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确界定理最新视觉报道_确界定理的证明(2024年11月全程跟踪)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：热点更新日期：2024-11-28

确界定理

积分第一/第二中值定理的证明与理解 ### 积分第一中值定理 𐟓– 积分第一中值定理是这样的：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上都可积，并且f(x)在[a,b]上不变号，那么存在某个c∈[a,b]，使得∫f(x)g(x)dx=f(c)∫g(x)dx。这里的M和m分别表示f(x)在[a,b]上的上确界和下确界。特别地，如果f(x)在[a,b]上连续，那么根据闭区间上连续函数的中间值定理，存在某个c∈[a,b]，使得f(c)=∫f(x)dx。因此，积分第一中值定理的结论就变成了∫f(x)g(x)dx=f(c)∫g(x)dx。这个定理的几何意义也很直观：当f(x)≥0时，上式的左边表示由曲线y=f(x)和直线y=x围成的曲边梯形的面积，它等于以[a,b]为底，某条以f(x)为高的短形面积。积分第二中值定理 𐟓 积分第二中值定理则是这样的：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上可积，而g(x)在[a,b]上单调，那么存在某个c∈[a,b]，使得∫f(x)g(x)dx=f(c)∫g(x)dx。这个定理的证明过程稍微复杂一些，但基本思路是利用分部积分法和单调函数的性质。具体来说，记F(x)=∫f(t)dt，那么F(x)在[a,b]上连续，并且是f(x)在[a,b]上的一个原函数。利用分部积分法，我们可以得到∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)|a^b-∫F(x)g'(x)dx。由于g(x)在[a,b]上单调，因此g'(x)保持定号，从而存在某个c∈[a,b]，使得F(c)g'(c)=0。这样，我们就得到了∫f(x)g(x)dx=F(c)g'(c)=f(c)∫g(x)dx。特殊情况 𐟌𑊊当f(x)=1时，积分第一中值定理的结论就变成了∫g(x)dx=g(c)∫1dx，即∫g(x)dx=g(c)(b-a)。这个结论的几何意义也很直观：它表示以[a,b]为底，某条以g(x)为高的短形面积等于g(c)(b-a)。类似地，当f(x)=1时，积分第二中值定理的结论也变得很简单：∫1㗧(x)dx=1㗢ˆ맨x)dx=g(c)(b-a)。总结 𐟓 无论是积分第一中值定理还是第二中值定理，它们都是积分理论中的重要结论。通过这些定理，我们可以更方便地计算一些复杂的积分表达式，并且能够更好地理解积分与函数之间的关系。希望这篇文章能帮助你更好地理解这些定理！

山大数学考研大纲𐟔劥﹤𚎦‰“算报考数学硕士的同学们来说，考研大纲可是重中之重。有了大纲，才能明确备考方向，少走弯路。为了帮大家更好地了解山东理工大学的招考信息，我整理了他们的数学分析考研大纲，供大家参考。考试范围实数集与函数 𐟓 考试内容：确界、函数定义考试要求：理解确界概念、确界原理和函数定义；掌握确界及函数的简单运算。数列极限 𐟓ˆ 考试内容：数列极限、收敛数列性质、数列极限存在法则、柯西收敛准则考试要求：熟练掌握用定义验证简单数列极限的方法；掌握用单调有界法则、迫敛性定理及性质证明数列极限存在的方法；理解柯西收敛准则。函数极限 𐟓‰ 考试内容：函数极限定义、函数极限性质、归结原则（海涅定理）、柯西准则、两个重要极限、无穷小量考试要求：熟练掌握用定义验证简单函数极限的方法；掌握函数极限性质、归结原则及柯西准则；熟练掌握两个重要极限；理解无穷小量性质。函数的连续性 𐟔„ 考试内容：连续函数、闭区间上连续函数性质、一致连续考试要求：掌握函数连续性定义及性质；熟练掌握用定义验证简单函数在某区间上是一致连续或非一致连续的方法。导数与微分 𐟓 考试内容：导数定义、求导法则与求导公式、高阶导数、微分考试要求：掌握导数定义；掌握可导与连续的关系；熟练掌握求导法则及参数方程所确定函数的求导方法；掌握高阶导数的计算方法；理解微分概念。微分中值定理及其应用 𐟔犨€ƒ试内容：中值定理、不定式极限、泰勒公式考试要求：熟练掌握微分中值定理；熟练掌握洛必达法则；理解泰勒定理；熟练掌握函数单调性、极值和凹凸性的判别方法。实数的完备性 𐟔銨€ƒ试内容：区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理考试要求：掌握各定理及其简单应用。不定积分 ∫ 考试内容：不定积分基本积分公式及运算法则、积分法考试要求：熟练掌握换元、分部积分法；掌握某些可有理化函数的不定积分的求法。考研上岸确实不容易，尤其是在职或在校的同学，专业课想拿高分？复习全局难把握？经验贴踩雷无数，关键期错过提升，各种各样的备考问题是不是一大堆？靠自学，没有方法，没有动力，相信这是很多人的内心写照。希望这份大纲能帮到你们，有效备考，专属学习方案，一战上岸！𐟒ꀀ

北京邮电大学2023年数学分析考研题集 𐟓š 本专栏旨在帮助同学们复习备考，由于个人水平有限，可能存在一些不够严谨或错误的地方，欢迎大家批评指正，共同进步！ 𐟓 本套题目覆盖面广，难度适中，适合备考使用。以下是一些主要题型：极限计算与等价代换 𐟓 积分判别法证明级数收敛 𐟓ˆ 函数的幂级数展开 𐟓‘ 洛必达法则和Taylor定理 𐟓˜ 变上限积分求导 𐟓š 利用Green公式 𐟌🊨ᥩ⥐Ž利用Gauss公式 𐟌 含参量反常积分 𐟌€ 结合上确界的定义，构造递增数列 𐟓– 裴礼问1.2.10原题，忘了咋写了，当时没写出来 𐟘… 基础Lagrange中值定理 𐟓 常见多元可微性 𐟌 函数列的一致收敛问题，强化讲义原题 𐟓œ 一致连续的经典问题，华东师范课本原题 𐟓š 数列极限的经典问题 𐟓– 希望这些题目能帮助大家更好地备考！

数学分析：第二章数列极限详解 𐟓– 华东师大陈纪修 𐟗𚯸 课本上的定义与定理的思维导图 𐟓Œ 数列极限的定义给定一个数列 $\{ a_n \}$，如果存在一个实数 $a$，使得对于任意小的正数 $\epsilon$，都存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，$|a_n - a| < \epsilon$，那么我们就说数列 $\{ a_n \}$ 收敛于 $a$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$。 𐟓Œ 数列极限的性质 1️⃣ 唯一性：如果数列收敛，那么它的极限是唯一的。 2️⃣ 有界性：收敛数列必有界。 3️⃣ 保号性：如果数列收敛且极限不为零，那么原数列不改变符号。 4️⃣ 保不等式性：如果数列收敛且极限大于零，那么原数列的所有项都大于零。 5️⃣ 通有性：任何收敛数列的子数列也收敛。 𐟓Œ 判断数列是否存在极限的方法 1️⃣ 单调有界定理：单调且有界的数列一定收敛。 2️⃣ 致密性原理：任何有界数列都有收敛的子数列。 3️⃣ Cauchy收敛准则：对于任意小的正数 $\epsilon$，存在正整数 $N$，使得当 $m, n > N$ 时，$|a_m - a_n| < \epsilon$。 𐟓Œ 确界原理如果数列 $\{ a_n \}$ 有上界，那么它有上确界；如果数列有下界，那么它有下确界。 𐟓Œ 致密性原理任何有界数列都有收敛的子数列。 𐟓Œ Cauchy收敛准则对于任意小的正数 $\epsilon$，存在正整数 $N$，使得当 $m, n > N$ 时，$|a_m - a_n| < \epsilon$。

北京大学数学分析期中试卷及答案详解 𐟓š 这份试卷是北京大学数学分析2019-2020学年第一学期期中测试试题。虽然难度不小，但比2020-2021学年的数分-1期中试卷要简单一些。为了增加内容的可读性和提高自己的排版熟练度，我用LaTeX排版了所有答案，并重排了试卷。希望这些内容对大家有所帮助！ 𐟔 题目概览： 1️⃣ 题目属于计算题； 2️⃣ 题目涉及√a的牛顿迭代公式； 3️⃣ 题目需要联想闭区间上连续函数的最值定理，模仿其证明过程即可完成； 4️⃣ 题目第一问是计算题，第二问直观性很强。如果周期的下确界为0，那么从任意一点出发，都可以选用充分小的周期，把该点的值移动到任意一点上，使得f为常值函数； 5️⃣ 题目模仿其离散形式的证明即可； 6️⃣ 题目是迁移技术的典型应用。对于反例的构造，需要我们思考条件减弱以后第一问的证明哪一步不能通过，即使x', x''充分小，f(x')与f(x'')仍有很大的间隔，基于这个想法就可以构造反例。 𐟒ᠦ좨🎥䧥œ訯„论区指出我的错误或者讨论呀！

数学人的浪漫：考研路上的灵感碰撞 𐟒ኦ›𞧻在百度上看到一篇关于《人民的名义》的讨论，原帖提到《万历十五年》毁掉了一个有为青年和忠诚的干部。如果剧中吴惠芬老师不是教历史，而是教数学，可能情况会大不相同。这个想法让我突然想到，如果高数、线代、概率论这些近代数学大神们聚在一起，会碰撞出怎样的火花？于是，我创作了——《数学人的表白》。 𐟓š 育良书记： “在拉格朗日和傅里叶的旁侧，我凝视着凹凸函数般的脸庞。微分中藏着忧伤，积分里藏着希望，解不出的取值让我成为费马的猜想。” 𐟒Œ 高小凤： “感情已发散，情绪不收敛，大数定律在我心中荡漾。低阶的无穷，不一致的向量，那是皮亚诺传说中的余项。” 𐟚€ 祁厅长： “内心已成变量，求不出的极限，那是罗尔和柯西中值定理的疯狂。回忆已成间断，在心头来回振荡，如牛顿的长发飞扬。” 𐟎𖠩똥𐏧𔯼š “狄利克雷，切比雪夫，会同伯努利一同仰望莱布尼茨的塑像。拉贝、泰勒，无穷小量，是长廊里麦克劳林的轻轻吟唱。” 𐟌 众人合： “欧拉的公式，高斯的素数，确定性与不确定性，那是黎曼的惆怅。克莱门的法则，范德蒙德的行列式，让贝叶斯和泊松携手开始远航。打破的确界，请来到我的身旁，温柔将抹去阿尔贝之殇。” 这段文字不仅是对数学的深情告白，也是对考研路上艰辛与希望的寄托。希望这些文字能激励正在为数学考研奋斗的你们，继续前行！

老师布置的一道题老师说仿照下面这题的解题思路，解上面那道题。但我发现下面那道题证明f(supA ）=supA套不到镇楼题上，还是我方法不对？而且我感觉下面这道题答案的解法不具有通用性。对了，镇楼的那道题𑞤𚎰~1。顶

求助大佬解答这里证明是规范小数有什么用

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