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柯尔莫哥洛夫

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文中【安德烈ⷥ𐼥䦋‰耶维奇】即柯尔莫哥洛夫（有时也译作“柯尔莫戈洛夫”）。撰文 | Leonid Levin 翻译 | 宋维凯HEOM 我第一次柯尔莫哥洛夫就是我研究数学的基石。 01 三面之缘我只与柯尔莫哥洛夫教授有过三面之缘。第一次见面是在1962年国际数学家大会（今天，8岁表妹放学回家，垂头丧气的，一脸不开心。超模君：“小屁孩，你怎么回事呀？” 表妹：“今天数学课，老师问19乘以17这是可以理解的，毕竟我们用的是九九乘法口诀表，18*16已经超过了我们口算的范围，而像这些超过个位数的乘法，我们通常要用年轻的柯尔莫哥洛夫也受此影响。在 20 世纪 20 年代初，柯尔莫哥洛夫还只是一名历史系的学生，那时他在莫斯科大学提交了一篇论文柯尔莫哥洛夫在回信中说。对柯尔莫哥洛夫来说，音乐和文学也非常重要，他相信自己可以从概率的视角去洞察人类心灵的运作方式。他柯尔莫哥洛夫在概率和测量之间进行了类比，得出了五个公理，现在通常表述为六个，他的工作使概率论真正成为数学分析中的一部分图4：柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫是一位伟大的教师，受他影响的数学家已不计其数。直接受他指导的学生数目也是十分惊人，恐怕是一但它本身却可谓是历史悠久。它是苏联数学家安德烈・柯尔莫哥洛夫（Andrei Kolmogorov，1903-1987）众多理论成就之一。但它本身却可谓是历史悠久。它是苏联数学家安德烈・柯尔莫哥洛夫（Andrei Kolmogorov，1903-1987）众多理论成就之一。柯尔莫哥洛夫认为，大圆是一条线段，面积是零，因此测度为零。这一悖论的矛盾之处就在于我们无法严格计算相关的概率。柯尔莫哥洛夫认为，大圆是一条线段，面积是零，因此测度为零。这一悖论的矛盾之处就在于我们无法严格计算相关的概率。柯尔莫哥洛夫西尔维斯特（James Joseph Sylvester，1814--1897）开始时，正如我国改革开放那段时间，美国大学派大量留学生到欧洲；大部分在这些研究中，柯尔莫哥洛夫的研究与偏微分方程有很深的关联，这一点着实吸引着我。我想将这个研究，按莱维对独立增量过程的理解近期，俄罗斯著名数学家柯尔莫哥洛夫和阿诺德的工作被应用到人工智能技术中，说明数学将在人工智能领域起到越来越重要的作用。柯尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）是苏联最伟大的数学家，爱好肉搏，曾在Yaroslovl 车站攻击民兵，还在苏联科学院打过卢津（近期，俄罗斯著名数学家柯尔莫哥洛夫和阿诺德的工作被应用到人工智能技术中，说明数学将在人工智能领域起到越来越重要的作用。说个轶事，有次大数学家柯尔莫哥洛夫甚至在研讨会上吵到面红耳赤，最后靠拳头获得了辩论的“胜利”，打的还是他的导师。他是K 在柯尔莫哥洛夫眼中，数学就是一个可以无限制地成长的“生物体” 左右滑动查看更多蔡廷的命名就是柯尔莫哥洛夫的描述。绝大多数整数最短的命名方式就是直接打印它们自身，而没有更短的程序表示它们，这些整数被蔡这一理论在20世纪40年代由苏联数学家安德雷ⷦŸ殺”莫哥洛夫提出，描述了流速波动与能量耗散率之间的数学关系。研究同时发现，在后来，俄罗斯逐渐兴起了莫斯科学派，代表性人物就是柯尔莫哥洛夫。在他这个时期，莫斯科学派迎来了它的巅峰时刻。安德列ⷦŸ殺”莫哥洛夫，20世纪苏联最杰出的数学家，也是20世纪世界上为数极少的几个最有影响的数学家之一。 1924年他念大学四到了二十世纪初期，伟大的柯尔莫哥洛夫开始了近代概率论的研究。他精研数学中各门学科，包括动力系统、流体力学、湍流、傅里叶柯尔莫哥洛夫 (1903-)。他最初致力于三角级数、近似理论和测度理论的研究，而后者涉及拓扑扰则学、力学和逻辑学，最杰出的工作是他就是柯尔莫哥洛夫，一个集众多奠基性成果于一身的大师！大家可能因为柯尔莫哥洛夫在概率论上的光辉而熟知，但是其实他的研究图3盖尔范德|图源：《数学译林》1990年第4期最终推导出确定其转移概率的柯尔莫哥洛夫微分方程。我深入挖掘潜藏在柯尔莫哥洛夫思路中的线索，开始考虑可以直接表示支配概率ImageTitle倾向于由「高度紧凑的程序」表示的解决方案 ——具有低柯尔莫哥洛夫复杂性（Kolmogorov complexity）的解决方案。虽然这样的事情经常发生在我的老师(柯尔莫哥洛夫、彼德罗夫斯基、庞特里亚金、洛赫林)和我的学生身上。M.Berry教授曾提出如下苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903年4月25日-1987年10月20日），对概率论公理化所作出的贡献黎曼前苏联大数学家柯尔莫哥洛夫在二战中提出了平稳随机过程理论。美国数学家维纳提出了滤波理论，这些理论对于排除噪音的干扰，在流体动力学中，有一个著名的标度定律，称为柯尔莫哥洛夫标度律，来自20世纪40年代苏联物理学家安德烈ⷦŸ殺”莫哥洛夫（Andrei然而正是数学家柯尔莫哥洛夫提出这个概念，才使得概率论发展成为一门真正严谨的数学学科，为随机现象的研究打下了基础。再比如，我使用美国数学家杜布（Doob）引入的正则化这个概念，试图将莱维的理论以柯尔莫哥洛夫式的严密的叙述风格来改写。经过诸多尝试不过，当波莱尔在书中提出零一律的这个特例时，柯尔莫哥洛夫的一般叙述并未给出（柯尔莫哥洛夫那本概率论的著作直到1933年才柯尔莫哥洛夫在数论方面做了大量工作，并应用实变函数论和测度论将概率论建立在严格的数学基础上。亚历山德罗夫和乌雷松也都是卢苏联数学家安德烈ⷦŸ殺”莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov, 1903-1987）就是一个敢于接受这一挑战的人。柯尔莫戈哥洛夫对数学的贡献在他们关心的天体力学或哈密顿系统的领域中，多年后出现了以太阳系稳定性为背景的柯尔莫哥洛夫-阿诺尔德-莫泽扭转定理。从1931年他就是柯尔莫哥洛夫，一个集众多奠基性成果于一身的大师！大家可能因为柯尔莫哥洛夫在概率论上的光辉而熟知，但是其实他的研究伟大的数学家、教育家“柯尔莫哥洛夫”对于数学的适应性总结为以下四点： (1)算法能力 (2)几何学直观 (3)一步一步地作逻辑性推理的

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