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秩1矩阵最新视觉报道_秩1矩阵的性质(2024年12月全程跟踪)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：热点更新日期：2024-12-03

秩1矩阵

今年线代题，超二线大方向！嘿，大家好！今天咱们来聊聊今年数学一卷的线代选择题。相信很多小伙伴都感觉到了，今年的题目真的是有点不按套路出牌啊！特别是超越二线的部分，简直是个大方向。下面我就来给大家详细分析一下。方程组解的结构 𐟧銩斥…ˆ，咱们得提提方程组解的结构。题目中给了你一个Ax=0的方程组，让你求通解和b的特解。这个部分其实不难，但关键是要搞清楚通解和特解的区别。通解是所有可能的解，而特解只是其中一个具体的解。秩为3的矩阵 𐟓˜ 接下来，题目提到了A的秩为3，这意味着A的秩等于向量个数减1。这个知识点其实是在考察你对方程组解结构的理解。同时，还延续了秩1矩阵的考点，真是双重考验啊！特征值和秩1矩阵 𐟌 然后，题目又提到了特解和b对应成比例的情况。这时候你需要提取出特征值。由于A是秩1矩阵，它的特征值只有一个迹和两个0。这个部分其实是在考察你对秩1矩阵性质的理解，特别是特征值的计算。合同矩阵和惯性指数 𐟓‰ 最后，题目还提到了A+E合同只是考察了惯性指数。这里其实还可以深化一下难度，比如考察一下A+E的特征值和特征向量。不过，总的来说，这道题并不难，但如果ABCD选项变化成变换过的矩阵，那就另当别论了。总结 𐟓 总的来说，今年的线代选择题确实有点挑战性，但也不至于让人抓狂。关键是要搞清楚每个知识点的内在联系，这样才能更好地应对各种变化。希望这些分析能帮到大家，祝大家考试顺利！踩一捧一：我觉得超越的线代真是薄纱𐟐™八#数一

25张宇八套卷（四）心得与复盘整张试卷下来，感觉就是两个字：离谱！这出的题简直不像考研的水平，更像是黔驴技穷了。前三套题还勉强能用他的结论来应付，但这套卷子开始堆砌计算了。选择填空 1️⃣ 第一题，1对2对，直接选C。这里用脱帽法还是挺经典的。 2️⃣ 第二题，格林公式。 3️⃣ 第三题，这个题目说an条件收敛，12必发散，直接选D。答案搞得太没含金量了，最精彩的放缩都没用。 4️⃣ 第四题，真是懵逼了。求k的取值范围还好，这个换元要是没做过这题你就想吧。倒代换倒是也有这思路，你要是能一下子想出来然后很快反应过来他的系数对称是为什么，那就太牛了。 5️⃣ 第五题，直接说这个题是**题。我用A-E发现他是秩为一矩阵，还看了半天。我说这个n充分大用不了秩1矩阵的性质啊，真看了半天，只能对角化硬算。判定为没有任何技巧单纯难为人的题。 6️⃣ 第六题，张宇真是黔驴技穷了。三向量正交化一直是灰色地带，就是大纲没说不能考察，他就水灵灵的拿出来了。但是硬算一样算，这就是这张试卷恶心人的点，让你跟高手之间差的不是实实在在的智商，而是一些考研老师没强调的东西。 7️⃣ 第七题，真是对二次型的最值情有独钟。一共四张试卷，出了三个了。其实他一直出一直强调的是，二次型最值跟特征值关系并不大，而是看条件给的约束条件。 8️⃣ 第八、九、十题，没有任何技巧，傻算。填空题填空像进了天堂。大题 1️⃣ 第十七题，拉格朗日乘数法。记住拉格朗日乘数法计算的主要目的是寻找最大公因式。 2️⃣ 第十八题，只能说能一下子就想到答案上的函数拉格朗日和第二问这样放缩的，都是天才。反正我没反应过来，这个放缩而且要取绝对值反过来，太牛了这思路。 3️⃣ 第十九题，这题没别的招。你想用单调有界，就要反证。你直接说明很难。第二问，这个题很明显就是分母是一次就发散，高次就收敛，然后0在定义域不能直接取1/x。 4️⃣ 第二十题，线面积分要是出这么简单的，我做梦都笑醒。梯度无旋，旋度无散是关键。 5️⃣ 第二十一题，哪抄的题？最后我忘了流量必须是正的了，没求范围，第二问直接懵逼了。 6️⃣ 第二十二题，只能说卷积公式才是秘密武器。这雅可比行列式我看着就头疼。总的来说，这张试卷真是让人又爱又恨。希望下次能有个更正常的卷子吧。

𐟓š24余丙森5套卷④复盘：难度跳跃挑战𐟓ˆ 这套试卷的难度真是忽高忽低，一会儿让我觉得有书读，一会儿又让我觉得没书读，真是让人捉摸不透啊𐟘“。 T5：矩阵行/列秩判断这道题真是让我又爱又恨。矩阵的行变换和列秩关系明明很简单，但我就是做错了。先别急着切腹自尽，咱们来理清楚。AC＝B，C作行变换得到B，列秩相同，B列无关C列肯定无关（行变换对列秩无影响）。记住这个结论，下次就不会再错了！ T10：相关系数计算这道题用常规方法求解也没啥问题，但有更简单的办法。公式法虽然麻烦，但可以避免复杂的计算。简法就是：避免复杂求EXY，DXDY肯定有根号2，EXY＜EXEY＝3/2，结合＜0和含有根号2选C。是不是简单多了？ T12：高阶导数这道题真是粗心大意的代价。本来是裂项分为3/(x+1)-2/(x-1)，级数为1/(1-x)，但我没去掉负号，结果就错了。下次做题一定要仔细！ T17：求体积问题这道题卡了我一会儿。y关于x的函数不好提取出来，交换坐标x看作y，y看作x计算二重积分就好了（交换积分次序）。这个方法真是救命稻草，不然我真不知道该怎么做。 T18：讨论交错级数收敛性问题这道题有点复杂，主要是要讨论是条件收敛还是绝对收敛。别被吓到，一步步来，总能找到解决办法。 T22：条件密度函数+联合概率密度这道题真是让我在草稿纸上求条件概率密度求错了。判定的不独立，结果就错了。下次做题一定要多检查几遍。总的来说，这套试卷虽然难度跳跃，但也让我学到了不少东西。下次一定要更加细心，争取更好的成绩！加油！𐟒ꀀ

全国大学生线性代数期末考试试卷解析 𐟓 选择题（每题3分，共15分） 1. 设A, B为n阶可逆方阵，则下列等式恒成立的是（D） A. (AB) = A-1B-1 B. (AB) = A*B* C. (AB)-1 = B-1A-1 D. (A+B) = B* + A* 2. 设A为m㗮型矩阵，则下列命题中正确的是（D） A. 若R(A)=m, 则A可逆 B. 若R(A)=n, 则A可逆 C. 若A行满秩, 则A可逆 D. 若A满秩, 则A可逆 3. 设A, B为n阶方阵，则下列命题中正确的是（D） A. R(A)-R(B) ≤ R(A-B) B. R(A)+R(B) ≤ R(A+B) C. R(A)R(B) ≤ R(AB) D. R(A, B) ≤ R(A)R(B) 4. 设向量组 a, a… am (m≥2)线性无关，B, B2…,B为与a, a2… 同维的向量组。下列命题正确的是（D） A. 若m=n，则1, B2… Bn与a1, a2, …, am等价 B. 若B1, B2, …, B可由a, a2…, am线性表示，则n≤m C. 若a1, a2, … am可由B1, B2, …, B线性表示，则m≤n D. 若B1, B2… Bn线性无关，则B1B2…, B与a1, a2, …, am等价 5. 设A为n阶对称矩阵(n≥2)。下列命题正确的是（C） A. A有n个不同的特征值 B. A的任意n个不同的特征向量均互相正交 C. A的任意两个不同特征值下的特征向量一定互相正交 D. A的任意两个互相正交的特征向量一定属于不同的特征值 𐟓 填空题（每题3分，共15分） 6. 排列(1375624)的逆序数t(1375624)= 4 7. 设A为3阶方阵，且A=3，则2A-1-A= 2/3 8. 已知向量(1,-2,1)与向量(-2,t,1)正交。则t = -3 9. 若含有5个未知量4个方程的非齐次线性方程组有3个线性无关的解，且没有4个线性无关的解，则其系数矩阵的秩为 3 10. 若方阵A满足2A2-3A=-4E，则(3A-2E)-1= -4/5 𐟓 解答题（共70分） 11. 计算行列式：|1 -3 2| |4 -2 3| |5 2 1| = -8 12. 求矩阵A的逆矩阵：其中 A = |2 2 -1| |-1 3 -2| |0 0 0| = -1/6 |3 -2 -1| |-1 4 -3| |0 0 0| 13. 解线性方程组：|3x - x + 2x + 2x = 1| |x - 2x + 3x - 3x = 2| |2x + x - x + 5x = -1| 解得 x = [7/9] [8/9] [4/9] [5/9] 14. 求向量组a1=(1,0,1,1), a2=(0,-1,1,2), =(-1,2,1,-5), =(-1,3,2,-7), =(2,1,3,0)的一个含有的极大线性无关组，并将其余向量用该线性无关组表示。解得：极大线性无关组为 (a4) = (-1, 3, 2, -7)，

李林六套卷第三套复盘：解题思路与技巧 ### 第8题：特征值与特征向量的应用 𐟧这道题的关键在于利用矩阵的性质。题目给出条件∑aij＝0（j从1到n），我们可以尝试令i＝1，2，看看会有什么结论。结果发现，每一行元素之和为0，这立即告诉我们矩阵A有特征值0，对应的特征向量是（1111……）。因此，ax＝0有非零解，接下来只需讨论矩阵的秩即可。第12题：偏导数的求解 𐟓 这道题展示了偏导数的求解方法。题目给出了一阶连续偏导数的条件，因此不能直接求二阶导数。求二阶导数时，应该使用定义法。对于二元函数的偏导数，只需固定一个变量，再根据导数定义即可求解。第14题：定积分的妙用 𐟌 这道题考察了定积分的计算和几何意义。首先，定积分是在对t积分，积完后不含变量t，因此y是关于x的函数。其次，需要考察x的定义域。因为问的是全长，没有给出x的范围，需要自己找出x的范围。当取1时，有3-xⲴⲦœ€小，只需最小的大于等于0即可求出x的范围。接下来，写出弧长公式，计算f（x）导数的平方，再根据凑微分和变量代换，最后根据几何意义求出积分值。第15题：建模与转化 𐟏—️ 这道题主要考察了建模转化能力。首先，画出坐标建模，使用微元法写出dF。将ds转换成dy，最后的一切都根源于y的不同导致微元所受的压力不同。因此，通通转换为y的变化。必要时还需把坐标轴的y转向。第20题：积分次序的交换 𐟔„ 这道题展示了积分次序的交换技巧。如果想不到交换积分次序，那就GG了；即使想到了，没有计算功底也不行。好好体会吧。第22题：特征值的求解 𐟧튊这道题先求出特征值，有方法可循。行列式多采用某行加到另一行或某列加到另一列，以期出现很多0，这样比较好算特征值。由于A有3个线性无关的特征向量，则A必可相似对角化。重特征值所对应的系数矩阵的秩有要求，这是最强的约束条件，这样可以求出a。通过这些题目，我们可以看到李林六套卷的难度和深度，需要在平时的学习中多加练习和思考。希望这些复盘能帮助到大家！

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22李艳芳数三（三）复盘：灵活与难度并存用时2小时50分钟，得分127分。总结一下这次考试，感觉主要是考查了灵活性和导数定义题，小题难度确实不小。选择填空： 2. 求导题：排除AD，C可以通过是否存在负值来判断，最后用排除法选出B。具体怎么算出来的还是要看讲解。 3. y的次数高：先考虑y再考虑x，存在另一个不存在。直接算的话就是先带入再求偏导，然后设定路径y＝kx排除CD。 4. (-5)难题：交错级数举反例只想出来了①，想不到③。 5. 对称性与逆否命题：A和B地位相同，E-BA不可逆时E-BA有0特征值，E-AB也有0特征值，E-AB不可逆。即C对D错。 6. 二阶矩阵分块：将A和B分别分块形成四个二阶矩阵，观察到AB矩阵对角线是两个E，带入计算得BA＝E+E。行列不等可按较小者分块处理。 7. 方程组解的性质：对应齐次线性方程组解出a，b，观察到有二阶非零子式，方程有非零解，共同推出r（A）＝2，A伴随的秩为1。 8. X bar-𘎓方不独立：排除BD，A为t（9）。 9. (-5)幂级数：计算量过大，需要积分的部分找到并化简，但没考虑到拆项后还要将起点退回0。 10. 正定矩阵特征值：所有元素之和拆成各行元素之和的和，即与向量（1，1）^T有关。正定矩阵特征值均正可直接开方。解答题： 17. 被积函数降次拆分：不同类初等函数分部积分。 18. 内部无极值点：考虑边界。 19. (-9)新颖题：第一次见，踩坑几率极大。要对a和1分情况讨论再求左右导数。左导数定义处理计算量大。 20. 已知奇偶性：求出f（0）后只研究一边，变成高中压轴的求导不等式问题。 21. 配方化规范型：分别配方化规范型，对应相等可解出矩阵P。 22. 二维几何概型：注意边缘分布取值范围即可。这次考试感觉主要是考察了灵活性和导数定义题，小题难度确实不小。希望下次能更好地应对这些题目，加油！

𐟓š 线性代数学习周期揭秘 𐟓– 𐟤” 你是否疑惑线性代数需要多久才能掌握？其实，只要方法得当，3周到1个月左右就能学完线代基础！𐟒ꊊ𐟓˜ 线代共有六个章节，每章节的学习时间大约在20-30小时。当然，这还包括了课下刷题和总结复盘的时间。那么，如何高效学习线代呢？ 𐟓Œ 一开始，搭建知识框架至关重要。要理清各知识点间的逻辑关系，避免混淆。同时，细节决定成败，线代的概念复杂多变，需仔细区分。 𐟓š 中期，多刷题是提升的关键。线代各章节内容紧密相连，通过刷题可以丰富题库，加深记忆。特别是矩阵的秩等综合知识点，通过刷题能更快掌握。 𐟔 最后，如果有余力，不妨深入研究经典定理的证明过程。许多例题和真题都源于这些定理的证明灵感。 𐟒ᠦŽŒ握这些方法，线性代数不再是难题！加油，数学小达人！𐟚€

复盘张宇8套卷：做题心得与总结做题真的不容易啊！这么多年过去了，感觉自己还是没长心，做题的时候总是马马虎虎的。今天就来复盘一下张宇8套卷的几道题目，希望能提醒自己以后做题要细心！ T3：定积分比较大小这道题真是让我麻了…为什么定积分比较大小总是错呢？其实也没什么好总结的，主要是比较单调性、代特殊点、将分子的数移到分母统一比较分母，这些方法都能得出答案。做题的时候一定要多问自己有没有带脑子！ T5：抽象矩阵关系式求具体函数这道题是根据某年真题改编的，需要求出抽象矩阵关系式对应的具体函数。虽然有点绕，但只要耐心一点，还是能解出来的。 T6：向量组等价求未知数这道题的简法是先找出向量组①的秩为2，然后对向量组②作初等变换，得出a＝3k-1，b＝k-1，最后代入选项值。这个方法还是挺实用的。 T9：计算错误这道题真是悲催，Y-2X平方算成了Y-2X。这种低级错误真是让人无语。 T11：求未知数极限这道题思维定势了，记得武老师强化班有一个类似的含大题，一直想凑不知道在干嘛。正解是直接提取𘤨𞹥–极限。 T19：积分忘了+1 这道题求积分的时候忘了+1，真是气死人了。做题的时候一定要细心！ T21：相似矩阵转换的P矩阵是否为正交矩阵这道题需要注意，只有实对称矩阵不同特征值的特征向量一定正交。如果不同特征值的特征向量不正交，那么不存在正交矩阵使得QTBQ＝对角阵。希望这些总结能提醒自己以后做题一定要细心！加油吧！𐟒ꀀ

2024年京都大学研究生数学试题详解 𐟓 数学系考生请回答1-6题；数理解析系考生请回答1-5题，并在6-7题中选择1题回答。考试时间为3小时30分钟。 𐟔 Problem 1: 求二重积分 ∫∫f(x, y)dxdy 其中D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, xⲠ+ yⲠ≤ 1} 𐟔 Problem 2: 设a是复数，A为三维复数矩阵 A = [a -1 0; 0 1 -a; 1 2a -2a] (1) 求A的全部特征值； (2) 求A的秩。 𐟔 Problem 3: 求二重积分 ∫∫f(x, y)dxdy 其中D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, xⲠ+ yⲠ≤ 1} 𐟔 Problem 4: 设a是复数，A为三维复数矩阵 A = [a -1 0; 0 1 -a; 1 2a -2a] (1) 求A的全部特征值； (2) 求A的秩。 𐟔 Problem 5: 数理解析系考生请回答此题求极限 lim(x→0) (sin x - x)/xⳣ€‚ 𐟔 Problem 6: 选择题设f(x) = xⳠ+ axⲠ+ bx + c，且f'(x) = xⲠ- 4x + 3，则f(x)的极值点为多少？ A. (0, c) B. (3, c) C. (1, c) D. (2, c) 𐟔 Problem 7: 选择题设A为三维实数矩阵，满足AⲠ= I（单位矩阵），|A| = -1，则A的特征值为多少？ A. Ⱪ B. ⱱ C. i 和 -i D. 1 和 -1