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下确界的定义权威发布_下确界的定义数学语言(2024年12月精准访谈)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：观点更新日期：2024-12-02

下确界的定义

数学分析：第二章数列极限详解 𐟓– 华东师大陈纪修 𐟗𚯸 课本上的定义与定理的思维导图 𐟓Œ 数列极限的定义给定一个数列 $\{ a_n \}$，如果存在一个实数 $a$，使得对于任意小的正数 $\epsilon$，都存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，$|a_n - a| < \epsilon$，那么我们就说数列 $\{ a_n \}$ 收敛于 $a$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = a$。 𐟓Œ 数列极限的性质 1️⃣ 唯一性：如果数列收敛，那么它的极限是唯一的。 2️⃣ 有界性：收敛数列必有界。 3️⃣ 保号性：如果数列收敛且极限不为零，那么原数列不改变符号。 4️⃣ 保不等式性：如果数列收敛且极限大于零，那么原数列的所有项都大于零。 5️⃣ 通有性：任何收敛数列的子数列也收敛。 𐟓Œ 判断数列是否存在极限的方法 1️⃣ 单调有界定理：单调且有界的数列一定收敛。 2️⃣ 致密性原理：任何有界数列都有收敛的子数列。 3️⃣ Cauchy收敛准则：对于任意小的正数 $\epsilon$，存在正整数 $N$，使得当 $m, n > N$ 时，$|a_m - a_n| < \epsilon$。 𐟓Œ 确界原理如果数列 $\{ a_n \}$ 有上界，那么它有上确界；如果数列有下界，那么它有下确界。 𐟓Œ 致密性原理任何有界数列都有收敛的子数列。 𐟓Œ Cauchy收敛准则对于任意小的正数 $\epsilon$，存在正整数 $N$，使得当 $m, n > N$ 时，$|a_m - a_n| < \epsilon$。

初等数学和高等数学，就完全不是一回事。我记得好像是北大数学科学学院的院长说过一句话：“总有一些高考数学满分的学生，不自量力，选择了北大数学系。”这句话的含义，相信大家都懂。本人某师范大学数学本科毕业，大一课程完全靠自学，大二有点懵，大三靠划题，大四就一门专业课但完全不会。高等数学真的难，越学越靠天赋，会的就是会，不会的就是不会。尤其是数学专业的数学，是一种带逻辑的语言，就像极限的定义，就是一种逻辑性极强的语言，数学分析，重在分析而非简单的数学，就像定积分的达布和，从分析的角度先消除分割中点的任意性，仅保留分割的任意性，然后用确界理论，分析振幅的确界和分割的关系，然后使用极限的思想找到达布上和和达布下和，积分存在的等价是上下和相等，也就是分割的任意性被量化，然后就可以推导出有限测度集中的连续函数可积性问题，分割的无穷小量又用闭区间连续必一致连续保证了，从而量化出分割内振幅的和趋于0，从而求证。难么？不难！复杂不？肯定复杂，高中数学从条件到结果，你硬算就能算出来，但是分析这东西，就要你有大局观，在证明过程中还有逻辑清晰，这还是大一的数学分析，后面的复分析、测度论、微分几何，等等，都是要你有很宏观的观察能力和极为细致的分析能力，当然，还有想象力。难么？肯定难！有趣不？当然有趣！这是和一群数学家们的对话。哲学、文学等等，不都是有自己的一套语言系统么？

数学分析笔记：从基础到进阶 ### 数列极限 𐟚€ 实数系的连续性：确界原理、Dedekind分割原理、Stolz定理、收敛准则（单调有限定理、柯西收敛准则、Bolzano-Weierstrass定理）、闭区间套定理、归结原则。两个重要的极限：连续函数的定义，第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点），第二类间断点（无穷间断点或振荡间断点）。函数极限的性质 𐟓ˆ 唯一性：函数极限在自变量趋近于某个值时，极限值是唯一的。局部保号性：函数在某点的极限与函数在该点的值符号相同。局部保序性：函数在某点的极限与函数在该点的值大小关系一致。局部有界性：函数在某点的极限与函数在该点的值都存在且有限。两边夹准则：函数被两个极限相同的函数夹在中间，其极限也存在且与这两个函数相同。无穷小量和无穷大量阶的判断：闭区间上的连续函数具有有界性、最值性、零点、介值性、一致连续性。反证法是一种有效的证明方法。区分一致连续和点点连续。一元微分 𐟓 代数学基本定理：一元n次多项式在复数域上有n个解。微积分基本定理：NL公式，可导一定连续，可导等价于可微。复合函数求导（链式法则）：复合函数的导数等于内层函数和外层函数的乘积。隐函数求导：隐函数的导数可以通过隐函数定理求解。一阶微分方程不变性：微分方程的解与自变量的变化无关。微分中值定理及其应用 𐟔 费马引理（Fermat）：极值点的导数为0。罗尔定理（Rolle）：函数在区间两端相等，中间有一点导数为0。拉格朗日定理（Lagrange）：中间导数等于斜率。柯西中值定理（Cauchy）：引入了两个函数，凹凸函数，不等式（三角不等式、均值不等式、Jensen不等式、Young不等式、Holder不等式）。洛必达法则：实际上是柯西中值的推广应用。泰勒展开：Peano余项和Lagrange余项。不定积分 𐟌 换元积分法（第一类和第二类）：通过换元法求解不定积分。分步积分法：分步积分法适用于被积函数包含不同类型项的情况。有理函数积分法：有理函数的积分可以通过部分分式法进行。定积分 𐟓Š 分割、近似、求和、取极限：黎曼可积，Darboux上和等于下和（上和不增，下和不减），必要条件是函数有界。基本性质：线性性、保序性、区间可加性、积分第一中值定理。反常积分、瑕积分、二元无穷限积分：通过求Cauchy主值的方法判断积分收敛的方式（Cauchy判别法、比较判别法、A-D判别法）。 PS: 闭区间上的连续函数一定可积且有界且一致连续，闭区间上的单调函数一定可积。点火公式要记住（sin和cos的n次方在0到2上的积分，考虑n为偶和n为奇，偶的时候从1/2开始要乘2，奇的时候从1开始）。

北京邮电大学2023年数学分析考研题集 𐟓š 本专栏旨在帮助同学们复习备考，由于个人水平有限，可能存在一些不够严谨或错误的地方，欢迎大家批评指正，共同进步！ 𐟓 本套题目覆盖面广，难度适中，适合备考使用。以下是一些主要题型：极限计算与等价代换 𐟓 积分判别法证明级数收敛 𐟓ˆ 函数的幂级数展开 𐟓‘ 洛必达法则和Taylor定理 𐟓˜ 变上限积分求导 𐟓š 利用Green公式 𐟌🊨ᥩ⥐Ž利用Gauss公式 𐟌 含参量反常积分 𐟌€ 结合上确界的定义，构造递增数列 𐟓– 裴礼问1.2.10原题，忘了咋写了，当时没写出来 𐟘… 基础Lagrange中值定理 𐟓 常见多元可微性 𐟌 函数列的一致收敛问题，强化讲义原题 𐟓œ 一致连续的经典问题，华东师范课本原题 𐟓š 数列极限的经典问题 𐟓– 希望这些题目能帮助大家更好地备考！

哈尔滨师范大学数学分析备考攻略 ### 学硕篇 𐟓š 考察范围：数学分析上册➕下册备考时间：建议从3月份开始，争取在8月份完成第一轮复习。修正几天后开始第二轮，争取在实习前完成。11月份开始做真题，考前完成两遍，剩余时间复习课后习题，查缺补漏。备考内容：第一章：确界、三角形不等式、特殊分段函数第二章：数列极限，包括一道数列极限计算和一道单调有界定理的证明题第三章：函数极限，掌握定义、性质、成立条件和特殊结论第四章：函数连续，重点掌握闭区间连续函数的性质第五章：导数，掌握基本计算第六章：中值定理，证明题的重灾区第七章：不考第八章：不定积分，掌握计算方法第九章：定积分，包括计算和证明第十章：大概率不考第十一章：大概率不考第十二章：级数，掌握基本判断收敛发散的方法，证明不需要看第十三章：函数列极限及其收敛，包括一道证明型的计算题第十四章：幂级数，记住特殊结论并会用，一道计算题第十五章、十六章：一道偏导、极限连续混合的题第十七章：隐函数，掌握基本计算和定义，会算就行第十八章：不考第十九章：不考第二十章、二十一章、二十二章：知识点串连，包括一道分值高的计算题第二十三章：不考重点提示：真题不要开得太早，浪费哦！专硕篇 𐟓–（据22年真题分析）考察范围：数学分析上册开始时间：建议从三到四月份开始备考内容：第一章：确界，尤其要理解其内容，包括引出的知识点第二章：数列极限，掌握定义和定理，包括每一个性质的推论和逆用，外加灵活计算数列极限第三章：函数极限，知识点的掌握程度和第二章一样，同样掌握计算第四章：函数连续，会判断、找间断点、会一些简单的证明第五章：导数，掌握计算方法，尤其是可导、连续、极限存在的关系第六章：中值定理，掌握三大中值定理的内容和结论，包括怎么用，洛必达法则重点重点重点第七章：大概率不考第八章：不定积分，掌握各种计算方法，多多练习第九章：定积分，包括计算和知识点串连第十章：定积分应用，公式运用要灵活第十一章：目前未见考题重点提示：就一套真题先别嚯嚯！

机器学习：期望最大化算法的原理与推广 𐟓š 在上一篇笔记中，我们只介绍了期望最大化（EM）算法的操作流程。现在，我们将把这个算法一般化，使其适用于更广泛的含隐变量模型的学习。 1⃣️ 符号定义：我们将可观测数据记为X，隐变量记为Z，模型参数记为theta。 2⃣️ 优化目标：模型学习的最直观方法是最大化边际对数似然（Marginal log-likelihood）。然而，由于边际似然没有封闭形式（closed-form）的表达式，优化过程通常很困难。因此，我们选择优化包含完整数据（X，Z）的似然，然后通过边际化（marginalize）Z来得到结果。 3⃣️ EM算法的本质： E步：给定初始模型参数theta_old，最大化ELBO（证据下界）当且仅当KL散度为0，这意味着proposal distribution q恰好等于固定模型参数theta_old情况下Z的后验分布。此时，ELBO等于对数似然，优化过程中的gap消失。 M步：在这一步中，我们固定E步中得到的分布q，最大化ELBO关于模型参数theta。由于ELBO在优化过程中不减少，且KL散度非负，所以对数似然不会减少。 4⃣️ EM算法的推广：推广到贝叶斯框架：在贝叶斯框架中，我们对模型参数theta有一个先验分布。类似地，我们可以将ln p（theta｜X）拆分成ELBO+KL散度+ⷂ𗂷。这样，我们仍然可以利用EM算法求解MAP（Maximum A Posterior）。E步与之前完全相同，而M步由于引入了先验分布而有所不同。 5⃣️ 广义EM算法（GEM）： M步的优化：优化模型参数通常不简单，我们可以引入非线性优化方法，或者将参数分为几个子集，每次优化只优化某些子集而让其他参数冻结。 E步的优化：在E步中优化ELBO泛函，我们不必要每次都做完整优化，有时候部分对q优化已经足够。 EM算法看似简单，但只有极少数问题（如高斯混合模型）才简单。对于实际问题来说，E步和M步都很困难，计算层面上都不tractable。

请问这个上界能不能改进，尝试了很多思路和一些构造，还没有什么头绪。另外，如果能改进到最佳上界，能否对n维函数给出更一般的结论。请大佬解答另外，老师给的做法是构造函数考虑在其内的极值，感觉这个方法并不美不够本质，希望寻求更直接更本质的解法顶一顶再顶继续顶

这里的证明是不是少了一步，怎么直接就从定义得到了? 是不是应该先证明两个集合和的下界小于下界的和?? 没有好兄弟帮忙解决一下吗

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