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极限思想最新视觉报道_极限思想在生活中的应用例子(2024年11月全程跟踪)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：热点更新日期：2024-11-30

极限思想

探索圆的奥秘：从方形到无限正多边形 𐟎蠨🙨Š‚课，我们将一起探索圆的奥秘。从“知识本质”到“文化浸润”，我们将通过任务驱动的方式，逐步揭开圆的神秘面纱。 𐟔 任务一：尝试给自行车“画”上轮子。 𐟓 用直尺“画圆”，体会“圆出于方”的哲学思想。 𐟓Š 展示对比：四条半径和更多条半径的作品，感受圆与方的联系。 𐟤” 谈话：既然想把这条曲线画规范有困难，不妨先把它连成直线看看，会有什么新发现。 𐟔„ 展示正八边形和正十六边形，感受它们越来越接近圆。 𐟎堥€Ÿ助几何画板演示：正方形到正多边形，想象继续画下去。 𐟤” 提问：你们画出圆了吗？你们画的圆是正几边形？ 𐟓 预设：无数边形。 𐟔 谈话：所以圆被称为是无限正多边形，现在看来，方圆之间是有联系的。在《周髀算经》中就有这样的记载：“圆出于方，方出于矩。” 𐟔 任务二：用直尺旋转成圆。 𐟓 尝试用直尺画圆，试图根据“圆，一中同长”的特征画多条半径连接成圆。 𐟤” 从不太标准的圆到无限接近圆，感受规律并运用极限思想体会圆与方的联系。 𐟔砩“𚥞먇ꥈ𖥜†规，深化对“围，一中同长”的认知。 𐟔 任务三：探索圆的特征。 𐟓 通过梳理平面图形的研究方法，实现直线围形和曲线图形有效衔接。 𐟤” 感受平面图形研究方法的一致性，为后续学习立体图形的整体迁移积累活动经验。 𐟎‰ 这节课，我们将继续探索圆的测量，感受圆的魅力。通过这些活动，我们不仅能够学到知识，还能培养我们的核心素养，体现学科的育人功能。 𐟓 板书设计： 𐟎蠥œ† 𐟔 猜想：车轮为什么是圆的？ 𐟓 圆心 𐟓 半径 𐟓 中同长 𐟔„ 实验：定点 𐟓 定长 𐟔„ 旋转一周 𐟓 结论：d=2r

导数与导函数极限的那些坑，你踩过吗？ 𐟎“ 刚接触导数和导函数极限的同学，往往会觉得这些概念很抽象，难以理解。其实，导数的本质是通过极限思想来定义的，而导函数的极限也只是一个极限过程。以下是一些常见的错误理解： 1️⃣ 导数与导函数极限无关：这两个概念之间没有直接关系，不能互相推导。 2️⃣ 导数与导函数极限的存在性：如果点导数和导函数极限都存在，那么导函数在该点是连续的。也就是说，处处有定义的导函数不存在间断点。 𐟒ᠧ†解这些概念需要从定义出发，逐步深入，而不是仅仅依靠表面上的直觉。希望这些提醒能帮助你在学习过程中避免误区，更好地掌握导数与导函数极限的本质。

𐟓š宇哥《36讲》Day2复盘精华 𐟓–今日继续深入探索宇哥的《36讲》，重点复习了数列极限的剩余部分，真是烧脑啊！𐟧 𐟔在处理数列极限问题时，遇到了两道颇具挑战性的题目。它们运用了sinx与x、tanx与x的极限关系，让我对数学中的极限思想有了更深刻的理解。𐟒ኊ𐟓复习过程中，我再次体会到了单调有界准则的重要性。在解决有界性问题时，数学归纳法真是神器！而单调性则可以通过观察函数在有限区间上的性质来证明。𐟓ˆ 𐟒᥏楤–，做题时还运用到了重要不等式，如调和平均数、几何平均数、算术平均数与均方根之间的关系。这些不等式在解题过程中起到了关键作用。𐟔— 𐟔对于初始值对fn的影响，我有了更清晰的认识。在单调有界的情况下，初值的选择会直接影响数列的极限存在性。真是细节决定成败啊！𐟎𐟓š今天的学习让我对数列极限有了更深入的理解，也让我对数学中的严谨性有了更深的体会。继续加油，向宇哥看齐！𐟌Ÿ

开课第六天：数学与纪录片的精彩碰撞 𐟎“𐟎励⃣ 奂尹老师的数学思维课 𐟧𛊥䩯𜌦ˆ‘们带领同学们探索了极限的奥秘。通过小猫爬墙的故事，引入了1/2＋1/4＋1/8＋1/16……等于1的概念，并解释了极限的定义。接着，我们展示了0.9的循环与1相等的三种证明方法。最后，我们介绍了极限思想在割圆法和积分法求面积中的应用。课堂上，同学们热情高涨，积极回答问题，但低年级的小朋友对极限思想的理解还有待加强。我们会根据这些反馈，不断改进教学方法。希望这次课程能在同学们心中播下一颗数学的种子，让他们在未来能够感受到数学的魅力。 2⃣ 海枝老师的纪录片播放课 𐟎슥œ褸𚦜Ÿ两周的社会实践中，我们不仅共同准备了数学文化课程和活动，还第一次体验了上课的经历。虽然暑期天气炎热，但与同学们的交流非常愉快。在上课过程中，同学们非常配合我们的教学进度。这次活动让我们对不同学段的学生有了更多的了解。通过这次体验，我们不仅收获了宝贵的经验，也对如何处理学生的各类问题有了更深入的认识。希望这些经验能为今后有幸成为一名教师的我提供宝贵的参考。

#高考数学# 初等函数是高中数学的重要基础，解决题目的有效方法是数形结合法！在画函数图像时可采用4种技巧方法：特殊点法、函数性质法、极限思想和图象变换方法，具体操作步骤可参考下面的图片！运用图像处理问题时注重四个方面，即图像要反映出函数的走势，根据图像进行准确的定性分析，第三要合理转化数量关系，最后得出结论，解决问题！

2025国省备考正当时！！数量关系：利用极限思想解极值问题今日19点史芳芳老师带你学习入口：网页链接

数学思维方法大揭秘！𐟧 3.5 化归思想的实质就是利用已知的简单、具体的知识，把未知的转化为已知的，复杂的转化为简单的，一般的转化为特殊的，抽象的转化为具体的，非常规的转化为常规的，从而解决问题。数形结合思想则是通过数和形之间的对应关系和互相转化来解决问题的思想方法。在数学中，这种思想方法大致可以分为以数解形和以形助数两种形式。初等几何变换如相似变换和合同变换都属于这种思想的应用。合同变换也叫保距变换，包括平移、旋转和反射（轴对称）变换等。相似变换则是图形按一定比例放大或缩小，形状不变。 3.6 极限思想是用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想。极限思想中渗透着有限与无限、曲与直、变与不变的辩证关系。极限思想的关键是变化的量是无穷多个，这些无限变化的量趋向于一个确定的常数。在数学式子中，有时把一个量用与它相等的另一个量去代替，进行变式，使复杂、怪异的式子简单化、模型化，找到解决问题的突破口，这就是代换的思想，也叫还元法。如曹冲称象的故事就是运用了这种思想。 3.8 函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系，因变量随着自变量的变化而变化。通过探究这种变化的规律，找出变量之间的对应法则，从而构建函数模型。函数思想体现了运动变化、普遍联系的观点。在小学数学中，优化思想的体现是初步的，主要体现在以下几个方面：在多样化的计算和解题方法中，比较不同方法的特点和优劣；解决类似于最省钱、省时间等方面的实际问题；合理安排时间，体会田忌赛马故事中所蕴含的优化思想。 3.9 数据分析观念是统计思想的核心。分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素，分别加以考察，找出各自的本质属性及彼此之间的联系。综合是把研究对象的各个部分、各个方面和因素的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方式。 3.10 各册课本内容运用的思维方法完结

关于极限思想的解释：在大学教学资料中，极限思想是高等数学的第一课，换句话说：理解极限思想是进入高等数学的门槛。然而，由于极限思想本身十分抽象，很多人难以快速理解。这里将使用一种简单易懂的方法进行解释，比较建议像我一样的中学生，大部分的大学生应该是没有什么问题的。理解极限思想，可以依靠一道小学数学题：题目是这样的：“1/9写成小数形式是0.1的循环(打不出循环符号，十分抱歉)2/9写成小数形式是0.2的循环，可推导出3/9写成小数形式是(____)根据这个规律，写出9/9的小数形式并比较9/9的小数形式与1的大小” 这是我在小学六年级时期遇到的一道题目，当时彻底把我震撼到了。现在，我们重新分析一下这道题目：根据1/9的小数形式和2/9的小数形式，我们可以简单地得出一个规律：x/9的小数形式是0.x的循环，当然仅限于分子是个位数的情况。这样，3/9的小数形式就是0.3的循环……根据这个规律，我们也可以得出9/9的小数形式是0.9的循环，按照小学以来建立的数学知识体系，0.9的循环应该小于1，然而根据小学以来的知识，a/a＝1才对……发现问题了吗？根据小学一直以来的数学知识，a/a＝1，然而根据这个规律，我们发现a/a居然会不等于1，而是小于1…… 在开头，我提到过，极限思想是高等数学的基础，从小学到中学，我们学习的都是比较普通的数学知识，而这道题跟高等数学有关，却不符合小学到中学以来的知识，颠覆了我们对数学的认知……这意味着什么？难道我们在大学之前学习的数学知识是完全错误的吗？但理性思考，学校不可能教我们完全错误的知识，尤其是数学这种严谨的学科。如果我们大学之前学习的知识也是正确的，那这个数学题又是怎么回事…… 目前为止，我们只讨论了代数，没有从几何的角度去解释这个问题。几何可以理解为数学的具象化，由于数学本身的抽象，单纯的代数说明很难让人理解复杂的数学问题。理解这种问题，我们需要用到一点中学数学——数形结合。注：下面我可能会变得“啰嗦”，这只是为了防止可能存在的人并没有看懂我说明的，我只是做了重复提醒防止有的人没看懂。想象一条数轴，所有实数都可以在这条数轴上找到，包括0.9的循环。可以确定0.9的循环一定在0到1之间。要达成我们比较0.9的循环和1的大小这个目的，就需要在数轴上找到0.9的循环。那么如何在数轴上找到它呢？我们可以用到中学的二分法，首先截取0到1这段线段，再从线段的1/2处分开。但是下一步具体怎么做？我们仍然不知道0.9的循环在哪一部分。做下一步首先要知道：因为这是0.9的循环，不是0.98或者0.8的循环，所以0.9的循环可以视作一个无限接近于1的过程，那么根据二分法，它就应该在0.5到1这一段里，继续二分，0.9的循环仍然在靠近1的那一段，也就是0.75到1这一段，由于0.9的循环被视作一个无限接近于1的过程，所以要找到它要无限地使用二分法分下去……由于有限的空间，我们无法真正地分下去，可以想象在分到肉眼很难看到的那一段之后就使用省略号省略了后面的无限的阶段，而0.9的循环在数轴上的位置在这之内就被体现出来。注意：由于0.9的循环被视作一个无限接近于1的过程，所以把一开始的0到1这段到省略号省略了后面无限的分段才能真正用几何的方式表现出来。如果你的空间想象力足够的话，就可以想象我所说明的“无限二分”，空间想象力不足的话就使用纸和笔还有刻度尺画一条数轴，照着我所说的进行绘制。由于0.9的循环无限的接近于1，在这整个二分的过程中，它会一直存在于靠近1的那一段中，而在整个无限二分的过程中，所有小于1的实数最终在某个阶段，都会不再包括在靠近1的那一段中。注意：是所有小于1的实数，也就是说，无论这个小于1的实数有多么接近1，最终在某个阶段都不会被包括在内，只有1永远在所有阶段之内。看似小于1的0.9的循环会无限地接近1。这个说法不够直观，用物理的说法说吧(以下所说的都只存在于物理中）：如果加上时间这个物理维度，那么可以试想一下在某个时间点，0.9的循环停止了接近1，我也不知道为什么会这样，可能是空间有限它线节省一点之类的，然而二分的过程没有停止，继续二分，在0.9的循环停止无限接近1之后的某个时间点，0.9的循环不再存在于二分的每个阶段中。当然这是假设二分法使0.9的循环不存在于那个二分阶段中后，二分也停下来了。0.9的循环意识到自己不再包括于二分法的最后阶段内，再次无限接近于1，这样就又被包括在那个阶段内了。这样，0.9的循环再次停止无限接近于1的过程，二分法意识到0.9的循环在数轴上的的位置又被包括在二分的每个阶段之内，又重新无限二分，使0.9的循环在数轴上的位置不被包括在每个阶段之内，之后再次停止无限二分，0.9的循环得知自己在数轴上的位置不再被包括在二分的每个阶段之内，再次无限接近于1……如此循环往复，无论如何，0.9的循环永远包括于二分的每个阶段内，并不会不被包括。我说过，任何小于1的实数到某个阶段，都不会被每个阶段包括在内，大于1的更不可能在内，因此只有1永远在所有阶段之内，而0.9的循环也永远在内。根据这个说明，可以解释为0.9的循环只是1的另外一种形式，换句话说：0.9的循环等于1。你可能会感到诡异，根据从小学就开始建立的数学体系，光是从个位开始，0.9的循环就只能小于1了，而现在，根据所有的证明，惊奇的发现：0.9的循环等于1……要证明0.9的循环等于1，还有一种方法，这种方法所要使用的文字更少，但是或许也更难理解：重新想象一条数轴，当然可以找到0.9的循环和1，这次不再讨论0.9的循环的位置，而是讨论是否能在数轴上把0.9的循环和1进行分段。 0.9的循环本质上是一个无限接近于1的实数，可以这样书写它：0.99999999999999999999999999999……后面是无限个9，相信你可以知道它确实是这个样子，这么做只是为了让它变得直观。先仔细思考一下：这么一个实数，是否能在数轴上与1进行分段…… 也许一开始你会觉得当然可以分段，但是在思考了几乎所有可能之后，我们会发现：在十进制中，9就是单个数字所能表示的最大数值了，再大需要使用两位数字，但根据小数点之后的数字的性质，这肯定是行不通的。而这就证明了无法在数轴上将0.9的循环与1进行分段。而在数轴上一个数若与另一个数不能进行分段，那这个数就是它本身。举个例子的话：你能在3这个实数“里面”进行分段吗？显然不可以。两种证明方法都指向这么一个结果：0.9的循环等于1。这个看似不成立的说法在数学上居然被两种方法证明正确，而且根本找不出问题，这就证明0.9的循环绝对等于1。那我们从小学开始到中学一直以来学习的数学知识又是什么？是错误的吗？光是从个位数开始，它就不应该等于1才对，但是根据证明，0.9的循环绝对等于1…… 比起思考小学到中学的知识是否错误，我们不妨试试根据0.9的循环等于1想想为什么会这样。根据0.9的循环等于1，我们得知0.9无限循环到最后就是等于1，注意：0.9的循环本质上是一个无限接近1的过程，而这个无限接近到最后就是完全等于1。也就是说：0.9无限循环拥有尽头，而这个尽头就是1。“无限”一词和“尽头”一词似乎有点不协调，但根据两个证明，它们又相匹配了。这又证明了在数学中：无限是有极限的。而这，就被称为“极限思想” 以上所说的是关于极限思想的一种比较好的解释。那为什么我们不会在小学就学习到极限思想来解释为什么0.9的循环等于1但从个位开始就不可能相等呢？这大概是怕小学生脑子混乱，因为以那个时候的数学知识还不足以证明为什么会这样，至少要等到中学学习了较为复杂的数学知识才能证明。最后来说说我是什么时候开始接触极限思想的吧，一开始提到过小学六年级做过的那道数学题，当时我就没理解，直到初一时代我把这个问题问向了我的数学老师，他思考了一会之后说：为什么会出现这种情况是因为这里面是有一个极限思想的，该思想认为无限循环小数有极限，现在你可能还是不太能理解的，等学到了大学你就很好地理解了。其中“极限思想”一词令我印象深刻，后来又去查了一些相关资料，才理解了数学存在极限思想。

孩子收拾玩具，竟然学会了数学对应思想！每次看到孩子把玩具乱扔，真是让人头疼。总想着怎么帮他们整理这些玩具呢？最近，我家孩子最喜欢的“绿小尖”来帮忙了。你可能要问，“绿小尖”是谁？它可是《数学从这里开始》的小主人公哦！这本书里还有蓝小问、红小吉、橙小小、黄憨憨，还有给大家讲解知识的鸟老师。我家弟弟特别喜欢用“绿小尖”代替这套书的名字，他总是会说：“妈妈，我要看绿小尖。”最近还出了第二套《对应思想》，真是太好玩了，给孩子做数学启蒙简直不要太棒！《数学从这里开始》这套书包含了10个重要的数学思想：量化思想、对应思想、统计思想、数形结合思想、集合思想、对称思想、归纳与演绎思想、极限思想、符号化思想、还原思想。目前这是第二套，内容有：《堆雪人》《鸟老师教画画》《趣味运动会》《玩偶的家》《今天我来当老师》说到收拾玩具，我们来看看“绿小尖”是怎么做的吧。其实，《玩偶的家》这一册的主角是“蓝小问”。蓝小问的恐龙玩具太多了，再不收拾，他的小恐龙就要被妈妈放到地下室了，妹妹都替他着急。怎么办呢？好在，蓝小问找到了解决办法，给他的小恐龙找到了家。不过，他对最初的家似乎并不满意，问题出在哪儿呢？后来他还给妹妹的小鸟留了两个位置，这两个位置看起来很相似，难道是一个吗？小朋友们一起来帮忙看看吧！通过这些有趣的故事，孩子们不仅学会了如何收拾玩具，还学会了一一对应的数学思想。真是寓教于乐啊！

高中数学数列知识点全解析 𐟓š 数列来了来了！等比数列的基本与通项公式等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1) 等比数列的前n项和：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) 等比数列的极限思想：有a和q，就能推导出一切。常见考法降次技巧：如果已知a1 + a2 + a3 = 0，m + p = 0，则可以通过同时除以m得到关于q的方程。两式相除：如果已知an/am = B，通过两式相除得到关于q的相对低方程。行生等数列问题：从等比数列中抽取间隔项也构成等比数列，如a1, a3, a5...也是等比数列，公比为q。常用性质下标和性质：下标和相等则对应的积相等，等式两边的下标级相同。等差等比数列的综合与公共项问题等差等比数列的相互转化如果a为等差数列，则an+1 - an为等比数列。证明：bn = log(a(n+1) / an)，公比为q。如果a为等比数列，则log(an+1) - log(an)为等差数列。证明：bn = log(a(n+1) / an)，公差为d。等差等比数列的证明步骤求出d或q。找出满足an=bm的n或m。注意an-an或an+1-an都可以看做是an-an的形式。累加法、乘法求和累加法已知a和a-a=t后，求与差有规律。解时注意最后一步要验证是否正确。累乘法最后一步验证时，注意a是否满足an=bm的条件。构造法求数列通项公式待系数法如常数法：当an = tm时，ant = in(a+p)。加次式法：当Am = in(in+n)+n)=an+b时，An+p(nt1)+t=(a+pn+t)。步骤：先写出希望效果再出现情形，上下互批。相造数列；求通项。除法例如：an/j = 1, an+3 / an = an? 倒数法取倒数后变形为其他形式。分组求和法自行分组，分别求和再相加。倒序相加法如A+AA-AA=AA。下标分奇偶的数项与求和关系分奇偶求项先找奇数列，再找偶数列，分别推导关系。项公式奇求和奇数项公式和偶数项公式分别求和。知连续两项和求源项题目已知Gn = fn(n2)，求an通项公式。通过分别奇数项和偶数项的通项公式求解。知连续两项积求项题目已知fn(n2)，a+a公式，通过奇数项和偶数项的通项公式求解。