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整系数多项式权威发布_整系数多项式的有理根(2024年12月精准访谈)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：观点更新日期：2024-11-30

整系数多项式

2024年浙江省高中数学竞赛真题解析 𐟓 一、填空题（每小题8分，共计96分）已知集合A = {x | 2x - 1 > 0}，求实数x的取值范围。设函数f: {1,2,3} → {2,3,4}满足f(f(x) - 1) = f(x)，求这样的函数有多少个。已知函数g(x) = sin'x + 1，求g(x)的最大值与最小值之积。已知数列{x}满足：xₙ+₁ = xₙ + 1，且x₁ = 1，求通项xₙ。已知四面体A-BCD的外接球半径为1，BC = 1，BDC = 60Ⱟ𜌦𑂧ƒ心到平面BDC的距离。已知复数z满足2z^4 = (z - 1)^10 = 1，求z的值。已知平面上单位向量a与单位向量b垂直，且存在0 < t < 1，使得向量a + tb与向量a - tb垂直，求a + tb - 2t的最小值。若对所有大于2024的正整数n，成立n^2024 = ac，求a + 24的值。设实数a, b, c ∈ (0, 2)，且b ≥ 3a或a + b ≤ 1，求max(b - a, c - b, 4 - 2c)的最小值。在平面直角坐标系xoy上，椭圆E的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，F为E的左焦点；圆C的方程为(x - a)^2 + (-b)^2 = r^2，A为C的圆心。直线l与椭圆E和圆C相切于同一点P(3, 1)，求当OA^2 + AF最大时，实数r的值。设n为正整数，且满足1 + 2 + ... + n = k(k + 1)/2，求n的值。设整数n ≥ 4，从编号1, 2, ... , n的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号。若1, 2均出现或3, 4均出现就停止抽取，求抽取卡片数的数学期望。 𐟓– 二、解答题（13题满分14分，14、15题满分各20分，合计54分）正实数k₁, k₂满足k₁ < k₂，实数c₁, c₂满足c₁ = -k₁, c₂ = k₂ - c₁ = 2(k₁ - k₂)。设函数f(x) = k₁x - c₁，g(x) = k₂x - c₂。当k₁, k₂满足什么条件时，存在A > 0使得定义在[0, A]上的函数g(x) + f(A - x)恰在两点处达到最小值？设集合S = {1, 2, ..., 997, 998}，集合S的k个499元子集A₁, A₂, ..., A满足：对S中任一二元子集B，均存在i ∈ (1, 2, ..., k)使得B ⊆ A。求k的最小值。设f(x), g(x)均为整系数多项式，且deg f(x) > deg g(x)。若对无穷多个素数p，pf(x) + g(x)存在有理根，证明：f(x)必存在有理根。

𐟔 探索神奇的e与自然对数ln x 𐟔 神奇的e： e这个神秘的数是由欧拉在1737年首次证明为无理数，后来被多位数学家进一步研究。它不仅是一个无理数，还被发现是一个超越数，这意味着它不是一个整系数多项式方程的根。 𐟓œ 自然对数ln x：自然对数ln x与双曲线对数、纳皮尔对数等有着密切的联系。ln x的定义是通过双曲线y=1/c下的面积来推导的，这改变了对数仅仅作为简化计算工具的历史。 𐟓š 指数函数与对数函数：指数函数和对数函数在数学分析中扮演着重要角色。尽管取不同的底数a(a>0)进行指数或对数运算不会改变问题的本质，但选择一个固定的底数可以简化计算。e作为底数的选择，使得指数函数和对数函数的导数具有简单的表达式，这既便于记忆也便于实际应用。 𐟌 数学思维与简洁性：数学思维的一个本质特点是追求简洁和完美。选择e为底的对数函数，符合数学思维尽可能简洁、方便、实用及美观的要求。这使得许多以指数函数和对数函数为基础的数学公式变得简洁明了。 𐟓ˆ 双曲线面积的计算：自然对数的一个妙用是用于计算双曲线下图形的面积。这改变了对数仅仅作为简化计算工具的历史，将对数函数及e带到数学中的重要位置，并逐步揭示出其在微积分中的一系列重要应用。

用前面那个粗暴证明有理数是可数的方法，我这里提出一个更粗暴（或直接，浮夸，虚张声势……随大家形容）的证明代数数是可数的证明。一个复数被称作是代数数，如果它是某一个整系数多项式的根。很容易看出任何自然数都是代数数，这就给定了一个自然数集合到代数数集合的单射。只要能反方向给出一个代数数集合到自然数集合的单射，我们就能证明代数数是可数的。而根据代数基本定理，每个次数为n的整系数多项式恰好于n个根（复数根，可以有重根）。我们可以把这n个根按照先比实部大小再比虚部大小（分别都是小的在前）的方式排成有序的一列，于是当给定一个n次整系数多项式f以及1到n中的一个自然数m，“f的第m个根”是良好定义的。一个复数c如果是代数数的话，那么一定存在一个n次整系数多项式f以及1到n中的一个自然数m，使得它是f的第m个根。比如c=√2，那么c就是“x^2-2的第2个根”。现在我们考虑这18个符号的集合：{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,x,^,+,-,的,第,个,根}，规定它们分别对应于1到18这18个数字，于是每个由这18个符号构成的有限字符串都可以转化成二十进制（其实十九进制就够了，但无所谓，二十进制换算还更容易算点）的数字，比如“x^2-2的第2个根”对应的数字就是 11 + 12*20^1 + 3*20^2 + 14*20^3 + 3*20^4 + 15*20^5 + 16*20^7 + 3*20^8 + 17*20^9 + 18*20^10 一个代数数c可以是许多（其实是无数个）不同整系数多项式的根，所以用来刻画它的“f的第m个根”这样的字符串是很多的，但不要紧，里面一定有一个字符串像上面那样转化成的数字是最小的，我们把c对应到这个最小的数字上。容易看出上面这个对应是一个代数数集合到自然数集合的单射。得证。

山东大学泰山学堂数学笔试真题解析 𐟓… 考试时间：已忘记 𐟓š 考试范围：已忘记 𐟓 试题内容：数学分析部分：判断题： f, g 在 (a, b) 上一致连续，则 fg 在 (a, b) 上一致连续。 f, g 在 R 上一致连续，则 fg 在 R 上一致连续。 f, g 在 [0, +∞) 上一致连续，且 f(0) = g(0) = 0，则 fg 在 [0, +∞) 上一致连续。证明题： f 在 [a, b] 上连续，且 f(a) = f(b)，证明存在点列 {x_n}，{y_n} 满足以下条件：x_n → a，y_n → b，且 f(x_n) = f(y_n)。求 lim_{n→∞} (1 + v^2 + ... + v^n)。 f 在 [a, b] 上一阶连续可微，证明存在实数 L，使得对于任意 x, y ∈ [a, b]，有 |f(x) - f(y)| < L|x - y|。讨论 Riemann 函数的连续性。高等代数部分：证明题：若整系数多项式 f(x) 使得 f(0) 和 f(1) 都为奇数，证明 f(x) 没有整数根。对于多项式 f(x)，若对于任意 n ∈ Z，有 f(n) ∈ Z，证明 f(x) 为有理系数多项式。求证整数 m, n 互素的充要条件为多项式 f(x) = x^m - 1 和 g(x) = x^n - 1 互素。

第9宫是观世界，也很容易是世界观。行星落在第9宫，意味着心理需求爱开上帝视角，心系天下；而自古以来，凡是大学问，讨论的都是宏观、普适、永恒的规律，关心的是世界如何被编码。你有行星落在第9宫吗？欢迎在评论区留言。#占星学与积极人生规划#

今天看《Problems from the Book》时，看到了这个定理，感觉很有意思 T.Nagell研究了将Schur定理应用于多项式族的结果还看到一个有意思的问题(可能open)：若n个整系数多项式均非常值，则其素因子集的并集是否恰是一个多项式的素因子集

阿里巴巴数学竞赛决赛试题，数学达人请进！阿里巴巴全球数学竞赛决赛试题已经公布，数学爱好者们快来挑战吧！ 𐟓œ问题1 记Mat2(Z)为2㗲整系数矩阵环，R为其子环。通过Mat2(Z)在V=Q2上的自然左作用，将V看作左R-模。V中的一个R-格是指一个左R-子模L，使得L作为Z-模是有限生成的，并且满足LzQ=V。两个R-格是等价的，如果它们作为左R-模是同构的。找出V中R-格等价类的个数（有限或无限），并证明你的答案。 𐟓œ问题2 多项式环Cc,3的一个理想I是缩放不变的，如果对于任意一对元素ˆˆC，由所有形如f(x的元素（f(x)∈I）生成的理想就是本身。找出Cc,3中满足dimC(Cc,3/I)=6的缩放不变的理想的个数（有限或无限），并证明你的答案。 𐟓œ问题3 设n和d为正整数。设Fi,Fm为C[X0,...,Xn]中次数最多为d的齐次多项式，使得F1,…,Fm是一个有限集；这里CP"是指n维复射影空间。证明：V(F1,…,Fm)的元素个数至多是d"。 𐟓œ问题4 设p>5是一个素数。证明方程(-1)/2I(x-20os(2rk/p)Y)=pP[k=1]没有整数解。数学爱好者们，快来解答这些问题，展示你的数学才华吧！

上海六年级数学月考重难点解析 𐟓š上海六年级数学首次月考重难点检测卷来啦！快来看看你对这些知识点的掌握情况吧！ 1️⃣ 税后利息、利息率和利息的计算：问题：利用关系式“税后本息和=本金+税后利息=本金+利息㗨1-20%)”解决问题。答案：税后利息；利息率；利息 2️⃣ 单项式和多项式的概念：问题：掌握单项式系数、次数及多项式项数、次数的相关概念。答案：单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和；多项式的每一项都有次数，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。 3️⃣ 有理数的减法应用：问题：用上海的气温减去北京的气温计算。答案：19℃ 4️⃣ 新定义运算：问题：掌握“”和“※”两种新定义运算。答案：根据定义进行计算。 5️⃣ 有理数的加减混合运算：问题：利用加法的交换律凑整计算。答案：-16℃ 6️⃣ 有理数的乘除混合运算：问题：掌握有理数的乘除混合运算规则。答案：根据运算法则进行计算。快来挑战这份重难点检测卷，看看你的数学能力如何吧！𐟒ꀀ

华南师范大学数学分析必考知识点清单 𐟓š 数学分析是华南师范大学数学科学专业的重要课程，以下是整理的必考知识点，帮助大家更好地备考！ 𐟔 数列极限通项变形算极限数列极限的性质 Stolz公式迫敛性准则定积分定义归结原则子列与聚点 𐟓ˆ 函数极限无穷小量函数的左右极限幂指函数求极限洛必达法则拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式（4阶）变限积分求极限 𐟒蠥‡𝦕𐧚„连续性连续的定义函数的渐近线间断点的分类一致连续 𐟓ˆ 函数的微分复合求导隐函数求导高阶导数函数的极值点与单调性 𐟒砥‡𝦕𐧚„积分分部积分凑微分法代入换元法微积分基本定理平面图形的面积旋转体的体积 𐟓Š 级数比式判别法根式判别法莱布尼茨判别法绝对收敛幂级数求和函数的幂级数展开 𐟌 多元函数的微积分二元函数的极限复合偏导高阶偏导条件极值二重积分的换序第二型曲线积分的计算格林公式第一型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算高斯公式 𐟓 空间解析几何空间平面方程空间直线方程平面及直线间关系 𐟓– 高等代数多项式：实系数多项式在不同数域上的因式分解实系数多项式根的性质韦达定理有理根的计算行列式：行列式和矩阵性质计算，克拉默法则方程组：基础解系、含参线性方程组求参含参线性方程组解的判别含参线性方程组求解矩阵：方阵行列式、矩阵的秩、伴随矩阵、逆矩阵、矩阵方程求未知矩阵二次型：二次型矩阵、正定二次型（正定矩阵）的判别含参实二次型求参线性空间：基与维数计算、过渡矩阵方法、基变换、生成子空间线性变换：线性变换的矩阵、线性变换（矩阵）可对角化、特征值与特征向量、利用特征值求方阵的行列式、求值域与核欧氏空间：向量的内积、向量的正交、向量的夹角、施密特正交化、标准正交基、实对称矩阵正交相似对角矩阵 𐟓 这些知识点是华南师范大学数学分析考试的重点，希望对大家有所帮助！

高等代数第五版教材+辅导与习题解答PDF 𐟓š 高等代数第五版教材+辅导与习题解答 𐟓– 目录第一章多项式数域元多项式整除的概念最大公因式因式分解定理重因式多项式函数复系数与实系数多项式的因式分解有理系数多项式多元多项式对称多项式习题补充题第二章行列式引言排列 n阶行列式 n阶行列式的性质行列式的计算行列式按一行(列)展开克拉默法则拉普拉斯定理ⷨጥˆ—式的乘法规则习题补充题第三章线性方程组消元法 n维向量空间线性相关性矩阵的秩线性方程组有解判别定理线性方程组解的结构元高次方程组习题

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