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比值判别法前沿信息_比值判别法和根值判别法(2024年11月实时热点)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：教程更新日期：2024-11-28

比值判别法

如何判断级数的敛散性？常见方法一览判断级数的敛散性是数学分析中的重要问题。以下是一些常见的方法：等比级数 𐟓‰ 如果级数是等比级数，且公比小于1，则级数收敛。 P级数 𐟓ˆ P级数的一般形式为∑(1/n^p)，当p>1时，级数收敛；当p≤1时，级数发散。通项判别法 𐟔 如果级数的通项满足某种条件，可以直接判断级数的敛散性。例如，当un单调递减且极限为0时，级数收敛。广义P级数 𐟌 广义P级数包括更多种类的级数，通过比较判别法、比值判别法和根值判别法等方法进行判断。交错P级数 𐟔„ 交错P级数可以通过莱布尼兹判别法进行判断，当交错项的绝对值单调递减且极限为0时，级数收敛。比较判别法 𐟓Š 通过比较级数与已知的收敛或发散级数，来判断原级数的敛散性。比值判别法 𐟓ˆ 利用比值法来判断级数的敛散性，当级数的相邻项之比趋近于某个极限时，可以判断级数的敛散性。根值判别法 𐟌𑊩€š过根值法来判断级数的敛散性，当级数的根值趋近于某个极限时，可以判断级数的敛散性。交错级数 𐟔„ 交错级数可以通过莱布尼兹判别法进行判断，当交错项的绝对值单调递减且极限为0时，级数收敛。通过这些方法，我们可以有效地判断级数的敛散性，进一步了解级数的性质和特点。

考研数学一级数学习攻略：收敛性到应用 1. 𐟔 收敛性的奥秘：判断级数是否收敛是数一的关键。掌握比值判别法、根值判别法和积分判别法，同时注意边界情况的处理，是解题的关键。 𐟓š 收敛级数的性质：理解收敛级数的性质对于数一的学习至关重要。特别是部分和的性质，如部分和序列的有界性、子级数的收敛性和级数项的任意交换次序等。 𐟓 常见级数的求和：掌握等差级数、等比级数、幂级数等常见级数的求和公式，并理解这些公式的推导方法，对于解题非常有帮助。 𐟔砧𚧦•𐥈䥈릳•的应用：灵活运用不同级数判别法，并能够判断复杂级数的收敛性。在应用值判别法和根值判别法时，需要多加练习限制条件和极限计算。 𐟓ˆ 应用问题的建模与解答：将实际问题转化为级数形式，然后运用级数的性质和求和公式解答。这需要对问题建模的能力，包括准确识别问题类型、确定级数的递推关系和边界条件等。对于数一级数的学习，除了理解和掌握上述重点和难点，多做题目，进行练习和巩固是非常重要的。只有通过不断的练习和思考，才能夯实基础，提高解题和应用问题的能力。

级数收敛与发散的判断方法 𐟓š 常数项级数的定义与性质常数项级数就是每一项都固定的级数。它的收敛性可以通过一些方法来判断。等比级数如果等比级数的公比q的绝对值小于1，那么这个级数是收敛的。收敛的和可以用公式S_n = a / (1 - q)来计算。正项级数的判敛方法收敛原则：如果级数{S_n}有界（即单调不减且有上界），那么这个级数是收敛的。比较判别法：找另一个级数进行比较，如果从某一项起，这个级数大于等于原级数，那么原级数是收敛的；如果小于原级数，那么原级数是发散的。比较判别法的极限形式：找另一个级数，上下放求极限，如果极限趋于0，那么原级数是收敛的；如果极限趋于无穷，那么原级数是发散的；如果极限等于常数，那么原级数的敛散性不确定。比值判别法：后项比前一项，再求极限，极限小于1，收敛；大于1，发散；等于1，不定。根植判别法：开n次方根，再求极限，极限小于1，收敛，大于1发散。如果开N次方后不求极限直接能看出大于等于1，则一定发散。积分判别法：找一个单调减少的非负连续函数F(x)，使得un = F(n)，做反常积分，与级数同敛散。交错级数莱布尼兹判别法： un的极限趋于0 un单调不增（后项比前项；后项减前项；令为F函数求导）调和级数发散，但交错调和级数收敛。任意项级数加绝对值，用正项级数判敛法则。绝对收敛：加绝对值收敛，级数也收敛。条件收敛：级数收敛，加绝对值发散。幂级数求和un(x - x0)^n形式，和泰勒展开有联系。要求收敛区间和收敛域（用阿贝尔定理）。收敛域的求法：不缺项的幂级数：加绝对值，用比值或根植法，R = 1/p（极限存在），或∞（极限为0），或0（极限不存在）。缺项的幂级数：先加绝对值；再用正项级数比值或根植（要把x^n带上），令p小于1，得到关于X的定义域，即收敛域。 Ps：收敛半径不变，收敛域或因求导缩小；或因积分扩大。幂级数的和函数在收敛条件下，有数乘、倍加等线性性质；整个计算过程记得先标收敛域。计算手段：拆开成两个级数相乘的形式（涉及恒等变形，使两个级数通项幂次数相等、下标相同）。重要展开式

无穷级数880考点全解析！ 1️⃣大题考法与微分方程结合：常见题型，通常涉及求导。与高阶导数结合：利用级数和公式及泰勒展开式计算 f（n）（a）/n！＝an，注意计算过程中容易出错，转化下标或上标。和函数：展开和函数时，不要忘记对特殊点讨论，0点可直接带入，其余根据求出的和函数判断级数和的极限。子级数只有一种方法，母级数分情况（尤其是阶层拆项根据具体题目进行拆，前面配系数，常考）。展开时一定要合并到底，注意计算的粗心。伽玛函数：在这里也会用到，熟练掌握。 ⭕交错级数：简单两种方法，一是莱布尼茨法（关键是判断单调不增），二是取绝对值法（如题中出现sin、cos等函数）。如果题中缺少（-1）^n，但很明显是交错，可以凑（-1）^n，常见于三角函数。 ⭕正项级数：通常可以利用Sn是否有界，limun≠0则发散。比较判别法（大收小收小散大散），这里通常可以利用函数趋于0或趋于♾️速度来快速判别，前提要很熟悉。比较判别法的极限形式（主要是找相比较的函数），有时候找到之后进行相比也可以利用趋向速度来快速判断。熟悉的p级数、q级数等（图3总结），比值判别法，根值判别法，积分判别法（要求是正项且Un＝f（n）其中f是非负连续单调减少，可以看方浩强化讲义例6）。 ⭕一般项级数：给它加上绝对值写成正项级数进行判别。 ❗❗❗做题总结：对于选择题，可以举反例先进行排除，积累常见的反例！880很多！基础部分选择题基本都可以通过举反例排除掉。比值根值比较审敛法都是充分不必要！选择题看到这种形式立刻排除！定性判断不了定量，除了已有的那个定理，其余都不可以，所以选择可以直接排除（大家移步上一篇笔记看即可）。判断绝对收敛还是相对，第一步利用比较审敛法（判断是否绝对），第二步用莱布尼茨。缺项的级数判收敛域都用比值法！ 2️⃣选择题判断级数敛散性首先判断级数是什么类型（正项、交错、一般）。正项级数：通常可以利用Sn是否有界，limun≠0则发散。比较判别法（大收小收小散大散），这里通常可以利用函数趋于0或趋于♾️速度来快速判别，前提要很熟悉。比较判别法的极限形式（主要是找相比较的函数），有时候找到之后进行相比也可以利用趋向速度来快速判断。熟悉的p级数、q级数等（图3总结），比值判别法，根值判别法，积分判别法（要求是正项且Un＝f（n）其中f是非负连续单调减少，可以看方浩强化讲义例6）。交错级数：两种方法，一是莱布尼茨法（关键是判断单调不增），二是取绝对值法（如题中出现sin、cos等函数）。如果题中缺少（-1）^n，但很明显是交错，可以凑（-1）^n，常见于三角函数。一般项级数：给它加上绝对值写成正项级数进行判别。

𐟓š 2025年考研数学三新大纲解析 𐟌Ÿ 𐟎“ 微积分：函数、极限、连续：了解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。理解极限的概念，掌握极限的四则运算法则，会用极限求函数的值。一元函数微分学：理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程。一元函数积分学：理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。多元函数微积分学：了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。无穷级数：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法、根值判别法。常微分方程与差分方程：了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法。 𐟧𚿦€礻㦕𐯼š 行列式：了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。矩阵：理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质。掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律。向量：了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则。理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念。线性方程组：会用克拉默法则解线性方程组，掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法。理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。矩阵的特征值与特征向量：理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。二次型：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念。掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形。 𐟓Š 概率论与数理统计：随机事件与概率：了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算。理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率。随机变量及其分布：理解随机变量的概念，理解分布函数F(x)=P(X≤x)的概念及性质。掌握离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握连续型随机变量及其概率密度的概念。多维随机变量的分布：理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质。理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布。随机变量的数字特征：理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征。大数定律和中心极限定理：了解切比雪夫大数定律，伯努利大数定律和辛钦大数定律。了解棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理和列维-林德伯格中心极限定理，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。数理统计的基本概念：了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念。了解经验分布函数的概念和性质。参数估计：了解参数的点估计、估计量与估计值的概念，掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。

专升本数学｜无穷级数知识点全解析目前已经学习了【无穷级数】这一章节，但不包括【幂级数】的所有知识点。以下是对这一章节的总结： 1️⃣ 收敛级数的性质：收敛+收敛=收敛收敛+发散=发散收敛级数加括号➡️收敛，去括号➡️不一定收敛 2️⃣ 级数收敛的判定： limUn=0（不可反推） limUn不等于0➡️级数发散（经常用到） ⚠️：注意这两个结论不可混淆，记住不可反推的部分 3️⃣ 等比级数和P级数判断敛散性：收敛➡️大P小q （这个记忆方法需要自己先看Pq什么情况下是收敛/发散，理解着来） 4️⃣ 比值判别法和根值判别法：比值判别法适用对象一般是n！a^n n^n 结论一致：小于1收敛，大于1发散 5️⃣ 比较判别法：找Vn 等价 “抓大头” 针对分式，保留最大项 n^a a^n 放缩：小于等于1 公式 lim Un/Vn=常数（同敛散） =0（大收则小收） =∞（小发则大发） 6️⃣ 交错级数：主要看p2 俩个判断收敛的性质解题有时需要结合第②点 7️⃣ 绝对收敛与条件收敛：绝对值收敛➡️绝对收敛绝对值发散，Un收敛➡️条件收敛所有极限省略：n趋于∞ 剩下需要做题，灵活运用这些知识点。有任何补充或纠正，欢迎在评论区交流～

高等数学第十二章总结：无穷级数 𐟓š 等比级数和调和级数 𐟔 收敛级数的基本性质性质12345 𐟔 柯西审敛原理 𐟔 常数项级数的审敛法 𐟦” 正项级数的敛散性 ॱଳ혠比值审敛法 ॱଳ혠极值审敛法 ॱଳ혠比较审敛法 ॱଳ혠积分判别法 ॱଳ혠比较审敛法的极限形式 𐟦” 交错级数及其审敛法 ॱଳ혠莱布尼茨定理 𐟦” 任意项级数与绝对收敛、条件收敛 𐟔 幂级数 ॱଳ혠收敛半径和收敛域 ॱଳ혠幂级数的性质 𐟔 函数展开为幂级数 𐟔 傅里叶级数 ॱଳ혠三角级数的正交性 ॱଳ혠函数展开成傅里叶级数 ॱଳ혠正弦级数和余弦级数 ॱଳ혠一般周期函数的傅里叶级数

𐟓š 正项级数收敛性判别大法 𐟔 𐟧 想要知道正项级数是否收敛？来看看这些超实用的判别方法吧！ 1️⃣ **比较审敛法** 𐟆š 通过比较级数项与某个已知极限的级数项的大小，来判断原级数的敛散性。 𐟓Œ 例：若已知级数P-级数收敛，则可以通过比较审敛法判断其他正项级数的敛散性。 2️⃣ **比值审敛法** 𐟔„ 利用级数项的比值来判定级数的敛散性，特别适用于当比值接近1时的情况。 𐟓Œ 例：若比值lim(an/an-1) < 1，则级数收敛；反之，若比值趋近于1，则无法判断。 3️⃣ **根值审敛法** 𐟌𑊠 通过计算级数项的根值来判断其敛散性，适用于当根值接近1时的情况。 𐟓Œ 例：若根值lim(an)^(1/n) < 1，则级数收敛；反之，则发散。 𐟎‰ 这些方法都是判断正项级数收敛性的有效工具，赶快收藏起来吧！在数学学习的道路上，它们将是你的得力助手！𐟌Ÿ

𐟓š 幂级数知识点大揭秘 𐟔 𐟓– 幂级数，这个数学世界中的神奇存在，是许多数学考试中的必考内容。想要掌握它，你需要了解收敛半径、收敛域以及各种判别法，比如比值和根值判别法。𐟔 𐟓Œ 收敛半径和收敛域是幂级数的基础，而柯西阿达马定理则是求收敛半径的关键。一旦你有了收敛半径，接下来就是验证端点值，看看是绝对收敛还是条件收敛。𐟔„ 𐟓š 求幂级数的和函数是另一个重要部分。别忘了先确定收敛域！我总结了五类求和函数的方法，每一类都有典型的例题。𐟓 𐟔 第一类是基础，涉及到先积分还是先求导的选择。如果你实在不确定，可以参考这些方法。𐟓 𐟓š 最后，还有一类是在指定点处展开幂级数。这部分内容我列了一些小题目，供大家参考。𐟓‘ 𐟌Ÿ 记住，泰勒展式和求和函数是幂级数的核心，一定要熟练掌握！𐟒ꀀ

如何计算收敛半径：一步步教你搞定收敛半径这个概念听起来简单，但实际做起来却有点复杂。简单在于它的求法并不难，复杂在于不同幂级数的处理方式各不相同。下面我会详细讲解几种常见的求收敛半径的方法。阿达马定理 𐟓š 阿达马定理是求收敛半径的一个重要工具。对于形如∑(x-x)ⁿaₙ的函数项级数，收敛半径R可以通过以下公式计算： R = lim sup |aₙ| / |aₙ₊₁| 这里，lim sup表示上极限，|aₙ|表示第n项的绝对值，|aₙ₊₁|表示第n+1项的绝对值。特别地，la开的次数不一定为n，而是要与幂级数中(x-x)ⁿ的次数An一致，其中An表示与n有关的函数（如xⲧ퉯𜉣€‚ 达朗贝尔判别法 𐟓 达朗贝尔判别法也是求收敛半径的一种方法。对于形如∑aₙ(x-x)ⁿ的函数项级数，如果满足以下条件： 0 < lim |aₙ| / |aₙ₊₁| < 1 那么级数收敛，且收敛半径R为1 / lim |aₙ| / |aₙ₊₁|。注意，对于缺项级数（即某些项系数为0的级数），这种方法不适用。缺项幂级数 𐟚犥﹤𚎧𜺩ṥ𙂧𚧦•𐯼Œ求收敛半径的方法有以下几种：变量替换法：将缺项幂级数进行变量替换，使其变为无缺项的幂级数，然后根据无缺项的情况计算收敛半径。比值法：将缺项幂级数看作一个没有缺项的函数项级数，通过比较相邻项的比值来计算收敛半径。柯西-阿达马公式：利用柯西-阿达马公式，即lim |aₙ| / |aₙ₊₁| = 0，来计算收敛半径。总结 𐟓 求收敛半径的方法多种多样，具体要根据不同的幂级数来选择合适的方法。无论是阿达马定理、达朗贝尔判别法还是缺项幂级数的处理方法，都需要我们灵活运用这些公式和技巧。希望这篇文章能帮助你更好地理解和掌握收敛半径的计算方法！

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