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函数内积最新视觉报道_函数内积的定义(2024年12月全程跟踪)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：热点更新日期：2024-11-30

函数内积

C++程序员必备9大常用库 C++不仅仅只有STL标准模板库，还有许多其他强大的库可以帮助你更高效地编程。让我们一起来看看这些库吧！ STL (Standard Template Library) 𐟓š STL提供了大量的容器类型和算法函数。比如vector、queue、stack、map、set等，这些容器用于存储数据，让你的代码更加整洁和高效。 Boost库 𐟚€ Boost是一个广泛使用的C++库集合，提供了许多高级功能。智能指针（如shared_ptr）、日期时间、正则表达式、多线程等都在其中。Boost库还提供了跨平台的网络编程支持，比如Boost.Asio。 Qt库 𐟖寸 Qt是一个跨平台的C++图形用户界面应用程序开发框架。它提供了丰富的控件和布局管理功能，以及网络通信、文件操作等拓展功能。 OpenCV库 𐟓𘊏penCV是一个开源计算机视觉库，提供了一系列视觉算法和工具。包括图像处理、计算机视觉、机器学习等功能。 Poco库 𐟌 Poco是一个跨平台的C++库，提供了丰富的功能，包括网络、XML、数据库、加密等。 Eigen库 𐟔슅igen是一个C++模板库，提供了高效的矩阵和线性代数运算。常用于科学计算、机器学习等领域。 SQLite 𐟒𞊓QLite是一个轻量级的关系型数据库引擎，常作为嵌入式数据库使用。日志库 𐟓‹ 日志库用于记录程序运行过程中的信息，帮助开发者调试和跟踪程序的启动。其他标准库 𐟓‘ ：数值处理库，包含一些数值累加、内积、数值转换等函数。：内存管理库，包含智能指针类型。：迭代器库，包含各种迭代器如正向迭代器、双向迭代器、随机访问迭代器等。：时间日期库，包含获取日期和时间的相关函数。：通用工具库，包含一些通用工具如随机数生成、环境变量处理、标准输入输出以及其他杂项工具。：位集合库，用于存放和操作一组固定长度的位模式。：数学库，包含各数学处理函数，如三角函数、指数函数、对数函数等。：字符串操作库，包含字符串复制、连接、查找、替换等功能。这些库不仅可以帮助你更高效地编程，还能让你的代码更加健壮和可靠。快来试试吧！

B站上睡前刷到一个UP讲傅里叶. 闲的又看了一眼..... 上学时候完全搞不明白. 之前看了好多up的科普.觉得已经凑合搞懂了. 但还顺不下来. 结果这个up上来就说相关性.说点乘当时就觉得好像什么东西瞬间通了,就赶紧去翻点乘的几何意义. 原来点乘出来那个数,就能表示相似性.... 感觉这回仿佛彻底被讲通了. 等于公式就是拿那个时域的函数,去和虚座标上"用像极座标那样表示法rⷥ^(ix)"表示的一个个不同相位的标准正弦函数去求内积...... 内积越大,相关性(相似性)越大..... 草,之前觉得这公式乱七八糟的,现在看懂,突然就觉得眉清目秀了.原来是讲了这么简单一件事. 原来归根结底是用了内积能表示相似性这点.... 太MT天才了.

李六复盘：国庆最后一天的高效总结国庆最后一天，我终于把李六给搞定了！虽然昨天有点不舒服，但今天就来给大家复盘一下这套卷子吧。整体难度嘛，感觉还行，不算特别难，但也绝对不简单。图像问题 𐟓Š 第二题，画个-x的图像都不会了，真是傻到家了。这种基础题都不该错，哎，真是失策。替换法 𐟔„ 第四题，其实可以把y用题目给的式子替换掉，这样题目就变得很简单了。不过我当时是用最傻的办法，带着根号慢慢求，虽然能求出来，但速度慢了不少。第二个方法可能用到韦达定理，不过前面的思想方法还是值得学习的。求导问题 𐟓ˆ 第十三题，求导又求错了，真是让人无语。这种基础题都不该错，真是需要好好反思。简单计算 𐟧쬥四题，422=16，这个题目真是简单到爆，居然还错了，真是不好意思。定积分几何应用 𐟌 第十五题，定积分几何应用是李六的一大押题点，这道题相对简单，直角坐标下dy和dx的转换，基本没什么难度。线性变换 𐟧銧쬥六题，回想2020年用配方法的那道大题，可逆线性变换是合同变换，合同变换不改变矩阵的秩。在处理二次型时，回想2013年那道证明题，两向量的内积可以用两种形式写出来，就可以写成二次型的形式。根号问题 𐟌 第十七题，处理根号n次方，可以先对整个根号进行夹逼，这个方法还是挺有用的。二元函数求极值 𐟏”️ 第十八题，二元函数求极值，不要漏解，求出驻点后用充分条件判定，这个方法还是挺靠谱的。定积分物理应用 𐟌 第十九题，定积分物理应用，虽然有点难度，但还算可以处理。被积函数变换 𐟔„ 第二十题，可以把被积函数变成xy，这样题目就变得简单多了。积分关系 𐟓‰ 第二十一题，得到Sn后，是上限为无穷的一个积分，通过分部积分可以得到Sn与S(n+1)的关系，这个方法还是挺有用的。二次型问题 𐟧銧쬤𚌥二题，二次型等于零的解的问题，可以写出二次型，用配方法；这道题也可以用同解，证明也很精彩。总的来说，这套卷子还是有很多值得学习的地方，虽然有些地方错了，但通过复盘，我相信自己能更好地掌握这些知识点。加油吧！

物理竞赛必备计算器使用指南 𐟓ˆ 在物理、化学和生物竞赛中，使用计算器是允许的，尤其是物理竞赛，计算量非常大。如果你不是纯手算高手，建议还是学会使用计算器的基本功能。以下是一些实用的建议： 𐟓š 了解计算器功能：像fx-991CNC这样的计算器，不仅具备基本的计算功能，还有复数、矩阵、向量、统计等高级功能。特别是对于物理竞赛中的复杂计算，这些功能非常有用。 𐟒ᠦŽŒ握基本操作：学习如何使用计算器的各种功能，包括复数计算、矩阵运算、向量内积等。这些操作在物理竞赛中非常常见，掌握它们可以大大提高你的解题效率。 𐟓ˆ 利用表格和函数：计算器还可以用来绘制表格和函数图像，这对于解决物理问题非常有帮助。比如，你可以通过表格来查找某些物理量的值，或者通过函数图像来分析物理现象。 𐟔 实践练习：多做一些练习题，熟悉计算器的使用。可以通过一些专门的物理竞赛辅导书籍或者在线资源来找到这些练习题。 𐟒ꠥ➥𜺧Ÿ娯†储备：除了计算器的使用，还需要加强物理知识的学习。只有掌握了扎实的物理知识，才能在竞赛中更好地运用计算器解决问题。总之，掌握计算器的使用对于物理竞赛来说非常重要。希望这些建议能帮助你在物理竞赛中取得好成绩！

线性代数学习心得：从错误中发现真理我的线性代数基础并不扎实，从我更新频率就可以看出，这本书我看了很久。当然，期间我也看了很多其他书，哈哈哈。我认真读了前七章的每一个定理，大致看了看第十章，第八章和第九章打算先放一放，因为这本书的英文第四版对这些部分进行了大改，我打算先看第四版的这些部分。我发现了一个作者的错误，在第六章的内积空间中，理论上的所有结果都是建立在有限维向量空间上的，但是对于例子6.58，研究的空间是Cr:实值连续函数构成的实内积空间，这显然不是一个有限维向量空间。相当于作者为了说明一个弱定理的强大偷偷用了它的强大版本，有点可爱。我还想到了一个利用线性映射基本定理和正交补证明行秩等于列秩的方法，虽然没有书上的方法那么优雅，但也很有成就感。个人认为证明行秩等于列秩的最好方法是MIT教授Strang讲的CR分解，通过一个算法以及看矩阵乘法的不同方式，直接就证明了，非常优雅。其实本科学线性代数最困扰我的问题是矩阵的左逆为什么等于右逆。如果用矩阵乘法的定义，一堆数乘起来虽然也能证，但是难免不优雅。用这本书上的结论，那就轻松多了。v到v的线性映射可逆等价于单性或满性（线性映射基本定理告诉我们，v到v的线性映射单性等价于满性，所以这里可以用或，其实两个东西如果有一个都会有）。那可逆后，一组基vi其实就是映射到了另一组基si然后乘以左逆就是再逆回最开始的基vi。所以如果先用si乘左逆，那么是vi，根据前面的定义，乘以原矩阵（映射），vi又会被映回si，si又是一组基，所以就是很显然的结论了。但是要真正说明这一点，绕不开可逆的条件。在传统教科书中，可逆用行列式来刻画，并且后期需要用行列式把复数矩阵的特征值等价于行列式等于0这个方程的根，然后用代数基本定理证明。但本书中是直接深入研究了线性映射，给出了线性映射基本定理，把可逆性用这个定理刻画的清清楚楚了，就不需要行列式来研究线性映射可逆性进而不需要它研究特征值特征向量。这样行文下，可以最后定义行列式，而且压根不需要什么逆序数，拿特征值定义就行了，非常优雅。其实行列式是被大家讨厌，是因为行列式被'玩坏'了，本来用来搭建理论体系的脚手架，非要用来技巧题，让大家把线性代数的印象集中在对着一个表算来算去，很不好。行列式其实性质很好，很轻易就能得到线性映射的可逆的充分必要条件，行列式的值与基的选择无关，所以其实在研究本质的线性算子，而不是那个和基的选择相关的矩阵。行列式还有克莱默法则解方程的优雅表示，非常好的几何意义。

如何平衡学习、工作与家庭？今天的学习日程安排得满满当当。早上，我投入了3小时的学习，从导数、微分到向量、行列式、矩阵、积分、极点、鞍点、范数、内积、定数、凸集、最优解、拉格朗日函数……仿佛是把大学所有科目的数学知识点都回顾了一遍，沉寂了20多年的知识如同被唤醒的狮子。𐟦 下午，我转战科技论文写作课程，老师用中英文夹杂的方式讲解，对照摘要和简介的范例，分析了常见的语法、时态和语态错误。𐟓 在这期间，我切换到公司，检查了一位加班同事的作业，并询问了另一位同事的进展和效果。𐟑颀𐟒𜊊同时，我一边听西交大学报的讲座，一边记录新知识：如何选择目标发表期刊，以及发表论文的注意事项和逻辑顺序。𐟓š 老师总结了知识点，并要求学生结对子，互相批改点评作业，还布置了限期作业。𐟓 之后，我与另一位同事进行了简短的沟通，坚定了我的一个想法，并减轻了惶恐。𐟑颀𐟒𜊊最后，我联系了一位朋友，准备启动新的篇章。𐟓 结束了一天的学习和工作，我赶去与儿子汇合，他上课，我准备放松一下，看看自己喜欢的书，做做读书摘录。𐟓– 想想自己奔五年纪，一边读博，一边工作，一边照顾读高三的孩子，一直在努力再努力，虽然辛苦，但难免顾此失彼。𐟑颀𐟎“ 到底如何平衡学习、工作和家庭呢？你认为成功的女人应该如何定义？你认识的成功女人有哪些特征？你最佩服她哪一方面？𐟤”𐟒က

久违的清华卷终于了！作为高中数学非常具有开拓意义的试卷，清华卷一直备受推崇。2024年10月测试！单选题没什么难度，只要细心问题不大。多选题第11题很有挑战意义，关键在于转化平方和，内积以及和的意义，而D选项这的很困难，最后还是使用椭圆搞定。填空题也还行，尽管第14题出现了双绝对值函数，但是不要被吓到，实际分段还是很容的！大题就不做评述，一起来做题吧。

欧式空间笔记（二）：对偶基与二次型最近在复习欧式空间，发现对偶基竟然也是考试的重点！之前看绿皮书的时候，先是讲了二次型，然后再讲欧式空间，感觉有点颠倒。其实，二次型只是欧式空间的一种特殊情况。先把特征值、特征向量和对角化的问题搞熟了，再回头看二次型，会轻松不少。所以，我最近计划多练习一下特征值、特征向量和对角化的问题。高等代数的基础知识基本已经结束了，接下来就是各种应用和拓展了。对偶基的证明 𐟓 设$e_1, e_2, \ldots, e_n$是标准正交基，$a, b \in V$。我们需要证明$a, b$在$e_1, e_2, \ldots, e_n$下的坐标分别为$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$和$(y_1, y_2, \ldots, y_n)$。首先，验证一下内积的性质： $a \cdot b = \sum_{i=1}^{n} x_i e_i \cdot \sum_{j=1}^{n} y_j e_j = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i$这里用到了标准正交基的性质，即$e_i \cdot e_j = \delta_{ij}$（克罗内克函数）。对角化与镜面反射 𐟪ž 在欧式空间中，还有一个重要的概念是镜面反射。给定单位向量$u$，我们可以找到一个镜面反射变换$T$，使得$T(a) = a - 2(a \cdot u)u$。这个变换在几何上就是将向量$a$反射到与$u$垂直的平面上。例如，考虑单位向量$u = (1, 0)$，那么镜面反射变换就是： $T(a) = a - 2(a \cdot (1, 0))(1, 0) = (a_1 - 2a_1, a_2)$这里用到了向量的内积和投影的计算。对偶基的更多性质 𐟓š 对偶基还有一个重要的性质是：如果$V$是维欧式空间，那么存在一个镜面反射变换$T$，使得$T(a) = b$。这个性质在证明一些几何问题时非常有用。总之，对偶基和二次型在欧式空间中有着重要的应用。通过深入理解这些概念，我们可以更好地掌握欧式空间的各种性质和变换。希望这些笔记能对你有所帮助！

1840年，法国一个18岁学生，连续四次高考都没及格，十足的学渣。但谁能想到，仅用3年，他竟然逆袭成了世界级数学家，比肩拉格朗日。他甚至被尊为法国数学界的传奇人物，誉为“第二个伽罗瓦”。他横跨N个数学领域，几何学、数学分析、高等代数、微分方程和复变函数论等。只要是数学，就没有他不会的！他更是凭一己之力破解了一个世纪难题——超越数e。就连庞加莱、哈达玛和达布这些数学大神，都敬他如师。他就是大名鼎鼎的数学大师埃尔米特，一个从学渣逆袭执掌天下的传奇宗师。埃尔米特出生于1822年的法国，从小就很惨，天生右腿残疾，这让他一生都得拄着手杖，像个总是需要拐点的数学函数。有人说，上天给你关上一扇门，就一定会为你打开一扇窗。但偏偏的，埃尔米特人生的门和窗都被焊得死死的——这个天生残疾的小朋友，竟然还是个学渣，18岁才勉强从中学毕业，老爹硬生生靠“钞能力”给他砸进了著名的路易大帝学院预科班。这所学院老牛B了，抽象代数鼻祖伽罗瓦就是从这儿毕业的。而埃尔米特的运气也非常好，居然跟伽罗瓦师从同一个名师理查德，正儿八经伽罗瓦的小师弟。但问题是，你见过哪个小师弟是勤奋上进的主儿？埃尔米特也不例外，这货根本不去准备大学考试，而是热衷于阅读各种书籍。他读的书还贼高大上，比如拉格朗日的《代数方程的代数解法》，又比如的《算术研究》。尤其是高斯的这本神作，无论当时还是现在，都只有极少数人能够真正看懂这部著作。偏偏的，年仅18岁的埃尔米特看懂了，而且还自学精通了高深的代数，此时的埃尔米特数学已经无敌了，以至于教授都称赞他是“下一个拉格朗日”。但问题是，他依然学学渣，连续四次高考未能及格，好不容易第五次勉强考上。这一年，埃尔米特已经20岁了—— 20岁，对一个大一学生来说，有点大；但20岁，对一个数学家来说，就很牛B了！这一年，大一学生埃尔米特，迎来了自己的高光时刻，居然一鸣惊人的在法国的权威学术刊物上，连续发表了两篇重量级论文，一篇是关予圆锥曲线的解析几何，第二篇则是题为《对五次方程代数解法》的论文。这第二篇论文虽然只有6页半的内容，但却在数学界惊起滔天波澜，无数数学大佬都为之侧目，称他是“第二个伽罗瓦”。因为在这篇论文中，埃尔米特以一己之力，利用椭圆函数首次解决了5次方程的求解问题，开创了代数的先河。可惜的是，数学大神鲁菲尼和阿贝尔在之前已经证明了这一点，埃尔米特亏就亏在生得太晚了。即便如此，埃尔米特在数学界照样闯出了名声，甚至被数学大佬贝特朗和亚历山大青睐，就连著名数学家达布都称赞说“此时的埃尔米特已是世界一流的数学家了！” 既然已经一流，自然要惊天动地—— 1873年，埃尔米特再次出手，狂傲的破解了一个世纪难题，即超越数。早在之前数学家刘维尔就证明了超越数的存在，即不是代数数的数。只不过，刘维尔无法找到哪怕一个天然的超越数，只能无奈的去构造了一个数，大概长这样L = 0.1100010000000000000000010…… 这个数，一看就没什么意义，但这已经是刘维尔的极限了。继他之后，再也无人能够找到和证明超越数。直到1873年，埃尔米特横空出世，他发明了一种巧妙的技术，来证明自然对数的底e是超越数。这是第一个非人为设计的超越数，而且e这个数本身就是神圣之数，在数学上的意义远不是刘维尔的L数可比的，埃尔米特一战封神。直到今天，我们几乎能在每个数学领域，都看到埃尔米特的名字，比如埃尔米特簇、埃尔米特定理、埃尔米特张量、埃尔米特空间、埃尔米特矩阵、埃尔米特插值、埃尔米特曲线、埃尔米特内积、埃尔米特变换、埃尔米特算子、埃尔米特函数、埃尔米特恒等式等，就是这么强！

2025年考研数学大纲最新变化解析嘿，准备考研的小伙伴们，你们是不是也在关注今年的数学大纲有啥新变化？别急，我来给你们捋一捋。数二大纲基本不变 𐟓š 首先，数二的大纲基本上没啥大变化。高数部分还是那些老知识点，线代和概率论也还是那些内容。不过，概率论里有个小变动，把“掌握用事件独立性进行概率计算的方法”改成了“掌握用事件独立性进行概率计算”。虽然看起来不起眼，但大家还是要留意一下哦。高数部分 𐟓– 函数、极限、连续：这部分内容基本上还是那些经典的考点，像函数的单调性、周期性、奇偶性，还有函数关系的建立等等。极限的概念和性质也是重中之重。一元函数微分学：导数和微分的基础知识还是要掌握的，比如导数的几何意义、函数的可导性与连续性的关系。还有高阶导数、洛必达法则这些高级一点的技巧也要熟悉。一元函数积分学：不定积分和定积分的基本公式、性质和计算方法还是要牢记的。特别是定积分的几何意义和物理应用，像平面图形的面积、旋转体的体积这些都要会算。多元函数微积分学：这部分内容相对复杂一些，但也不必太紧张。多元函数的偏导数、全微分，还有多元函数的极值和条件极值这些都要掌握。特别是二重积分的计算方法和应用，像计算曲面的面积、旋转体的体积这些都要会做。常微分方程：这部分内容虽然有点繁琐，但也不难。像变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程这些基础题型还是要掌握的。特别是二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程的解法，还有一些简单的应用问题也要会解决。线代部分 𐟧ጥˆ—式：行列式的概念和性质还是要牢记的，特别是行列式按行（列）展开定理的应用。矩阵：矩阵的概念、线性运算、乘法、转置这些基础知识还是要掌握的。特别是矩阵的逆、伴随矩阵、初等变换这些高级一点的技巧也要熟悉。向量：向量的概念、线性组合与线性表示还是要牢记的。特别是向量的内积、正交规范化方法这些高级一点的技巧也要掌握。线性方程组：克拉默法则还是要会的，还有齐次和非齐次线性方程组的解法也要熟悉。特别是用初等行变换求解线性方程组的方法。矩阵的特征值与特征向量：矩阵的特征值和特征向量的概念、性质还是要掌握的。特别是相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件也要熟悉。二次型：二次型及其矩阵表示还是要牢记的，特别是合同变换与合同矩阵的概念、二次型的标准形和规范形也要掌握。还有用正交变换和配方法化二次型为标准形的方法也要熟悉。小结 𐟓 总的来说，今年的数学大纲变化不大，但还是有些细节需要注意。大家还是要按照自己的计划好好复习，争取在考试中取得好成绩！加油吧！𐟒ꀀ