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第一类间断点权威发布_一二类间断点怎么判断(2024年12月精准访谈)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：观点更新日期：2024-11-29

第一类间断点

高等数学全册公式汇总，必背公式清单 𐟓š 高数全册公式汇总，必背公式清单 𐟓ˆ 函数极限与连续第一类间断点：如果函数f(x)在x处的左、右极限limf(x)和limf(x)都存在且相等但不等于f(x)（或f(x)在x处无定义），则称为可去间断点；若不相等，则称为跳跃间断点。第二类间断点：如果函数f(x)在x处的左、右极限limf(x)和limf(x)至少有一个不存在，则称为第二类间断点。无穷间断点和振荡间断点都属于第二类间断点。闭区间上连续函数的性质最大值和最小值定理：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。有界性定理：闭区间上的连续函数在该闭区间上一定有界。介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≥f(b)，则对于f(a)和f(b)之间的任一实数c，至少存在一点x∈(a,b)，使f(x)=c。推论1：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则至少存在一点x∈(a,b)，使f(x)=0。推论2：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则对介于其最小值m和最大值M之间的任一实数d，至少存在一点x∈(a,b)，使f(x)=d。 𐟓‰ 一元函数微分学曲率计算公式若曲线方程为y=f(x)，则k=y'/(1+y'^2)^(3/2) 若曲线方程为x=f(y)，则K=x'/(1+x'^2)^(3/2) 平均曲率：R=A/a 曲率半径：R=(K+1)^(1/2) 直线：K=0，半径为∞的圆：K=-1 𐟓Š 一元函数积分学不定积分基本积分公式换元积分法分部积分法定积分基本积分公式换元积分法分部积分法定积分的几何意义微分方程一阶微分方程二阶微分方程高阶微分方程 𐟓š 高等数学公式手册概念ⷥ†ⷥ…쥼 二、函数极限连续三、一元函数微分学四、一元函数积分学五、微分方程 𐟓… 2007.12

第一类间断点

军队文职数学备考攻略：公式与技巧全掌握适用于数一、数二、数三的备考宝典，赶紧收藏起来吧！𐟓š 𐟓– 高等数学函数：基本初等函数包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数。极限：掌握四则运算和等价无穷小替换，如lim(f(x)+g(x))=A+B。连续：了解间断点的分类，如第一类间断点和第二类间断点。 𐟓 线性代数行列式：掌握行列式的基本性质，如行列式某一行（或某一列）的所有元素都可以写成两个元素的和时，行列式可以写成两个行列式的和。矩阵：了解矩阵的常用公式，如AB=BA，A(AB)=B(AA)等。逆矩阵：掌握逆矩阵的基本性质，如若A可逆，则A唯一，且(AB)=BA。 𐟓ˆ 概率统计概率论：了解概率的基本概念和性质，如事件的独立性、条件概率等。数理统计：掌握描述性统计和推论性统计的基本方法，如参数估计和假设检验。 𐟓 备考技巧定积分的性质：了解定积分的定义和性质，如定积分的存在性和可积性。变上限积分计算导函数：掌握变上限积分的计算方法，如(∫f(x)dx)'=f(x)。一阶线性微分方程：了解一阶线性微分方程的通解公式，如y=ec∫p(x)dx。伯努利方程：掌握伯努利方程的解法，通过变量代换化为一阶线性微分方程。可降阶的高阶微分方程：了解"=f(x,y)型和j=f(y,y)型方程的降阶方法。根值审敛法（柯西审敛法）：掌握级数收敛的判断方法，如设u,是正项级数，则limyu,=>1时级数收敛。交错级数的莱布尼兹定理：了解交错级数的收敛条件，如若交错级数(-1)'u,满足一定条件，则级数收敛。 𐟓š 备考建议结合历年真题进行练习，熟悉考试形式和题型。制定详细的备考计划，合理安排时间，逐步掌握各知识点。多做笔记，总结归纳，形成自己的知识体系。

数学分析笔记：从基础到进阶 ### 数列极限 𐟚€ 实数系的连续性：确界原理、Dedekind分割原理、Stolz定理、收敛准则（单调有限定理、柯西收敛准则、Bolzano-Weierstrass定理）、闭区间套定理、归结原则。两个重要的极限：连续函数的定义，第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点），第二类间断点（无穷间断点或振荡间断点）。函数极限的性质 𐟓ˆ 唯一性：函数极限在自变量趋近于某个值时，极限值是唯一的。局部保号性：函数在某点的极限与函数在该点的值符号相同。局部保序性：函数在某点的极限与函数在该点的值大小关系一致。局部有界性：函数在某点的极限与函数在该点的值都存在且有限。两边夹准则：函数被两个极限相同的函数夹在中间，其极限也存在且与这两个函数相同。无穷小量和无穷大量阶的判断：闭区间上的连续函数具有有界性、最值性、零点、介值性、一致连续性。反证法是一种有效的证明方法。区分一致连续和点点连续。一元微分 𐟓 代数学基本定理：一元n次多项式在复数域上有n个解。微积分基本定理：NL公式，可导一定连续，可导等价于可微。复合函数求导（链式法则）：复合函数的导数等于内层函数和外层函数的乘积。隐函数求导：隐函数的导数可以通过隐函数定理求解。一阶微分方程不变性：微分方程的解与自变量的变化无关。微分中值定理及其应用 𐟔 费马引理（Fermat）：极值点的导数为0。罗尔定理（Rolle）：函数在区间两端相等，中间有一点导数为0。拉格朗日定理（Lagrange）：中间导数等于斜率。柯西中值定理（Cauchy）：引入了两个函数，凹凸函数，不等式（三角不等式、均值不等式、Jensen不等式、Young不等式、Holder不等式）。洛必达法则：实际上是柯西中值的推广应用。泰勒展开：Peano余项和Lagrange余项。不定积分 𐟌 换元积分法（第一类和第二类）：通过换元法求解不定积分。分步积分法：分步积分法适用于被积函数包含不同类型项的情况。有理函数积分法：有理函数的积分可以通过部分分式法进行。定积分 𐟓Š 分割、近似、求和、取极限：黎曼可积，Darboux上和等于下和（上和不增，下和不减），必要条件是函数有界。基本性质：线性性、保序性、区间可加性、积分第一中值定理。反常积分、瑕积分、二元无穷限积分：通过求Cauchy主值的方法判断积分收敛的方式（Cauchy判别法、比较判别法、A-D判别法）。 PS: 闭区间上的连续函数一定可积且有界且一致连续，闭区间上的单调函数一定可积。点火公式要记住（sin和cos的n次方在0到2上的积分，考虑n为偶和n为奇，偶的时候从1/2开始要乘2，奇的时候从1开始）。

𐟔间断点类型详解 𐟓š间断点基础知识：讨论间断点时，需要考虑“无定义点”—必然间断；以及“分段点”—可能间断。 𐟔第一类间断点：可去/可补间断点：极限值为常数但不等于函数值，或函数值无定义。跳跃间断点：左右极限值不等。 𐟔第二类间断点：无穷间断点：左右两侧至少一个极限值为无穷大。振荡间断点：极限值振荡不存在。 𐟓Œ1.2 x->0，要取分段函数x≠0那段。 𐟓Œ1.3 极限是否需要分左右讨论？需要时包括： e—+∞/-∞ sinx/|x|—零正/零负 arctanx—+∞/-∞ [x]—零正/零负分段点两侧表达式不同时。 𐟓Œ1.4/5 函数没有直接给出，需要先求出函数再按常规步骤判断间断点。 𐟓Œ1.4 命题的包装，注意此时求极限x为常数且x=0为函数无定义点。 𐟓Œ1.5 n趋于无穷专指n趋于+∞，求出函数后考虑间断点要考虑分段点。

𐟧间断点大揭秘𐟔 𐟓š今日我们来聊聊“间断点”这个数学小秘密！ 𐟤”什么是间断点呢？如果x0是f(x)的间断点，那意味着在x趋近于x0时，f(x)的左右极限都存在哦。 𐟔那么，间断点怎么分类呢？ 1️⃣ 第一类间断点： - 𐟒娷𓨷ƒ间断点：当x趋近于x0时，f(x)的左右极限虽然都存在，但它们不相等。 - 𐟎ˆ可去间断点：x趋近于x0时，f(x)的极限存在，并且这个极限值就等于f(x0)。 𐟒ᥰ贴士：掌握间断点的分类和特点，对于理解函数性质和解题都很有帮助哦！ 𐟓练习题：p2（记得做哦，巩固今天学到的知识！） 𐟔„上次解析：p3（回顾一下之前的知识点，加深记忆。）

𐟓… 180天的探索之旅 𐟔 在数学的奇妙世界里，180天是一个特别的旅程。𐟓š 我们深入探索间断点，了解极限与函数值的关系，发现第一类间断点和第二类间断点的秘密。𐟧œ訿™个过程中，我们学会了如何处理n项和积的极限问题，运用夹逼准则和定积分来求解。𐟒ᠦ𘀤𘪦�ꤩƒ𝥅…满了挑战与乐趣，让我们一起踏上这段精彩的数学之旅吧！𐟌Ÿ

𐟤” 可导与连续：你真的了解吗？ 𐟓š 在数学的世界里，函数的可导性和连续性是两个重要的概念。我们常常听到“可导必连续”，但真的是这样吗？让我们一起来探讨一下。 𐟒ᠩ斥…ˆ，让我们明确一点：可去跳跃间断点和震荡间断点。可去跳跃间断点是指函数在某点有定义，但该点的极限不存在，这种情况下的函数是不可导的。而震荡间断点则是指函数在某点附近振荡，虽然极限存在，但函数在该点不可导。 𐟔 对于可去跳跃间断点，我们可以发现它们必定没有原函数，因此也就不可导。而对于震荡间断点，情况则更为复杂。虽然它们可能有原函数，但也可能没有。 𐟌€ 举个例子，考虑函数f(x) = xsin(1/x)，它在x=0处有一个振荡间断点。虽然这个函数在x=0处不可导，但它在其他点上是可导的。这就说明，即使函数在某点不可导，也不一定意味着它在整个定义域上不可导。 𐟓 总结一下，我们可以得出结论：可导函数在其定义域内一定是连续的，但连续函数不一定可导。对于那些含有第一类间断点和无穷间断点的函数，情况更是如此。因此，“可导必连续”这句话并不完全正确。 𐟔 让我们再回到那个例子，f(x) = xsin(1/x)。虽然它在x=0处不可导，但它在其他点上是可导的。这说明，即使函数在某点不可导，也不一定意味着它在整个定义域上不可导。 𐟓 所以，当我们谈论函数的可导性和连续性时，一定要小心谨慎。不要轻易下结论，而是要具体问题具体分析。这样才能更好地理解和掌握这两个重要的数学概念。

武老师强化课极限部分复盘总结大家好，今天我们来复盘一下武老师的极限强化课，真的是收获满满！这次复盘分为五个部分，每一部分都有一些关键知识点和技巧，希望对大家有所帮助。第三讲：洛必达法则与等价无穷小 𐟓š 常见的基本极限：首先，我们回顾了一些常见的基本极限，比如洛必达法则。这个法则在什么时候可以用呢？比如，在x→0的时候，x的高次和低次之间可以进行“取大头”。等价无穷小的使用条件：等价无穷小在什么时候不能用呢？比如，在(x-sinx)/x和(x-sinx)/x^3中，前者可以直接用等价无穷小，而后者却不能。这是因为等价无穷小的使用条件比较复杂，需要根据具体情况来判断。洛必达法则的使用：洛必达法则在什么情况下使用呢？如果导数不连续，还能用吗？其实，只要满足一定的条件，洛必达法则就可以使用。泰勒展开：三角函数和e的指数函数的泰勒展开怎么写？有没有什么简易的记忆方法？比如，可以根据奇偶性来记忆。夹逼定理与定积分：夹逼定理什么时候用？定积分的定义什么时候用？“可爱因子”又是什么？这些问题都需要大家去思考和掌握。第四讲：1的无穷型极限与数列极限 𐟔⊱的无穷型极限：什么是1的无穷型极限？它的三步走是什么意思？这个三步走是怎么进行推导的？做一下图4，看看能不能做出来吧。数列极限的计算：对于一个n项连乘的数列极限，怎么计算呢？怎么样能把乘法变为加法？如果说是对它们进行求导呢？第五讲：无穷小量阶的比较与连续性 𐟌 无穷小量阶的比较：对于无穷小量阶的比较，有哪些常用的方法？常见的求极限，是不是类似于等价无穷小的求解呢？武老师有个简单求变上限积分无穷小阶的方法，是什么呢？连续性的概念：连续是一个怎么样的概念呢？间断点是怎么进行分类的呢？为什么第一类间断点没有原函数呢？介值定理：什么是介值定理？零点定理如何用它推导出来呢？总结通过这次复盘，大家应该对武老师的极限部分有了更深入的理解。希望这些知识点和技巧能帮助到大家在考试中取得更好的成绩。如果你有任何问题或需要进一步的解释，欢迎在评论区留言，我们会尽力解答。再次感谢武老师的精彩讲解，希望大家都能从中受益！

这个是怎么理解的，原函数的本质不是不定积分么，定积分存在的条件是有界且有有限个间断点即可

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