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李雅普诺夫稳定性新上映_李雅普诺夫稳定性定理的物理解释(2024年12月抢先看)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：导读更新日期：2024-12-01

李雅普诺夫稳定性

李雅普诺夫：稳性秘籍 𐟌 第五章：控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 𐟌 * 线性系统的稳定性分析 𐟓Š 李雅普诺夫稳定性理论是现代控制理论中的重要部分，主要用于分析线性系统的稳定性。通过构造李雅普诺夫函数，可以判断系统在受到扰动后的行为是否稳定。李雅普诺夫函数的概念 𐟌🊦Ž雅普诺夫函数是一个标量函数，用于描述系统状态与时间的关系。如果该函数对所有状态都满足一定的条件，那么系统就是稳定的。渐近稳定性的定义 𐟓‰ 渐近稳定性是指系统在受到扰动后，能够逐渐回到平衡状态。如果李雅普诺夫函数满足一定的条件，系统就是渐近稳定的。全局稳定性的判断 𐟌 全局稳定性是指系统在受到任何扰动后，都能最终回到平衡状态。通过构造特定的李雅普诺夫函数，可以判断系统是否具有全局稳定性。二次型李雅普诺夫函数的应用 𐟓ˆ 二次型李雅普诺夫函数是一种常见的构造方法，适用于许多实际系统。通过选择合适的二次型函数，可以方便地判断系统的稳定性。稳定性的充分条件 𐟔‘ 除了直接构造李雅普诺夫函数外，还可以通过一些充分条件来判断系统的稳定性。例如，某些特定形式的系统矩阵可以保证系统的稳定性。结论与展望 𐟌Ÿ 通过本章的学习，我们可以更好地理解和应用李雅普诺夫稳定性分析方法。这种方法不仅适用于理论分析，还广泛应用于实际工程中，帮助我们设计更加稳定和可靠的控制系统。

如何判断系统的稳定性 𐟓ˆ 在现代工业和科学研究中，控制系统的设计和分析至关重要。稳定性是控制系统设计中的基本要求，它确保系统在受到外部扰动后能够恢复到期望的状态。李雅普诺夫稳定性理论为分析系统稳定性提供了一种数学工具，是自动控制和系统理论中的核心概念。稳定性的定义 𐟓 稳定性是指系统在外部扰动或初始条件变化下，其动态行为是否能够保持在期望的范围内。根据稳定性的强弱，可以分为以下几种类型：渐近稳定（Asymptotically Stable）如果系统在经历初始扰动后不仅能够回到期望的范围，而且随着时间的推移能够最终收敛到期望的状态，那么系统是渐近稳定的。稳定（Stable）如果对于任意的初始扰动，系统的输出最终都能回到或保持在期望的范围内，那么系统是稳定的。全局稳定（Globally Stable）如果系统的稳定性对所有的初始条件和扰动都成立，那么系统是全局稳定的。不稳定（Unstable）如果存在任意小的初始扰动，使得系统的输出最终无法回到期望的范围，那么系统是不稳定的。实际应用 𐟔犊控制系统无处不在，从家用电器到工业自动化，再到航空航天，都离不开控制系统的设计和分析。稳定性是控制系统设计中最基本的要求之一，它保证了系统在受到扰动后能够恢复到期望的状态。了解这些稳定性类型，可以帮助我们更好地理解和设计控制系统，确保其在实际应用中的可靠性。

Transformer破百年难题！最近，Meta的研究人员发现了一个令人惊叹的事实：Transformer模型竟然能解决一个困扰数学家长达132年的问题——找到全局李雅普诺夫函数。这一发现被发表在NeurIPS 2024上，并在AI社区引起了巨大的关注。李雅普诺夫函数是分析系统随时间稳定性的关键工具，对于预测动态系统行为非常重要。比如，在研究天体力学中的三体问题时，这个函数就派上了大用场。三体问题描述了三个天体在相互之间万有引力作用下的运动规律，虽然无法精确求解，但李雅普诺夫函数的存在可以保证系统的全局稳定性。早在1892年，李雅普诺夫就证明了找到一个递减的类似熵的函数——李雅普诺夫函数，就能保证系统的稳定性。然而，他未能提供寻找这种函数的方法。现在，Meta AI的研究人员通过Transformer模型，成功发现了两个稳定系统及其相关的李雅普诺夫函数。研究者们采用了一种后向生成技术来训练模型，这种技术根据李雅普诺夫函数创建动力系统，而系统的分布与实际想要解决的问题不同。尽管模型必须在分布外进行泛化，但使用逆向生成数据训练的模型，在可以用数值工具求解的多项式系统测试集上仍能取得良好的性能。通过在训练集中添加少量简单且可解决的“前向”示例，性能得到极大提高。这种“启动模型”在稳定性未知的一组随机动力系统上，发现新的李雅普诺夫函数的能力大大超越了最先进的方法。在多项式系统中，模型为10.1%的系统找到了李雅普诺夫函数，而最先进的技术仅为2.1%。在非多项式系统中，最佳模型为12.7%的系统发现了新的李雅普诺夫函数。这项研究的成果不仅展示了Transformer模型在解决复杂数学问题上的潜力，还为AI在科学研究中的应用提供了新的视角。尽管Transformer模型的“思维过程”仍是一个黑箱，但其解决方案的数学正确性可以得到验证。这表明，生成式AI模型可以用于解决数学中的研究级问题，为数学家提供可能解的猜测。研究人员表示，这项研究是一个“AI解决数学开放问题”的蓝图。它证明了，无论LLM是否会推理，AI都已经彻底改变了数学这类基础科学的研究范式。这项研究可能预示着，历史长河中的未解数学之谜的破解答案已经离我们无比接近。这项研究在两个方向上具有更广泛的影响：一是Transformer的推理能力，二是AI在科学发现中的潜在作用。

132年未解开的李雅普诺夫函数谜题，被Symbolic Transformer攻克

𐟚€ 北京理工大学自动化学院保研攻略𐟌Ÿ 大家好，我是KiKi，一名在2023年北京理工大学自动化学院夏令营中脱颖而出的保研生。𐟎“ 夏令营即将开始报名，感兴趣的小伙伴们一定要密切关注学院的官网通知哦！ 𐟌 这次的夏令营将采用线上形式，没有笔试，只有面试。面试时，你可以使用PPT进行自我介绍。整个面试过程包括三个主要部分：英文自我介绍：首先，你需要用英语进行自我介绍，展示你的英语水平和自信。专业课问答：接下来，面试官会就你的专业课知识进行提问。常见的题目包括：自动控制原理中如何判断系统的稳定性？奈氏稳定判据是什么？李雅普诺夫方程是什么？劳斯判据的具体内容是什么？ PID控制器的含义和作用。项目经历：最后，面试官会询问你的项目经历和科研能力，这是展示你实际操作能力和创新思维的好机会。 𐟒ᠦ前套磁：在北京理工大学，你可以提前联系导师，进行单独面试。这不仅是一个展示自己研究兴趣和方向的机会，也是增加录取机会的一种方式。 𐟓š 祝愿所有保研的小伙伴们都能顺利获得心仪的offer！如果你有其他院校的保研经验，欢迎分享哦！𐟌Ÿ

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