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费马小定理前沿信息_数学著名的17个定理(2024年11月实时热点)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：教程更新日期：2024-11-27

费马小定理

数论中的最小正数整除问题：欧拉定理的应用初等数论主要研究整数环的整除理论和同余理论。基本上，初等数论的研究方法主要局限于整除性质。经典结论包括算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、中国剩余定理和欧拉定理（其特例是费马小定理）等。欧拉定理的一个预备定理是这样的：对于任意整数a和b，以及所有形如ax+by的正数，存在一个最小的正数，使得这个最小的正数能够整除所有这些正数。证明这个定理的关键步骤是：假设r=ax+by-(ax0+by0)q=a(x-x0q)+b(y-y0q)，这一步是将r也表示成ax+by的形式，证明r是集合S中的一个整数。由于S中的最小正数是ax0+by0＞0，所以r不可能是正数。又因为r是整除后的余数，它只能大于等于0，因此r只能等于0。由此得到ax+by=(ax0+by0)q，即ax+by可以被ax0+by0整除，也就是(ax0+by0)｜(ax+by)。这个定理还可以推广到更一般的情况：假设最小正数y0是a1x10+a2x20+a3x30+...+anxn0，然后按照类似的方法进行推导。y0|ai是因为ai也可以写成a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn的形式，比如a1，可以令x1=1,其它x2, x3等都为0就可以了。同样a2，可以令x2=1,其它xi等都为0就可以了。其它ai类推。这就说明了ai∈A，从而得到y0|ai。由于自然数中最小正整数是1，如果ax+by可以组合出数字1，则ax+by自然可以被1整除。那么什么情况下组合不出1呢？比如我们假设a,b都是偶数，那么ax+by就有公因子2,ax+by就可以写成2(cx+dy)的形式。由于cx+dy可以组合出的最小正整数也是1，所以这种情况下ax+by能够组合出的最小正整数就是2。这个定理在数论中有着广泛的应用，特别是在解决一些组合问题和同余问题时非常有用。

AMC数学竞赛中的同余运算技巧在AMC数学竞赛中，同余的运算对于解决许多数论题目至关重要。𐟔 当涉及到求余数或讨论整除问题时，掌握同余的运算公式可以快速简化复杂的表达式。𐟒ኊ以下是一些重要的同余运算公式：已知 a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么有： a + c ≡ b + d (mod m) a - c ≡ b - d (mod m) a 㗠c ≡ b 㗠d (mod m) a^n ≡ b^n (mod m) 这些公式可以帮助你快速解决涉及同余的数学问题。𐟓ˆ 如果你想要更高级的公式，例如费马小定理，可以继续探索。𐟔

数学与应用数学：自然科学之基石，智慧人生之灯塔

AMC10竞赛16个核心知识点准备参加AMC10竞赛的同学们，这里有一份16个必考知识点的清单，帮助你更好地准备考试！ 𐟔⠦•𐨮𚥟𚧡€：质数、质因数分解、因子个数定理、最大公约数、最小公倍数、欧几里得算法 𐟔„ 同余和整除：同余、整除、不定方程 𐟓ˆ 高级定理和进制：欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理、中国余数定理、数位和进制、无限循环小数 𐟓 几何基础：三角形、面积周长 𐟓‹ 进阶几何：相似三角形、三角形内的点线关系 𐟔𔠥œ†：圆的基础知识、圆的高级定理 𐟓Š 立体几何：线、平面和角、坐标系下的立体几何、多面体 𐟓𒠨磦ž几何：直线、圆 𐟔„ 几何变换：平移、位移、对称、旋转 𐟔⠥Š 法原理和乘法原理：乘法原理、加法原理 𐟓‰ 排列组合：排列、圆排列、组合和分组、范德蒙恒等式、容斥原理等 𐟎悧Ž‡：古典概率、几何概型、马尔科夫链、递推 𐟓ˆ 数列：等差数列、等比数列、其他类型的数列 𐟓Š 多项式：代数基本定理、韦达定理的一般形式、有理根测试、综合除法、长除、笛卡尔符号规则、余数定理、因子定理 𐟓ˆ 函数及其图像：常见函数及其图像、高斯函数及其图像、天花板函数及其图像 𐟓‰ 不等式：线性不等式、高阶多项式不等式、二次不等式、柯西不等式、均值不等式希望这份清单能帮助你更好地准备AMC10竞赛，取得优异的成绩！

本文谈谈几位不轻易或不喜欢公开发表自己研究结果的数学家。费马(Fermat)被称为业余数学家中王子(prince of amateurs), 是十七时纪最伟大的数学家之一，曾在概率论、解析几何、微积分以及数论方面有过突出的贡献，但他却很少公开发表文章，绝大多数工作除通信外，还存在于他的遗稿手札中。例如，他的概率论基础方面的贡献大都包含在1645年一系列通信中，其结果直接或间接地进入伯努利(Jakob Bernoulli)的著作《猜度术》(Ars Conjectandi)中。解析几何方面，他虽然写过《平面与立体轨迹引论(Ad locus planos et solidos isagoge》一文，建立了解析几何系统，将几何与代数联系起来，却没有公开发表，而笛卡尔却于次年发表了高度影响力的《几何》(Geometrie), 虽然数学界还是承认了笛卡尔及费马都是解析几何的创始人，但坐标平面则永远地成了笛卡尔平面。他在微积分的求极大、极小值方面的结果通过与梅森的通信为世人所知，有了我们今天的费马引理(有时称为极值的费马定理)。他的最具影响力的工作集中于数论的研究，如费马大定理，费马小定理等一众结论，但绝大多数没有公开发表。如费马大定理还是他儿子在整理他的遗物时才发现的。高斯从1813年开始尝试建立非欧几何，曾在与多人的通信中提及他的思想与研究，但他从未公开发表该方面的研究结果。牛顿在发表文章方面也不积极，十七世纪六十年代，牛顿就有了微积分的思想(他称之为流数术fluxions)，其结果只是在英国受控的小范围内传播，而莱布尼兹分别于1684及1685年公开了关于微积分的两篇文章，引起了牛顿不满，认为文章沿用了他的思想。于是有了谁首先创立微积分的优先权之争，并引起了英国及欧洲大陆数学界的长时间不和。不轻易或不善于发表自已的研究结果，更多应该是个人性格方面的原因，在与别人的通信中，高斯说他可能永远不会发表非欧几何方面的发现，因为他害怕受到嘲笑，怕波尔第人(Boeotian)的瞎吵吵。也有可能与他的理念“宁可少发，也要发表成熟的成果”有关。有人认为牛顿没有尽快发表相关文章，是因为他不信任别人且讨厌受到批评。而不公开发表文章似乎是费马的习惯，他只是在饶有兴致地、很少证明地产生他的定理，并自豪地说:“我发现了大量极度(exceedingly)美丽的定理”。显然，在他的心中，发现结果比发表文章要重要得多。这也是费马更多为数学界所知而公众所知甚少的原因。有人认为，如果高斯能早点公开自己在非欧几何上的研究结果，一些天才数学家如罗巴切夫斯基及波耶(Bolyai)就可以在其它数学硏究上贡献自己的聪明才智。当然，如果牛顿适时公开自己在微积分方面的研究，也就没有了优先权之争，英国与欧洲大陆数学家之间也就不会中断那么长时间的交流。

提供一个证明费马小定理的方法

提供一个证明费马小定理的方法同时，根据这个定理，我还发现了这个↓

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