们可以通过一些复杂的计算（具体过程可以参考前述分析）来求出k的值。然后，我们可以确定点D和E的坐标。接下来，我们要确定点P的坐标。由于P是抛物线在A、B两点处的切线的交点，我们可以通过解两条切线的方程来找到P的坐标。最后，我们使用鞋带公式来计算四边形APBE的面积。这个公式可以让我们通过一系列的计算来得到面积的结果。经过一番努力，我们最终得到面积为S=27/2。总结 𐟓 通过以上的分析，我们可以看到，AI在解这类高考数学题时，确实能够给出正确的答案。虽然具体的计算过程可能有点复杂，但AI似乎能够自动完成这些步骤。不过，这并不意味着我们可以完全依赖AI来解数学题。毕竟，数学不仅仅是计算，更是对问题本质的理解和思考。所以，我们还是需要自己动手，多思考，多练习，才能真正提高自己的数学水平。总之，AI在数学解题上确实有很大的潜力，但我们也不能完全依赖它。毕竟，数学之美在于它的复杂性和多样性，而不仅仅在于答案的正确与否。

椭圆二级结论，助你轻松考140！大家好！今天我们来聊聊那些能帮你轻松考到140分的椭圆二级结论。其实，这些结论不仅仅是解题的钥匙，更是你数学思维的一种提升。所以，赶紧拿起笔记本，准备好了吗？Let's go！𐟚€ 焦点与顶点关系首先，椭圆的两个焦点到顶点的距离之和等于长轴长。这个结论看起来简单，但在解题时却非常实用。比如，已知椭圆的一个焦点和顶点坐标，就能轻松算出另一个焦点的坐标。切线与法线椭圆的切线与法线之间的关系也是一大法宝。切线的斜率乘以法线的斜率等于-1。这个结论在解决切线问题时非常方便，不用再去费心费力地算斜率。焦点与切线关系椭圆的焦点到切线的距离等于顶点到切线的距离乘以离心率。这个结论在解决焦点和切线相关的问题时非常实用，特别是当题目涉及到离心率时。焦点与法线关系最后，椭圆的焦点到法线的距离等于顶点到法线的距离除以离心率。这个结论在解决焦点和法线相关的问题时也非常方便，特别是当题目涉及到离心率时。这些结论只是冰山一角，还有很多其他的二级结论等着你去发现和记忆。每天花点时间，一点点积累，相信不久的将来，这些结论会成为你数学解题的得力助手！𐟒ꊊ双曲线和抛物线也会跟上！会每天持续更新，多多关注哦！𐟎‰

愤怒的小鸟数学模型：如何精准击中目标？大家都玩过愤怒的小鸟吧？那你有没有想过，我们能不能提前知道需要多少角度和弹弓拉伸长度才能打到那些“猪”呢？今天我们就来探讨一下这个问题，特别是针对红鸟（普通抛物线）和飞镖黄鸟（抛物线，点击后沿着切线飞行）这两种鸟。首先，我们要搞清楚如何击中静止的目标。对于红鸟，我们可以利用基本的抛物线公式来计算角度和拉伸长度。而对于飞镖黄鸟，情况就有点复杂了，因为它不仅沿着抛物线飞行，还能在点击后沿着切线加速。所以，我们需要找出什么时候点击黄鸟才能让它击中目标。接下来，我们还要探讨如何击中正在匀速向上移动的目标。在游戏中，有些猪会被气球带着向上飞行。这时候，我们不仅需要考虑角度和拉伸长度，还要考虑到猪的移动速度。最后，我们可以对比这两种鸟在击中目标时所需的角度和拉伸长度的区别，并画出理论曲线。然后，我们可以在游戏中亲手验证这些理论。这个选题涉及到微积分和三角函数，难度可以根据需要进行调整，无论是HL还是SL都可以讨论。

普宁二中最近买了《五三 2025基础版》这本书，这星期一直在看题。结果，竟然在书里发现了普宁二中的题目，真是有种偶遇“亲人”的感觉，太惊喜了哈哈哈。普宁二中加油！二中人加油！𐟒ꊊ书里有一道题是这样的：已知双曲线C的方程为 =1(a>0,b>0)，它的一条切线与渐近线交于A、B两点，设点A、B的中点为M。求点M到y轴的距离的最小值。这道题正好是2024届广东普宁二中第一次月考的题目，真是巧了。还有一道关于抛物线的题：已知抛物线C的方程为 =2px(p>0)，焦点为F(0,2p)，点A为C上一点，且AF=9。若直线AF的斜率为120Ⱟ𜌥ˆ™IPFI=？这道题也是普宁二中的月考题，真是让人怀念啊。这本书里的题目真是五花八门，不仅有双曲线、抛物线，还有椭圆等各种题型。每一道题都像是一个小故事，让人欲罢不能。如果你也是普宁二中的学生，或者对数学有兴趣，强烈推荐这本书！𐟓š 总之，这次在《五三》里偶遇普宁二中的题目，真是意外的惊喜。希望普宁二中的同学们都能在高考中取得好成绩！𐟒

伟大的牛顿的伟大的微积分，居然被我发现了错误的地方，太好玩了。剧烈思想碰撞中，我‘从科学上数学上’发现，在‘微分’中，当趋近于0的时候，‘导数’就可以用‘这一点的切线的斜率’代替‘真实的变化曲线’（近似相同，‘误差’可以‘忽略不计’）。但今天，剧烈思想碰撞中，我‘从科学上发现’，当‘积分’（把这些‘瞬间变化’‘累积起来’）的时候，这些’误差’也会‘被累积起来’，使‘误差’变得‘足够大’，‘无法被忽略’（特别是‘像抛物线’这一类，‘变化曲线’都‘弯向一边’，‘积分把‘这些瞬间变化’‘累积起来’的时候，‘无法把这些误差’‘相互抵消’的时候，这些‘误差’‘足够大’，‘这些误差’‘将不能再被忽略’。太好玩了）。伟大的牛顿的伟大的微积分，居然被我发现了错误的地方，太好玩了。太好玩了。太好玩了。这无疑是‘震撼世界的伟大数学科学发现和科学突破’之一吧。太好玩了。

手雷已是现代战争中的常规武器，为什么中国部队还在用木柄手榴弹？第一，同等条件下，木柄手榴弹比甜瓜形手榴弹扔得远些，这是因为投弹手投弹时，要做一个弧形的圆周运动动作，木柄握把相当于延长了运动半径，而弹体会沿这个运动曲线的切线方向飞出去。当运动半径越大时，则弹体获得的线速度越大，即飞出时的初速度越大，由抛物线原理可知，初速越大则水平射程就越远。这就是木柄手榴弹的优势。第二，木柄手榴弹是进攻型榴弹，专门为堑壕战设计的。填充较多的炸药并用薄薄的外壳包裹，目的是利用爆炸的冲击把战壕里的敌人掀翻在地。理想情况是冲锋时投出手榴弹，爆炸后敌人被镇倒，此时进攻方士兵也正好冲上来再把敌人消灭。另外，由于不产生大量的弹片，即使冲锋的士兵正赶上自己投出的手榴弹，受伤的情况也轻得多。第三，我觉得有两个原因，一是木柄手榴弹，比卵形的手榴弹投掷的远，投掷点更准。以前开运动会时分别用过两种手榴弹，木柄手榴弹优势明显。二是安全性，卵形手榴弹是压发，靠机械方式延时，容易误触发。而木柄手榴弹是拉发，靠拉力触发，所以安全的多。小日本为保证其安全性，还增减了敲击动作。拉掉引爆环后，需在硬物上敲击一下才能使引爆触发，进一步增加了安全性。第四，卵型手雷分进攻型手雷和防御型手雷，进攻型手雷主要靠冲击波杀伤敌人，适合使用于巷战和进攻坚固并狭窄的防御工事，防御型手雷蛋体内装填了钢珠或很多细小的破片，主要用于杀伤密集型进攻队伍，例如坚守阵地用来杀伤敌方的进攻人员，阻滞效果好。木柄式手榴弹也是同样的区分，但这种弹有两个优点是卵形手雷无法企及的，那就是投掷距离和装药量，木柄式手榴弹几乎是卵形手雷投掷距离的两到三倍，至于装药量，呵呵说句不好听的，木柄式手榴弹可以一个弹弄到20斤一枚依然可以甩出去一二十米远，卵形你能丢出去5米你就是超人。第五，木柄优势一是投掷距离远，特别是卧姿、隐蔽姿势；二是威力大，符合我军火力不足恐惧症；三是适应性强，不滚坡，可仰攻，可野可巷，适合连续作战；四是拉发结构比压发安全，适合强行军和大机动；五是方便捆扎，在呼叫协同不便时能够实现爆破等作用。当然，木柄携带和运输也是有缺点的。第六，中国部队仍然使用木柄手榴弹的原因主要有以下几个方面：①库存量大：中国军队储备了大量的木柄手榴弹，许多尚处于可使用阶段。为了消耗这些库存，中国部队不得不继续使用木柄手榴弹。②成本低廉：木柄手榴弹的制造原理简单，造价相对较低。相比之下，新式手雷的造价要高得多，因此使用木柄手榴弹可以节约军费开支。③历史情怀：木柄手榴弹在中国军队中有着特殊的历史意义和情怀。特别是在抗日战争时期，木柄手榴弹是重要的武器之一，这种传统在一些战士心中仍然根深蒂固。④训练用途：在许多演习场合，木柄手榴弹被用作训练用弹，以保持部队的投弹技能和战术熟悉度。你觉得哪一个观点更有说服性？欢迎留下你客观的见解。

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