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点集拓扑最新视觉报道_点集拓扑讲义(2024年12月全程跟踪)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：热点更新日期：2024-12-03

点集拓扑

点集拓扑基础知识分享：度量空间与连续性在度量空间X中，我们经常会遇到一些基本的拓扑概念，比如球形邻域、开集、邻域以及函数的连续性。这些概念看似简单，但它们是理解更复杂拓扑结构的基础。球形邻域 𐟌 球形邻域是非空的，它包含了一个点x和一个更小的邻域。如果两个球形邻域包含同一个点，那么它们必定有交集（即包含更小的球形邻域）。如果x的球形邻域包含y，那么y也必定包含在x的某个球形邻域中（这可以通过三角不等式来证明）。开集 𐟓 空集和任意集合S都是开集。任意两个开集的交集也是开集（有限交）。任意两个开集的并集也是开集（任意并）。邻域与开集 𐟏ž️ 对于一个给定的点x，它的邻域U包含一个开集（通常是球形邻域），这个开集也包含x。连续性 𐟌ˆ 在度量空间X和Y中，如果f是从X到Y的连续映射，那么f在x0处连续等价于f(x0)的每一个邻域的原象是x0的一个邻域。 f在X上连续等价于Y中的每一个开集的原象都是X中的一个开集。这些概念看似简单，但它们是理解更复杂拓扑结构的基础。希望这些分享能帮助你更好地理解点集拓扑！

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经济学和金融学的本科生还是该学全套的《数学分析》。我学弟已经是直博生2年级，仍然隔三差五问我大一的实数完备性、点集拓扑、紧集、度量空间。这都跟英语6级一样是不该被问到还不会的基本功。当年我学校可要求我们经济学基地班必修连续3个学期的《数学分析》，现在我学校心软放敞马只要求非数统专业2个学期的《微积分》。

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留学生必备数学与统计学辅导指南 𐟌Ÿ 数学科目全覆盖 𐟌Ÿ 高等数学：从基础到高级，全面掌握导数与微积分、积分学、多元微积分等。线性代数：涵盖矩阵、行列式、向量空间等，为后续课程打下坚实基础。数学分析：深入探索函数的极限、连续性、可导性等。离散数学：包括图论、组合数学、逻辑学等，锻炼逻辑思维。概率论：从基础到高级，掌握各种概率分布和随机过程。运筹学：优化方法、决策理论等，解决实际问题。实分析：深入探索实数、复数、函数空间等。复分析：从复数到复变函数，全面掌握复分析的理论和方法。泛函分析：研究函数空间和算子理论，为现代数学打下基础。 Fourier分析：掌握Fourier级数和Fourier变换，应用于信号处理和图像处理。常微分方程：从基础到高级，掌握各种微分方程的解法。偏微分方程：包括椭圆型、抛物型、双曲型方程，应用于物理和工程。高等代数：抽象代数、近世代数等，培养数学素养。有限群表示论：研究有限群的表示理论，应用于物理和化学。拓扑群表示论：包括抽象调和分析，研究群在拓扑空间上的作用。 Lie代数及其表示论：研究Lie代数及其表示理论，应用于物理和数学。交换代数：研究交换环和交换代数，应用于代数几何和数论。逻辑学：从基础到高级，掌握逻辑推理和证明方法。初等数论：包括素数、合数、同余方程等，培养数学直觉。代数数论：研究代数数域和代数整数，应用于密码学和计算机科学。图论：从基础到高级，掌握图的性质和算法。微分流形：研究流形上的微分结构，应用于物理和几何。点集拓扑：研究拓扑空间和连续映射，应用于数学基础。工程数学：将数学应用于工程实际问题，提高解决实际问题的能力。 𐟓ˆ 统计学科目全覆盖 𐟓ˆ 数理统计：从基础到高级，掌握各种统计分布和假设检验。运筹学：优化方法、决策理论等，解决实际问题。拓扑学：研究拓扑空间和连续映射，应用于数学基础。时间序列：掌握时间序列分析方法，应用于金融和经济。贝叶斯统计推断：应用贝叶斯方法进行统计推断，提高预测准确性。应用回归分析：从基础到高级，掌握回归分析的方法和应用。生物统计：将统计学应用于生物学研究，提高生物实验的统计可靠性。现代人口分析方法：研究人口统计方法，应用于社会和政策分析。线性模型：从基础到高级，掌握线性模型的理论和方法。 SPSS/Stata：掌握统计软件的使用方法，提高数据处理效率。数值分析：研究数值计算方法和误差分析，应用于科学计算。商务统计：将统计学应用于商业数据分析，提高商业决策的准确性。应用统计：从基础到高级，掌握应用统计的方法和应用领域。概论率与数据统计：研究概率论和数据统计的基础理论和方法。线性数学模型：从基础到高级，掌握线性数学模型的理论和方法。离散数学模型：研究离散数学模型的理论和方法，应用于计算机科学和工程。微积分数学建模：应用微分方程进行数学建模，解决实际问题。概率论与数理统计：从基础到高级，掌握概率论与数理统计的理论和方法。数值分析方法：研究数值计算方法和误差分析，应用于科学计算。样本量估计：应用统计学原理进行样本量估计，提高实验设计的科学性。正态检验：应用正态检验方法进行数据检验，提高数据质量。假设检验：应用假设检验方法进行统计推断，提高预测准确性。方差分析：应用方差分析方法进行数据比较和分析，提高数据分析的准确性。相关分析：应用相关分析方法进行变量间的关系研究，提高数据解释的准确性。回归分析：从基础到高级，掌握回归分析的方法和应用领域。多元统计分析：应用多元统计分析方法进行多维数据的处理和分析，提高数据挖掘的效率。时间序列分析：掌握时间序列分析方法，应用于金融和经济领域。逻辑回归：应用逻辑回归方法进行分类问题的研究，提高预测准确性。

MIT毕业生教你如何轻松搞定数学和统计学数学科目一览 𐟓š 高等数学：导数、微积分、积分学、多元微积分、线性代数、数学分析、离散数学、概率论、运筹学、优化方法、实分析、复分析、泛函分析、Fourier分析、常微分方程、偏微分方程。线性代数：高等代数、抽象代数/近世代数、有限群表示论、拓扑群表示论（包括抽象调和分析）、Lie代数及其表示论、交换代数、逻辑学、初等数论、代数数论、图论。微分流形：点集拓扑、工程数学。其他语言：Python、Java、Matlab、Maple、R语言等。统计学科目一览 𐟓Š 数理统计：运筹学、拓扑学、时间序列。贝叶斯统计推断：应用回归分析、生物统计、现代人口分析方法。线性模型：SPSS、数值分析、商务统计。应用统计：概论率与数据统计、线性数学、离散数学。微积分数学建模：概率论、数值分析。样本量估计：正态检验、假设检验。方差分析：相关分析、回归分析。多元统计分析：时间序列分析。逻辑回归：Statistical inference、regression analysis、time series。无论你是数学或统计学专业的学生，还是对这些领域感兴趣的朋友，都可以来找我聊聊！希望我的经验能帮到你们！

数学专业就业前景及感悟分享 𐟓š 𐟍“专业介绍：本科数学类专业包括数学与应用数学、信息与计算科学、数理基础科学。研究生数学专业则分为基础数学、计算数学、应用数学、概率论与数理统计、运筹学五个方向。我自己学的是数学与应用数学，这个专业属于普通高等学校本科专业，修业年限为四年，毕业后授予理学学士学位。主要学习数学和应用数学的基础理论和方法，接受数学模型、计算机和数学软件方面的基本训练，具备较好的科学素养，初步具备科学研究、教学、解决实际问题及开发软件的能力。 𐟍“课程安排：大一：数学分析、高等代数、解析几何、C语言等大二：近世代数、复变函数、常微分方程、实变函数等大三：数值分析、微分几何、概率统计、泛函分析、数学软件等大四：偏微分方程、初等数论、点集拓扑等 𐟍“就业前景：大部分人选择做老师，包括小初高老师，也有去校外辅导机构任教的。选择到科研院所或高校从事科研教学工作。到金融机构（如证券公司、国有银行、投资银行、咨询机构、证交所等）和保险公司的研发部，从事金融分析和精算师工作。到软件公司和与此相关企业的研发部，从事软件开发工作。 𐟍“专业书籍推荐：《数学分析》华东师范大学版《高等代数》北大版：这两本书是最经典的基础教材，大一就开始学，考研专业课也是考这两门，学好这两门课非常重要。 𐟍“一点感悟：很多人一听到数学就害怕，但其实只要认真学，并没有想象中那么难。只要你不害怕它，就一定能学会。学数学有很多好处，它能让你的逻辑更加缜密，改变你思考问题的方式。这些会从你的文字和说话中流露出来。大学毕业后，你可能会用不上数学课上老师教的知识，甚至会遗忘，但数学给你带来的改变会伴随你一生。通过学抽象代数，感觉数学就是全世界，任何东西都可以放到数学系统里运算。 𐟍‡最后欢迎大家报考数学专业！

俄勒冈大学CS PhD，新方向！嘿，计算机科学或数学背景的小伙伴们，注意啦！俄勒冈大学（University of Oregon）的计算机科学系即将迎来一位新的助理教授——Tao Hou。他将于2024年9月加入我们的行列，计划招收2025年秋季入学的博士生，并提供全奖支持哦！无论你是对机器学习、拓扑数据分析还是应用数学感兴趣，这里都有适合你的方向。 Tao Hou：拓扑数据领域的明星 𐟌Ÿ Tao Hou博士毕业于普渡大学计算机系，主要研究方向是拓扑数据分析（TDA）。这个领域将拓扑这一数学分支应用于计算机科学、机器学习、数据分析和可视化等多个交叉领域。Hou博士的核心工具包括persistent homology和mapper等，他还在各种应用、理论计算机及数学性质等方面进行探索。招生方向与要求 𐟓š 根据你感兴趣的方向，Hou博士会有不同的招生要求。以下是一些主要的招生方向和所需的能力：机器学习+TDA方向 𐟤– 对机器学习有较扎实的了解（或有强烈自学意愿）对数学感兴趣，对数学模型反应灵敏掌握或有意愿学习一些拓扑及TDA的相关知识较强动手能力计算机算法与编程方向 𐟒𛊧†Ÿ练的编程技巧熟悉各种常规算法，如图算法，对于各种常规的处理能够设计快速的算法掌握一些高级的算法、数据结构设计技巧有意愿学习一些高等的数学知识对数据分析的应用感兴趣数学应用方向 𐟓ˆ 对数学概念和证明有强烈兴趣对线性代数有较为深入的理解对算法与编程有兴趣额外加分项 𐟎–️ 如果你有关于点集拓扑、代数拓扑、抽象代数（群、环、模理论、多线性代数、范畴论）或微分几何的知识，那将是一个加分项。如何申请 𐟓슊如果你对这些方向感兴趣，欢迎发送你的简历和成绩单到 taohou at uoregon. edu。记得在邮件主题中注明“CS PhD申请”。学校介绍 𐟏늊俄勒冈大学的计算机科学系在美国新闻全美排名中位列64。学校最近新成立了计算机与数据科学学院，致力于扩展计算机及相关交叉学科的研究。学校位于俄勒冈州的尤金市，交通便利，生活方便，风景优美，非常适宜骑行。附近有多座优美的国家公园，同时与西雅图及湾区相距不远，方便实习与工作。快来加入我们吧！𐟚€

𐟓š 探索测度论的奥秘：从实变函数开始作为一个经管类背景的学生，我在学习随机类课程时，经常会被分析和测度等复杂内容所困扰。今天，我想分享一些关于测度论的学习路径，希望能帮助到那些和我一样对数学有浓厚兴趣的朋友们。首先，经济学和金融学中用到的数学主要分为两大类：优化和随机。优化方面，比较基础的有运筹学和线性优化内容，很多专业的研究生院会开设凸优化课程（可以参考凌青老师的课程内容）。还有动态优化问题和随机控制问题等等。而随机方面，比较典型的基础课程就是概率论。很多同学（尤其是考研的同学）可能会认为自己已经学过概率论，但实际上，数一数三的概率论是基于Riemann积分的“简化”版概率论，而后续课程或论文中出现的概率理论则是基于测度理论的公理化概率论。测度理论相对来说比较复杂和抽象，因此很多院校的经管专业是不会开设相关课程的。但许多关键概念，如条件概率，正是源于Radon-Nikodym定理等测度论概念。如果对测度理论不清楚，想要致力于理论研究将会非常困难。关于测度论的学习，我建议从实变函数论开始。大多数经管类学生学习的数学为高等数学，可能有院校本科期间开设数学分析，但大概率也只是换皮版的高等数学。因此，一本好的实变函数教材能够帮助大家入门更加严格的数学，同时补充一些数分中遗漏的知识。不过，本科级别的实变函数论教材通常会跳过抽象测度理论，直接引入Lebeague测度。因此，只了解实变函数的知识是不够的。测度论可以粗略理解为实变函数论+部分泛函分析+部分点集拓扑的合体，是完整版的实变函数论。由于篇幅限制，具体的教材推荐部分留在下篇继续讲述。希望这些建议能帮助大家更好地理解和掌握测度论，为未来的学习和研究打下坚实的基础！

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