当前位置：网站首页 » 观点 » 内容详情

如何求特征值权威发布_如何求特征值对应的特征向量(2024年12月精准访谈)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：观点更新日期：2024-12-01

如何求特征值

22李正元卷复盘：考研数学体验最近做了一套22年的李正元五套卷，发现22和23年的版本没啥区别，24年的据说也没改，于是就直接拿22年的来练手了。第一套花了100分钟，总分145，错了一个填空计算题，都是些基础题目，但考察内容挺广泛的。一道题目通常设置两三个小问，考察四五个知识点，跟真题风格不太一样，因为真题通常是一个问题综合四五个知识点来考的。不过，这套卷子也挺适合查漏补缺或者练练手的。选择部分 𐟧쬲题：原函数存在定理，连续函数一定有原函数，非连续函数如果有原函数，那么间断点只能是震荡间断点。这个题目还是挺经典的。第7题：注意一下D选项，直接求特征值就行，没法直接通过顺序主子式判断正负惯性系数。需要做合同变换，但那样就慢了，反正特征值好求直接算就行了。第10题：这题没给正态分布表，离谱，还得自己查一下。填空部分 𐟓 第11题：化为函数极限洛必达就行。第12题：感觉题目有问题，求出来的函数在x＝e处没定义。第13题：算错了，这题直接求导硬算就行，我少算了一部分，不应该。其他题略解答部分 𐟓 第17题：物理应用，但把所有的引导都说了，所以其实就是求积分，求导。第18题：第一问先说明内部区域取不到最值，再用拉格朗日乘数法找边界区域的最值，第二问化为极坐标求二重积分。第19题：第一问导数定义+微分方程，第二问单调有界收敛准则。其他题略总的来说，这套卷子还是挺有价值的，虽然有些小瑕疵，但整体感觉还不错。希望后面的四套卷子能更有趣一些吧！

考研倒计时25天：数学专业课全解析今天的时间安排得还算紧凑，虽然没有浪费时间，但也不免小玩了一会儿。数学方面，我做了超越卷的6选填，一开始还觉得难度降低了，结果填空题做得相当费劲，时间也远远超出了预期。数学具体题目分析 𐟓 隐函数条件：这道题一开始我分别求了偏导数，算全微分，感觉都不对劲。后来才意识到应该用整体函数来做。特征值问题：看到AB与BA特征值相同的结论，虽然不太确定如何下笔，但这个结论还是有点印象的。直接举例：这道题直接举例做还挺快的。不过还是需要掌握标准做法，先验证对称性，再分别求特征值。方差反推：张八有一道题和这个差不多，cov可以用示性函数求，这里利用和的方差反推应当能想到才好。高阶导数：一开始以为很难，后面求4阶导数就能找出规律。不过常见函数的高阶导公式还是该记住。二重积分定义：这道题没想到是二重积分定义，尝试拆分只算出一半就是答案，不知道问题出在哪里。秩的条件：这道题和22年数一同解的那个题有点像，不过自己没太理解这里秩的条件怎么用。直接特例B=O，A为主对角两个1也能写出答案。专业课学习 𐟓– 今天专业课学得多一些，拖了很久的应书希望最近两天能争取过完。之后再每天都看看，抓紧刷卷子。政治和英语 𐟓š 政治方面，我做了徐6的前两套，感觉比肖八简单不少。能够30来分已经感觉进步挺多了。英语方面，继续看了会资料，还没能确定是自己想还是找模版背，还是背压题作文。总的来说，今天的复习还算充实，虽然有些小插曲，但整体进展还不错。希望能在接下来的时间里保持这种状态，顺利备考！

如何求矩阵的最小多项式？两种方法详解大家好！今天我们来聊聊如何求一个矩阵的最小多项式。这个问题在高等代数中可是个大问题，但别担心，我会尽量讲得简单明了。方法一：快速但计算量大 𐟚€ 首先，最直接的方法就是利用矩阵的特征多项式。具体步骤如下：找到矩阵的特征值。计算特征多项式，也就是行列式 |A - |。通过因式分解，找到最小多项式。这个方法虽然快，但矩阵阶数越大，计算量也越大。所以，如果你时间有限，可以考虑其他方法。方法二：利用若尔当标准形 𐟐Ž 另一种方法是利用若尔当标准形来寻找最小多项式。具体步骤如下：找到矩阵的特征值和对应的特征向量，构建若尔当标准形。利用若尔当标准形中的特征多项式，找出最小多项式。这个方法虽然稍微复杂一点，但可以从若尔当标准形中直接看出矩阵的可对角化条件，也就是最小多项式可以分解为互素的一次因子乘积。例题解析 𐟓 已知矩阵 A = [0 4; 1 2]，它有一个二重特征值 = 1。我们可以通过以下步骤来求最小多项式：求特征多项式：|A - | = (x - 1)^2。因式分解：最小多项式为 (x - 1)^2。如果 A 的最小多项式可以分解为互素的一次因子乘积，那么 A 是可对角化的。在这个例子中，最小多项式就是 (x - 1)^2，所以 A 是可对角化的。小结 𐟓 求矩阵的最小多项式有两种方法：一种是快速但计算量大，另一种是利用若尔当标准形。无论哪种方法，都需要一定的数学基础和耐心。希望这篇文章能帮到你，祝你学习顺利！

𐟚€线性代数期末速成攻略𐟌Ÿ 𐟓š 期末考试在即，线性代数怎么速成？别担心，这里有份攻略帮你轻松应对！ 𐟔 特征值与特征向量的求法是线性代数的重点，掌握它们就能轻松解题。 𐟒ᠤ𞋥悯𜌥﹤𚎧Ÿ驘𕁯𜌦𑂥…𖧉𙥾值和特征向量，可以通过解方程组或者利用矩阵的性质来得到。 𐟓 二次型也是线性代数中的重要内容，了解它的性质和求解方法能让你在考试中游刃有余。 𐟔젦�𚤥˜换法是求解二次型问题的有效方法，通过正交变换可以将二次型化为标准形，简化计算。 𐟒ꠦŽŒ握这些方法和技巧，线性代数期末考试不再难！加油，你一定能取得好成绩！

谱分解：实对称矩阵的秘密武器 𐟛᯸ 谱分解，听起来有点高大上，但其实它在数学和工程中有着广泛的应用。特别是对于那些需要处理实对称矩阵的问题，谱分解简直是个神器。不过，要掌握它，确实需要一定的线性代数基础。谱分解的特点 𐟌Ÿ 实对称矩阵：谱分解只适用于实对称矩阵。这意味着你的矩阵A必须是对称的，即AT=A。单位正交特征向量：分解后的特征向量必须是单位正交的。这意味着每个特征向量的模长为1，且不同特征向量的内积为0。特征值尽可能多出零：谱分解的效果更好当矩阵有尽可能多的零特征值。基本解法 𐟧銊如果有可逆矩阵P，使得P-1AP=A，那么A=PAP-1。这就是求解的基本思路。关键词有三个：①只有实对称矩阵才能用；②特征向量两两单位正交；③特征值多出零。谱分解的具体步骤如下：找出矩阵A的所有特征值和特征向量。将特征向量单位化，并确保它们两两正交。用这些单位正交的特征向量构建矩阵P。计算P-1AP，这就是谱分解的结果。优点与缺点 𐟏…𐟚늊谱分解的优点在于，它不需要求逆矩阵P-1，这有时候可以避免一些复杂的计算。但它的缺点是，有时候求特征值和特征向量本身就很麻烦。应用场景 𐟌 谱分解在许多领域都有应用，比如信号处理、图像处理、机器学习等。在这些领域中，矩阵A往往具有一些特殊的性质，使得谱分解成为一种非常有效的工具。总结 𐟓 谱分解是一种强大的工具，适用于处理实对称矩阵。它不需要求逆矩阵，避免了复杂的计算。掌握它需要一定的线性代数基础，但一旦掌握了，你会发现它在许多实际问题中都非常有用。希望这篇文章能帮你更好地理解谱分解！如果你有任何问题或想法，欢迎在评论区分享哦！

考试神器！TI计算器推荐德州仪器（Texas Instruments）的 TI-Nspire 系列计算器在教育领域广受好评，以下是一些主要特点： 𐟓š 强大的功能集合：代数运算：能够进行数值求解、符号运算、二进制和十六进制运算、逻辑运算等。例如，可以轻松进行复杂的多项式展开、因式分解，求解各种方程，包括高次方程、方程组等。微积分计算：支持求导数、积分、极限、函数最大值、最小值、切线，还能解微分方程等，对于学习高等数学，尤其是微积分相关课程和考试的帮助极大。矩阵运算：包括特征值、特征向量的计算，以及 Ludecomposition、QR 因数分解等，这些功能在处理线性代数相关问题时非常实用，对于理工科专业的学生在学习矩阵理论、工程数学等课程时很有优势。统计分析：可对一元或二元变量进行统计，能进行回归与拟合操作、多种假设检验（t-test、z-test、anova 等），还可以计算并绘制多种分布的图形，如散点图、x-y 线图、直方图、箱形图、回归线、正态概率图、假设检验图等。几何功能：可以创建和研究几何形状，模拟点在图形上的运动并研究其性质，研究几何的变换，有利于学生学习平面几何和平面解析几何。金融计算：涵盖货币的时间价值（TVM）、不均匀现金流、分期付款、利率转换等金融领域的常见计算。 𐟖‹️ 灵活的操作方式：多种输入模式：支持自然书写显示，方便用户以更接近日常书写的方式输入表达式和公式，减少了输入的复杂性和错误率。图形操作：如果是带触控板（Touchpad）的版本，操作更加便捷，用户可以直接在屏幕上进行图形的缩放、平移、旋转等操作，方便观察图形的细节和变化趋势。数据交互：可以与电脑进行文本互传，方便用户在电脑上编辑和整理计算器中的数据和文档，也可以将电脑上的文件传输到计算器中使用。 𐟖寸显示效果出色：高分辨率屏幕：拥有较高分辨率的屏幕，能够清晰地显示函数图形、数据表格、文本等内容，图像和文字显示细腻，便于用户查看和理解。彩屏显示（部分型号）：部分型号的 TI-Nspire 采用彩屏显示，色彩丰富，对于需要区分不同颜色的图形、数据曲线等场景非常有帮助，使显示效果更加直观和生动。 𐟒𛠧𜖧若ŠŸ能：具有简单易学的编程语言，用户可以根据自己的需求编写不同的应用程序，扩展计算器的功能，实现个性化的计算和分析。这对于有编程基础或者想要学习编程的用户来说，是一个很好的实践和学习工具。

吴老师带你玩转协同过滤推荐算法今天咱们来聊聊协同过滤算法，这可是推荐系统里的老大哥了。咱们先从电影评分开始说起吧。电影评分示例 𐟎슊想象一下，你给看过的电影打分，每部电影有两个特征值。然后，根据这些特征值和你给的评分，咱们可以对每个用户进行一次线性回归计算。这样，咱们就能得到每个用户对电影评分的线性模型。代价函数 𐟓ˆ 之前讲线性回归时，咱们提到了代价函数，加上正则化后的公式。这个公式是对每个用户对不同电影的数据进行训练的。不过，咱们现在要关联所有用户的数据，于是就有了新的代价函数。整体代价函数 𐟌 这个新的代价函数其实就是把每个用户的代价函数加起来，求和。这样，咱们就能得到所有用户的总代价函数。这就是图三中的公式1。没有特征值的情况 𐟘“ 有时候，咱们只有用户给电影的评分，没有电影的特征值。这种情况下，线性回归就没法用了。于是，咱们做了个假设：已知w和b，求x。也就是说，根据所有用户对同一部电影的评分，来求出这部电影的特征值。求电影特征值的代价函数 𐟔 图五上方的第一个公式就是求一部电影特征值的代价函数。所有的电影是一个整体，所以咱们把它们加起来，得到了图五下方的公式2。协同过滤算法 𐟤 到现在为止，咱们推导出了两个公式：一个是假设有X求w、b的公式1，另一个是假设有w、b求X的公式2。但在实际数据中，咱们既没有X也没有w、b。于是，协同过滤算法就派上用场了。组合公式 𐟧銊图六中，咱们把公式1和公式2组合在一起，形成了协同过滤算法。接下来的计算过程就像之前的线性规划一样，不过这次不止需要求w、b，还需要求出x的值。通过梯度下降法，分别求w、b、x的偏导数，逐渐调整它们的值，最后找到一个局部最优解。推荐系统 𐟌Ÿ 协同过滤算法就是通过多个用户的联合计算出一个模型，然后再根据这个模型预测用户未评价的电影评分。如果预测结果高于某个阈值，就进行推荐；反之，就不推荐。这就是推荐系统的核心思想。希望这篇文章能帮你更好地理解协同过滤算法！如果你有任何问题或想法，欢迎在评论区留言哦！

如何通过矩阵方程求逆矩阵？给定一个矩阵A和一个多项式f，如果矩阵A满足f(A)=0，那么矩阵aA+b是否可逆？如果可逆，如何求它的逆矩阵？ 𐟓Œ 求逆矩阵的关键求一个矩阵M的逆矩阵，就是要找一个矩阵N，满足MN=E。因此，问题的关键在于将已知的矩阵方程转换为矩阵乘积等于单位矩阵的形式。 𐟓Œ 具体步骤由A^2-A-2E=0，得A(A-E)=2E，从而A-E可逆，且(A-E)^-1=2。同样，由A^2-A-2E=0，得A(A+2E)-3(A+2E)=-4E，即(A-3E)(A+2E)=-4E。这意味着(A-3E)(A+2E)=E，所以A+2E可逆，且(A+2E)^-1=4。 𐟓Œ 总结对于给定矩阵A，若存在多项式f(x)使得f(A)=0，且h(x)=ax+b，则当h(x)不整除f(x)时，h(A)可逆。根据欧几里得算法（带余除法），存在多项式q(x)使得f(x)=h(x)q(x)+c，其中c是非零常数。从而有0=h(A)q(A)+cE，即h(A)q(A)=-cE，这样h(A)的逆矩阵就是(-cE)的逆矩阵。 𐟓Œ 练习设A为n阶方阵，满足A^2+A=0，求(A+2E)^-1，并找出A的特征值。已知A^3=E，则(2A+E)^-1=？ 𐟓Œ 参考答案 1. (4A^2-2A+1)^-1=0,-1。 2. 2。

秩为1的矩阵在数学中的应用秩为1的矩阵在数学和工程中有多种应用。以下是几个基本的应用示例： 𐟔 秩为1矩阵的性质秩为1的矩阵A满足以下性质： r(A)=1，即矩阵A的秩为1。矩阵A的各行（或列）成比例。矩阵A的迹（trace）tr(A)等于某个常数k。 𐟒ᠦ𑂧Ÿ驘𕧚„逆如果矩阵A是秩为1的矩阵，那么A的逆矩阵A"可以通过以下公式计算：A"=k^2I，其中I是单位矩阵，k是矩阵A的迹。 𐟌€ 求特征值对于秩为1的矩阵A，其特征值可以通过以下公式求得：k，其中k是矩阵A的迹。 𐟔’ 判别矩阵是否可对角化如果矩阵A是秩为1的矩阵，那么当k≠0时，A可以对角化；否则，A不可对角化。 𐟔砥求实对称矩阵如果三阶实对称矩阵A的秩为2，且存在二重特征值𜌩‚㤹ˆ可以通过以下步骤反求矩阵A：计算特征向量’Œ€‚ 根据特征向量的正交性，求得特征值对应的特征向量。根据特征值和特征向量，构建矩阵A。这些应用示例展示了秩为1的矩阵在数学和工程中的重要性，通过这些方法可以大大简化计算。

2024年京都大学研究生数学试题详解 𐟓 数学系考生请回答1-6题；数理解析系考生请回答1-5题，并在6-7题中选择1题回答。考试时间为3小时30分钟。 𐟔 Problem 1: 求二重积分 ∫∫f(x, y)dxdy 其中D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, xⲠ+ yⲠ≤ 1} 𐟔 Problem 2: 设a是复数，A为三维复数矩阵 A = [a -1 0; 0 1 -a; 1 2a -2a] (1) 求A的全部特征值； (2) 求A的秩。 𐟔 Problem 3: 求二重积分 ∫∫f(x, y)dxdy 其中D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, xⲠ+ yⲠ≤ 1} 𐟔 Problem 4: 设a是复数，A为三维复数矩阵 A = [a -1 0; 0 1 -a; 1 2a -2a] (1) 求A的全部特征值； (2) 求A的秩。 𐟔 Problem 5: 数理解析系考生请回答此题求极限 lim(x→0) (sin x - x)/xⳣ€‚ 𐟔 Problem 6: 选择题设f(x) = xⳠ+ axⲠ+ bx + c，且f'(x) = xⲠ- 4x + 3，则f(x)的极值点为多少？ A. (0, c) B. (3, c) C. (1, c) D. (2, c) 𐟔 Problem 7: 选择题设A为三维实数矩阵，满足AⲠ= I（单位矩阵），|A| = -1，则A的特征值为多少？ A. Ⱪ B. ⱱ C. i 和 -i D. 1 和 -1