当前位置：网站首页 » 观点 » 内容详情

秩为一的矩阵权威发布_秩1矩阵的有关理论(2024年12月精准访谈)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：观点更新日期：2024-12-01

秩为一的矩阵

秩为1的矩阵特征值与特征向量计算详解秩为1的矩阵在过去的考试中频频出现，今天我们来详细讲解一下如何计算这类矩阵的特征值和特征向量。特征值与特征向量的计算 𐟧首先，我们来看一个具体的例子。设矩阵A为： A = [x1 + 2x2 + x3, x1 + x2, x1 + x3] 其中，x1, x2, x3是未知数。类似地，我们可以构造矩阵B： B = [bx1 + b2x2 + bx, x1 + x2, x1 + x3] 接下来，我们计算矩阵A和B的乘积，得到： AB = [2(x1 + x2 + x3)2 + (b1x1 + bx2 + bx3)2, (x1 + x2)(x1 + x3), (x1 + x2)(x1 + x3)] 这可以简化为： AB = [2(xT)(x) + (Bx)T(Bx), (x1 + x2)(x1 + x3), (x1 + x2)(x1 + x3)] 由于2aaT + 是对称矩阵，所以二次型f对应的矩阵为2aaT + 。进一步计算得到： A = 2a(a)T + T = 2a(a)T + T 特征值的计算 𐟔 因为a和ƒ𝦘淚•位向量且相互正交，所以矩阵A的特征值为2和1，且1和1是重根。又因为aT和都是秩为1的矩阵，所以矩阵A的秩为2。因此，0也是矩阵A的一个特征值。经过正交变换，二次型f的标准形为2y2 + y2。练习题 𐟓 设3阶矩阵A = aaT + ，其中a和𘺦�𚤧š„单位列向量。A的伴随矩阵为A'。证明矩阵A + A'既是正交矩阵又是正定矩阵。求正交变换x = Qy，将二次型f(x1, x2, x3) = xTAx化为标准形，并说明f=1表示的空间图形。求二次型f(x1, x2, x3) = xTAx，当f=0时的解。解答：因为AT = (a + T = aaT +  = A，所以A为对称矩阵，故A可对角化。由于r(A) = r(A + A') < r(a) + r( = 2，所以0是A的一个特征值。由已知条件可得A= a，A= 𜌡和𚿦€禗关，故A的特征值为1 = 12 = 1，13 = 0。其对应的无关的特征向量为a，𜌹，其中y = 㗠€‚存在正交矩阵Q = (𜌹)，使得Q-1AQ = QTAQ = A，其中Q = [1 0; 0 1]。进而Q-A'Q = A"，00，于是Q-(A + A')Q = A + A' = E。故矩阵A + A'既是正交矩阵又是正定矩阵。存在正交矩阵Q = (𜌎𒯼Œy)，其中y = 㗠𜌥œ覭㤺䥏˜换x = Qy下，二次型f = xTA'x = TA'y = y3。f = 1y = 1，在空间上表示两个平行于坐标面的平面。 f = 0 = 0y3 = 0y = (k1, k2, 0)T (k1, k2为任意常数)。由x = y = (a + k2e)，则方程f = 0的解为x = ka + k2(k1, k2为任意常数)。

李林6套卷复盘：数学高手的16个秘诀 1. 𐟓ˆ 渐近线方向：如果渐近线在同一方向上，水平渐近线就不会有斜渐近线。 𐟓‘ 分段讨论：用x代换y中的t，进行分段讨论。 𐟔 积分不等式：被积函数相减做差，构造辅助函数。 𐟏”️ 多元函数极值：注意充分必要条件的界定，题目中要求必要条件，而AC-Bⲯ𜞰是充分条件，但必要条件也包含充分条件，所以需要考虑等于0的情况，找个具体函数算一下。 𐟔⠧‰𙦮Š值法：取函数px为1或者构造辅助函数，第一个条件就是让我用辅助函数。 𐟌 二重积分中值定理：注意一个圆从0到2š„d篥ˆ†，后面为积分0～t，t是一条射线，极限中含有变现积分思路就是积分中值或者洛必达。 𐟧頥𞮥ˆ†方程：如果微分方程比较难解，不要蛮干。如果只需要解的形式，只需要把图像画出来分析一下，带值或者求导的时候先用小脑筋思考一下，哪些求完是为0的就不用算。 𐟔„ 方程组同解：你是我的姐我是你的解，三秩相同。向量组等价：行向量组等价，列向量组等价。 𐟧𘠧Ÿ驘𕧛𘤼𜯼ša相似于b，a秩相似b秩。 𐟓 正定：所有x≠0时，二次型＞0恒成立。建立的齐次方程组如果有解那么就不成立，所以方程组不成立，只有零解，所以满秩，所以行列式为0。 𐟓ˆ 高阶导积分方程：可以通过条件解出fx具体的式子再泰勒展开，注意n阶导数方程/n阶乘为n阶系数。 𐟓Š 通分之后分子为泰勒的变形，分母用一次拉格朗日，或者洛必达之后凑导数定义。 𐟌€ 绕极轴：用公式或者古尔丁定理小，想水管，半径可用y代替然后换成rsinˆ–者微元法（宽为dx，长为y的微元绕一圈变成一个饼，但是注意！这里的y不可以换成rsin𜌥› 为这个y是一直在边线上的，不用走到里面去，所以用条件r=1+cos𜉣€‚ 𐟧䚥…ƒ微分：在固定点可以先代后求，泰勒在信息多的地方展开，求道先思考哦。 𐟌Š 物理应用水深压力：F=PS（p=h）。 𐟔砦–𙧨‹组有解：a的秩等于增广矩阵的秩。

计量经济学数学基础：第一章纯方法论分享大家好，今天我想和大家分享一下计量经济学数学基础的第一章内容。这部分主要涉及一些纯方法论的东西，虽然计算部分也很重要，但今天我们先从理论部分开始。这一章的内容比较多，涉及到测度与概率、渐进分析等，所以我会分几次来分享。矩阵与向量基础 𐟓š 首先，我们来看看矩阵和向量的基础。对于K个约束条件的情况，可以类推到更一般的情况。下面是一些关键的证明：期望与迹算子的交换性 𐟔„ 期望算子和迹算子都满足线性，所以期望和矩阵算子可以交换。这意味着我们可以先计算期望，然后再取迹，或者反过来。这个性质在后续的证明中非常有用。幂等矩阵的秩 𐟎幂等矩阵的秩是其自身的秩。也就是说，如果MⲽM，那么M的秩等于1或者0。这个性质在证明其他结论时非常关键。矩阵的秩与相似对角化 𐟔犊如果M是一个幂等矩阵，那么它的秩加上E-M的秩等于n（E是单位矩阵）。这意味着M可以对角化，对角线上有K个1，其余全为0。这个结论在后续的证明中非常重要。测量误差与线性回归模型 𐟓ˆ 在经典假定4的解释部分，我们证明了r(M)=K。这个结论在测量误差与线性回归模型的分析中非常关键。总结 𐟓 总的来说，这一章的内容非常基础但非常重要。虽然计算部分也很重要，但今天我们先从理论部分开始。希望这些内容对大家有所帮助！下次我会继续分享更多关于计量经济学数学基础的内容，敬请期待！

𐟓š24余丙森5套卷④复盘：难度跳跃挑战𐟓ˆ 这套试卷的难度真是忽高忽低，一会儿让我觉得有书读，一会儿又让我觉得没书读，真是让人捉摸不透啊𐟘“。 T5：矩阵行/列秩判断这道题真是让我又爱又恨。矩阵的行变换和列秩关系明明很简单，但我就是做错了。先别急着切腹自尽，咱们来理清楚。AC＝B，C作行变换得到B，列秩相同，B列无关C列肯定无关（行变换对列秩无影响）。记住这个结论，下次就不会再错了！ T10：相关系数计算这道题用常规方法求解也没啥问题，但有更简单的办法。公式法虽然麻烦，但可以避免复杂的计算。简法就是：避免复杂求EXY，DXDY肯定有根号2，EXY＜EXEY＝3/2，结合＜0和含有根号2选C。是不是简单多了？ T12：高阶导数这道题真是粗心大意的代价。本来是裂项分为3/(x+1)-2/(x-1)，级数为1/(1-x)，但我没去掉负号，结果就错了。下次做题一定要仔细！ T17：求体积问题这道题卡了我一会儿。y关于x的函数不好提取出来，交换坐标x看作y，y看作x计算二重积分就好了（交换积分次序）。这个方法真是救命稻草，不然我真不知道该怎么做。 T18：讨论交错级数收敛性问题这道题有点复杂，主要是要讨论是条件收敛还是绝对收敛。别被吓到，一步步来，总能找到解决办法。 T22：条件密度函数+联合概率密度这道题真是让我在草稿纸上求条件概率密度求错了。判定的不独立，结果就错了。下次做题一定要多检查几遍。总的来说，这套试卷虽然难度跳跃，但也让我学到了不少东西。下次一定要更加细心，争取更好的成绩！加油！𐟒ꀀ

线性代数复盘：从基础到进阶嘿，期末考试刚结束的小伙伴们，你们辛苦了！今天我们来聊聊线性代数，特别是李正元老师的线代部分，真的是让我爱恨交织啊！𐟘… 向量部分首先，咱们来聊聊向量。对于一个AX=0的线性方程组，如果它只有0解，那为什么可以推出A矩阵的列向量是无关的呢？其实，这背后有一个很重要的概念——线性无关。如果A矩阵的列向量线性无关，那它的行列式就不为0，从而方程组只有0解。反过来，如果A矩阵的列向量线性相关，那它的行列式为0，方程组可能有非0解。再比如，如果一个向量组和基础解系等价，那它是不是也是方程组的基础解系呢？答案是肯定的。因为基础解系就是那些能满足方程组的解，而等价的向量组也能满足同样的条件。线性方程组齐次方程和非齐次方程：齐次方程就是那些系数全为0的方程，而非齐次方程则至少有一个系数不为0。在解答方程组时，我们通常只能对方程组进行行变换，而不能进行列变换。什么时候齐次方程只含有0解？什么时候含有非0解？非齐次方程什么时候有唯一解？什么时候有无穷解？什么时候又无解呢？这些问题其实都有规律可循。比如说，对于一个齐次方程，如果它的系数矩阵的秩小于未知数的个数，那它就有非0解。而对于非齐次方程，如果它的系数矩阵的秩等于未知数的个数，那它就有唯一解。如果你把一个齐次方程变成非齐次方程，解系的秩会怎么变呢？其实，解系的秩会减少1。这是因为非齐次方程多了一个自由变量。为什么行数目小于列数目的方程一定有无穷个解？这是因为方程组的系数矩阵的秩小于未知数的个数。反过来，如果行数目大于列数目的方程存在n阶矩阵不为0，那它可能是有唯一解，也可能是有无穷解。思考一下中学的时候，我们常被灌输一个思想：要解决几个未知数的问题，就需要有几个方程。但真的是这样吗？比如x+y=1和2x+2y=2这两个方程，它们能求出x和y的精确值吗？为什么？如果把这两个方程写成一个非齐次方程组，它是无穷解还是唯一解呢？方程组的解系和原方程有什么关系？由原方程可以求出它的解系，那么我们以它的解系为系数，能求出来原方程吗？这些问题都值得深入思考。特征值部分特征值的求解公式：特征值的求解公式是A-|=0。在求特征值时，你会尝试使用列变换吗？其实，这取决于你的个人习惯和问题的具体要求。特征向量和（A-）X=0的关系：如果A-可逆，那么𐱤𘍦˜Ÿ驘𕧚„特征值了。因为可逆意味着矩阵没有零空间。对于A矩阵的衍生矩阵来说，他们的特征值会有什么变化呢？这个问题其实挺有意思的。比如说，对于A的转置矩阵AT，它的特征值和A是一样的。但对于A的逆矩阵A-1，它的特征值是1除以A的特征值。特征值和矩阵的迹有什么关系呢？特征值相乘又和它有什么关系呢？对于秩为1的矩阵，它的特征值怎么样快速求出来呢？这些问题都需要你花时间去琢磨。两个相似矩阵的特征值之间有什么关系呢？这个问题其实很简单：两个相似矩阵的特征值是一样的。但对于多重的同一个特征值，我们该怎么判断它能否进行相似对角化呢？这又是一个值得思考的问题。复盘小结如果你不翻书的话，上个阶段有哪部分你连不起来呢？不妨列个提纲，看看自己到底哪些地方还需要加强。线性代数其实并不难，只要掌握了基本概念和方法，一切都会变得很简单。加油！𐟒ꀀ

基础解系基为何是n-r？关于极大线性无关组和基础解系的关系，有些知乎答主讲得非常好，结合几何理解非常形象。至于基础解系的基为何是n-r，老师通常解释为总的自由度减去真实约束个数。但这样解释总觉得少了点什么。可能是因为方程组前一章讲的是向量，导致大家习惯性地用列向量来分析，这种思维惯性让人想不通为什么基础解系的秩是n-r。甚至容易将自由量的个数与列向量中的多余量的个数混淆，因为它们都是n-r。关键在于用行向量来解释！不能用列向量。行向量与解向量作内积，齐次方程组的求解就是求与所有行向量都正交的向量。用列向量解释就是，齐次方程组的求解就是求用列向量线性表示零向量的表示系数。虽然列向量的秩等于行向量的秩等于系数矩阵的秩，秩r表示极大线性无关组中向量的个数，既是列向量空间中基的个数，也是行向量中基的个数。但用列向量解释就是不容易转过来弯。一个mxn的矩阵，可以分解为m个n维的行向量，或n个m维的列向量。解向量也是n维，所以一定要按照行向量来理解，才能豁然开朗。

[LG]《Simplicity Bias via Global Convergence of Sharpness Minimization》K Gatmiry, Z Li, S J. Reddi, S Jegelka [MIT & TTIC & Google Research] (2024)网页链接「机器学习」「人工智能」「论文」

LLM偏爱Decoder？原因在这！最近读了苏神的文章，关于LLM（Language Model）的架构选择，觉得有必要再复述一遍，加深理解。GPT（Generative Pre-trained Transformer）是典型的Decoder-only架构，而Google提出的T5模型则是Encoder-Decoder架构。简单来说，Encoder负责处理输入，Decoder负责处理输出。首先，Decoder-only架构的Encoder和Decoder都是单向注意力，而且可以共享参数，这使得它的参数量相对较少。而Encoder-Decoder架构的Encoder是双向注意力，Decoder是单向注意力，不共享参数，因此参数量是Decoder-only的两倍。这就意味着，我们不能简单地说T5的优势是因为将输入的注意力从单向改为双向带来的，因为没有控制变量（即参数量）。那么，为什么“输入部分的注意力改为双向不会带来收益”呢？这涉及到Attention矩阵的概念。Attention矩阵一般是由一个低秩分解的矩阵经过softmax得到。由于低秩分解降低了计算复杂度，但也导致了表达能力的下降。Decoder-only架构的Attention矩阵是一个下三角阵，由于softmax的存在，其对角线必然都是正数。而三角阵的行列式等于它对角线元素之积，所以它的行列式必然是正数，即Decoder-only架构的Attention矩阵一定是满秩的，满秩则代表更强的表达能力。改为双向反倒不如单向（Encoder-Decoder架构的Attention矩阵为正方形，此时不一定满秩）。苏神在面试题标答中指出：【LLM之所以主要都用Decoder-only架构，除了训练效率和工程实现上的优势外，在理论上是因为Encoder的双向注意力会存在低秩问题，这可能会削弱模型表达能力。就生成任务而言，引入双向注意力并无实质好处。而Encoder-Decoder架构之所以能够在某些场景下表现更好，大概只是因为它多了一倍参数。所以，在同等参数量、同等推理成本下，Decoder-only架构就是最优选择了。】苏神真是太强了！𐟒ꀀ

全国大学生线性代数期末考试试卷解析 𐟓 选择题（每题3分，共15分） 1. 设A, B为n阶可逆方阵，则下列等式恒成立的是（D） A. (AB) = A-1B-1 B. (AB) = A*B* C. (AB)-1 = B-1A-1 D. (A+B) = B* + A* 2. 设A为m㗮型矩阵，则下列命题中正确的是（D） A. 若R(A)=m, 则A可逆 B. 若R(A)=n, 则A可逆 C. 若A行满秩, 则A可逆 D. 若A满秩, 则A可逆 3. 设A, B为n阶方阵，则下列命题中正确的是（D） A. R(A)-R(B) ≤ R(A-B) B. R(A)+R(B) ≤ R(A+B) C. R(A)R(B) ≤ R(AB) D. R(A, B) ≤ R(A)R(B) 4. 设向量组 a, a… am (m≥2)线性无关，B, B2…,B为与a, a2… 同维的向量组。下列命题正确的是（D） A. 若m=n，则1, B2… Bn与a1, a2, …, am等价 B. 若B1, B2, …, B可由a, a2…, am线性表示，则n≤m C. 若a1, a2, … am可由B1, B2, …, B线性表示，则m≤n D. 若B1, B2… Bn线性无关，则B1B2…, B与a1, a2, …, am等价 5. 设A为n阶对称矩阵(n≥2)。下列命题正确的是（C） A. A有n个不同的特征值 B. A的任意n个不同的特征向量均互相正交 C. A的任意两个不同特征值下的特征向量一定互相正交 D. A的任意两个互相正交的特征向量一定属于不同的特征值 𐟓 填空题（每题3分，共15分） 6. 排列(1375624)的逆序数t(1375624)= 4 7. 设A为3阶方阵，且A=3，则2A-1-A= 2/3 8. 已知向量(1,-2,1)与向量(-2,t,1)正交。则t = -3 9. 若含有5个未知量4个方程的非齐次线性方程组有3个线性无关的解，且没有4个线性无关的解，则其系数矩阵的秩为 3 10. 若方阵A满足2A2-3A=-4E，则(3A-2E)-1= -4/5 𐟓 解答题（共70分） 11. 计算行列式：|1 -3 2| |4 -2 3| |5 2 1| = -8 12. 求矩阵A的逆矩阵：其中 A = |2 2 -1| |-1 3 -2| |0 0 0| = -1/6 |3 -2 -1| |-1 4 -3| |0 0 0| 13. 解线性方程组：|3x - x + 2x + 2x = 1| |x - 2x + 3x - 3x = 2| |2x + x - x + 5x = -1| 解得 x = [7/9] [8/9] [4/9] [5/9] 14. 求向量组a1=(1,0,1,1), a2=(0,-1,1,2), =(-1,2,1,-5), =(-1,3,2,-7), =(2,1,3,0)的一个含有的极大线性无关组，并将其余向量用该线性无关组表示。解得：极大线性无关组为 (a4) = (-1, 3, 2, -7)，

考研线代真题常考的特征值运算小技巧[赞同] 很少up讲的快速正交变换，请你一定要会！做题几乎不用死算，性质定理！实对称特征值五大命题手法：利用好ab矩阵、秩1矩阵、秩1+KE矩阵；r（A-入iE）=1、｜A-入E｜=0 妈妈再也不担心我的第一问啦！ #考研# #25考研# #考研数学真题分类# #张宇# 五大特征值命题方法务必掌握