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分段函数图像权威发布_分段函数求值的例题(2024年12月精准访谈)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：观点更新日期：2024-12-01

分段函数图像

初中数学一次函数知识点及常考题型全解析初中数学一次函数数形结合常考的12类题型一次函数的概念与图像 𐟓Š 定义：y = kx + b (k ≠ 0) 正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。图像：一条直线。斜率：k > 0时，y随x增大而增大；k < 0时，y随x增大而减小。截距：b = 0时，直线过原点；b > 0时，直线在y轴上的截距为正；b < 0时，直线在y轴上的截距为负。一次函数的斜率与截距 𐟓ˆ 斜率k决定直线的走势：上升或下降。截距b决定直线与y轴的交点位置。两直线走势与斜率的关系 𐟓‰ 研究L与b的关系：k越大，直线越陡。研究L与b的关系：若k = 0，则直线与x轴交于原点；若k < 0，则直线与x轴交于负半轴。研究L与L的关系：若k1 = k2，则直线L1与L2平行。一次函数的最值问题 𐟏† 已知一次函数y = kx + b的定义域为[x1, x2]，求函数的最大值及最小值。情形一：k > 0时，最大值为ymax = kx1 + b，最小值为ymin = kx2 + b。情形二：k < 0时，最大值为ymax = kx2 + b，最小值为ymin = kx1 + b。一次函数的定点问题 𐟓 含参数k的一次函数恒过定点。化简成k + b = D的形式，求出定点坐标。一次函数图像的平移 𐟚€ 上平移m个单位：y = kx + b + m。下平移m个单位：y = kx + b - m。左平移m个单位：y = k(x + m) + b。右平移m个单位：y = k(x - m) + b。一次函数图像的翻折 𐟔„ 关于X轴对称：y = -kx - b。关于Y轴对称：y = k(-x) + b = -kx + b。关于直线X = m对称：y = k(2m - x) + b。关于直线Y = n对称：y = k(2n - y) + b。一次函数的交点问题 𐟔— 求两个一次函数的交点。求一次函数与x轴、y轴的交点。求一次函数与反比例函数的交点。一次函数的解析式求解问题 𐟧›𞥃过一点+位置关系：设解析式为y = kx + b，代入已知点坐标求解。图像经过两点：设解析式为y = kx + b，代入已知两点坐标求解。一次函数的面积问题 𐟓 已知y1与y2的解析式，求SaABC的面积。已知y与y2的解析式，求SaAOB的面积。数形结合求解不等式 𐟧–𜯸 直观形象地解决不等式问题。简洁数学地解决不等式问题。用分段函数图像研究最值的最值 𐟏† 已知y1、y2、y3的解析式，求F(x)和G(x)的最大值和最小值。

宜春幼专单招考试大纲𐟓š 𐟓– 宜春幼儿师范高等专科学校2024年单招考试大纲来啦！想要备考的小伙伴们看过来，这里有你们需要知道的一切。科目1：语文考试能力要求语文科目要求你具备识记、理解、分析综合和表达应用四种能力。具体来说：识记：识别和记忆是基本功。理解：能在识记基础上进行简单的解释。分析综合：分解剖析和归纳整理，提升你的综合能力。考试内容及要求现代文部分：识记：普通话常用字的字音、常用简化汉字、常见的名句名篇。表达应用：正确使用标点符号、词语（包括成语）、辨析并修改病句、运用常见修辞。分析综合：筛选并整合文中的信息、分析文章结构、归纳内容要点。古诗文部分：理解常见古汉语字词的含义、重要句子的含义、归纳文章内容要点、概括中心意思、分析概括作者观点态度。写作：能写记叙文、议论文、说明文及其他常见实用文体。科目2：数学考试内容主要考核数学基础知识的掌握程度，兼顾一定的数学能力考查。重点知识包括：集合：了解集合的含义及表示、元素与集合的隶属关系、掌握集合间的包含、相等关系、进行集合的交、并运算。函数：了解函数的概念、会求函数定义域和函数值、了解函数图像的平移关系、理解分段函数并进行简单的计算和应用、理解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的概念、图像和性质、进行相关的简单计算和应用、理解三角函数的周期性、掌握基本诱导公式、基本恒等关系式并进行简单的计算和应用、了解正弦型曲线、二次函数的概念、图像和性质、进行相关的计算和应用。立体几何：认识并能画出简单的空间图形、理解空间点、直线、平面的位置关系、了解常见的用于推理依据的公理和定理、会进行简单命题的判定。平面解析几何：理解直线的点斜式、两点式、斜截式和一般式方程、会根据直线方程进行位置判定和进行相关计算、了解直线斜截式方程与一次函数的关系、能求两直线的交点坐标、理解圆的标准方程和一般方程、能判定直线与圆、圆与圆之间的位置关系、掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、图形、离心率和标准方程、知道它们简单的几何性质、会进行简单的综合计算。平面向量：了解平面向量及其运算的概念、几何意义、掌握平面向量的线性运算及其性质、掌握平面向量的模和数量积的概念、性质、并会用坐标进行有关运算。数列：理解等差数列、等比数列的相关概念和通项公式、知道等差中项、等比中项的概念。不等式：了解常见的不等式关系、能进行简单的不等式求解、会从问题中抽象出一元二次不等式、通过图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程之间的联系、并会求解有关问题。概率与统计：了解概率的统计定义、理解等可能事件的古典概型、会进行简单的古典概型概率计算。试卷结构语文：总分100分，考试时间90分钟，包含难题约10%、中等难度题约20%、容易题约70%。题型包括单选题（5题，每题3分，共15分）、判断题（5题，每题2分，共10分）、现代文阅读题（1题，共20分）、古诗文阅读题（1题，共15分）、作文题（1题，共40分）。数学：总分100分，考试时间60分钟，试题分选择题（每小题4分，共20分）、填空题（每小题4分，共20分）、解答题（共4小题，共计40分）。较基础题和中等难度题的分值比约为8:2。考试形式答卷方式：闭卷，笔试。数学科目不允许使用计算器。 𐟓š 准备好了吗？宜春幼儿师范高等专科学校的单招考试就在眼前，加油吧！𐟒ꀀ

𐟓š高一数学函数知识点全面解析𐟓š 𐟓–第三章：函数知识点总结求值域的方法观察法：适用于一些简单的函数。配方法：适用于二次函数形式。换元法：适用于形如xⱢcxtd的函数。特殊函数法：适用于特定类型的函数。数图像的折换分段函数：如果函数在其定义域内，对于变量的不同取值区间，有不同的对应方式。定义域：各段自变量取值范围开集（各段自变量取值范围交集为空集）。值域：各段函数在相应区间上取值集合前并集。图像：根据不同定义域上解析式分别作出，再组合整个图像。特殊函数取整数函数：对任意一个实数x，[x]表示不超过x的最大整数。常数函数：值域只有一个数的函数。四则函数的平均变化率平均变化率：一般地，当x变化时，称f(x)=f(x+)-f(x)/为函数y=f(x)在区间[x,x+]上的平均变化率。判断函数单调性：若函数f(x)在定义域的某子集I上单调，则f(x)在I上是增函数的充要条件是f(x)在I上恒成立；f(x)在I上是减函数的充要条件是f(x)在I上恒成立。引入平均变化率的作用理解和证明函数单调性。比较函数值变化快慢。为学习函数导数打下基础。解简单高次或分式不等式高次不等式：穿针引线法，移项分解因式（保证的系数为正），解出所有根，数轴上标出各根，观察不等式取范围。分式不等式：同解变形转化。函数零点存在定理如果函数f(x)在区间I上的图像是连续不断的，且f(a)f(b)<0，则函数f(x)在区间I中至少有一个点x，使得f(x)=0。二分法对于在区间I上图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数，通过不断地把函数f(x)零点所在的区间一分为三，使区间两个端点逐步逼近零点进而得到零点近似值。应用首先满足在I上图像连续不断，且f(a)f(b)<0，给定近似的精度€‚用二分法求零点的近似值，使得|b-a|/2≤€‚步骤：检查(b-a)/2是否成立，如果成立，取x=(a+b)/2，计算结束。计算(a+b)/2的中点，并对应函数值，若f((a+b)/2)=0，取a=b，否则将值赋给b，回到第一步。 𐟓š这些知识点是高一函数部分的核心内容，希望同学们能够熟练掌握，为后续的学习打下坚实的基础！

山东专升本数学必备知识点：轻松上岸！ 𐟓š 知识点3：函数的性质有界性：如果对于某个区间I上的所有x，都有|f(x)|≤M成立，那么函数f(x)是有界的。单调性：通过一阶导函数来判断：f’(x)>0表示单调递增；f’(x)<0表示单调递减。周期性：如果对于任意x∈R，都有f(x)=f(x+T)，那么函数f(x)是周期性的。常见的周期函数有y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx。奇偶性：奇函数满足f(-x)=-f(x)；偶函数满足f(-x)=f(x)。 𐟔„ 知识点4：反函数求原函数的值域y∈A。将函数y=f(x)的形式反解成x=g(y)的形式。对调x=g(y)中的x和y，并标出定义域x∈A。这样就得出了反函数y=g(x)(x∈A)。 𐟓ˆ 知识点5：复合函数已知y=f(x)，求y=f(g(x))，直接将y=f(x)中的x替换成g(x)。已知y=f(g(x))，求y=f(x)：换元法：令t=g(x)，解出x，带入函数式整理出y=f(t)，即y=f(x)。凑型法：利用公式转化凑型。分段函数复合：已知分段函数y=f(x)，求y=f(f(x))：先写出分段函数y=f(f(x))的抽象函数表达式。再根据分段函数y=f(x)的图像，确定每段中x的范围与所对应的表达式，带入y=f(f(x))。

分段函数中，等号的使用限制是什么？在高中数学中，分段函数是一个常见的概念。给定两个函数f(x)和g(x)，它们在某些区间上可能有相同的值，例如-1和0。然而，在构造分段函数时，我们需要注意等号的使用。 𐟓Œ 首先，让我们考虑两个具体的函数：f(x) = x + 1和g(x) = (x + 1)。这两个函数在x属于实数集R时，都可以取到-1和0。但是，在构造分段函数时，我们通常只选择一个函数等于某个特定值，而不是两个函数同时等于这个值。 𐟓Œ 例如，如果我们想要表示函数M(x)，它是在x属于实数集R时，f(x)和g(x)中的较大者，那么我们可能会这样定义：M(x) = max{f(x), g(x)}。在这种情况下，我们不能简单地让两个函数同时等于某个值，因为这会导致分段函数的定义变得模糊。 𐟓Œ 另外，需要注意的是，在某些情况下，两个函数可能同时等于某个值，但这并不意味着我们可以随意地在分段函数的定义中使用等号。例如，如果我们在计算M(x)时发现f(x) = g(x)，那么我们可能会得到一个更复杂的分段函数定义。 𐟓Œ 最后，为了更好地理解和应用分段函数，建议通过图像法和解析法来研究函数的性质。这样可以更直观地看到函数在不同区间上的行为，从而更好地理解等号在分段函数中的使用限制。总结来说，虽然分段函数中可以存在两个函数同时等于某个值的情况，但在构造分段函数时，我们通常只选择一个函数等于某个特定值。这是为了避免定义上的模糊和复杂性。

高中数学一轮复习：嵌套函数多根问题全解析在高中数学的复习过程中，嵌套函数的多根问题是一个重要的考点。以下是对这类问题的详细解析，帮助同学们更好地掌握解题技巧。 𐟔 求具体函数定义域已知具体函数定义域求参抽象函数定义域 𐟓ˆ 含根式换元法求函数值域分式型分离常数法求函数值域求复合函数值域已知复合函数值域求参 𐟓Š 分段函数求值已知分段函数值域求参 𐟏… 二次函数求值域二次分式求值域 𐟓ˆ 复合函数求单调性复合函数单调性求参已知分段函数单调性求参二次函数单调性求参仅利用单调性解不等式 𐟔„ 奇偶性知半求半奇偶性求值求参奇偶性单调性综合解不等式 “奇➕常”模型 𐟔 周期性求值函数性质比较大小周期➕对称➕奇偶综合求值 𐟒ᠥ𙂥‡𝦕𐥮š义求值求参幂函数图像幂函数奇偶性单调性求参 𐟒堦Œ‡数运算指数函数定义指数函数图像与性质指数函数的实际应用 𐟔⠥﹦•𐨿算对数函数定义对数函数图像与性质对数比较大小幂指对比较大小综合 𐟓Œ 函数恒过定点问题反函数对勾函数 𐟔„ 函数图像平移/翻折/对称变化函数图像判断综合 𐟔 嵌套函数多根问题 𐟓Œ 函数零点与根范围问题抽象函数问题 𐟏† 函数单变量恒成立问题函数单变量存在性问题 𐟔⠥‡𝦕𐥏Œ变量问题画图求零点根的个数问题零点所在区间问题 𐟔„ 函数不动点 𐟓ˆ 函数新定义与实际应用通过这些题型的复习，同学们可以更全面地掌握嵌套函数多根问题的解题方法，为高考做好充分的准备。

2024年广东春季高考数学大纲嘿，准备参加2024年广东春季高考的小伙伴们，你们是不是也在为数学考试范围发愁？别担心，我来帮你们整理了一份详细的数学大纲，让你们知道该复习哪些内容。准备好了吗？Let's go！𐟚€ 集合 𐟓š 集合的运算子集的概念复数 𐟌 复数的运算不等式 𐟓‰ 解一元一次不等式（组）解一元二次不等式不等式的性质基本不等式函数 𐟓ˆ 函数的定义域函数值域函数的单调性函数的奇偶性指数函数、对数函数幂函数二次函数分段函数三角函数 𐟌 三角函数的定义象限角三角函数值正负判断同角公式诱导公式和差角公式二倍角公式最小正周期三角函数的最值三角函数的图像三角函数图像的平移变换解三角形 𐟓 正弦定理余弦定理三角形的面积公式解三角形平面向量 𐟓 已知两点坐标计算向量坐标向量运算向量的位置关系模长计算夹角计算立体几何 𐟌➡️𐟌 平行证明垂直证明平行、垂直的性质空间几何体的表面积和体积异面直线所成角、直线和平面所成角统计概率 𐟓Š𐟓ˆ 统计概率常用逻辑用语 𐟓➡️𐟓 充分条件与必要条件全称量词与存在量词的否定小结 𐟓➡️𐟓 这就是2024年广东春季高考数学的考试范围啦！希望这份大纲能帮到你们，祝大家都能取得好成绩！加油，小伙伴们！𐟒갟“š

高一数学轻松搞定攻略，家长必看！嘿，亲爱的家长们！好久不见啦！今天我要跟大家聊聊一个超级重要的话题：高一数学！别急，我会给你们解锁高一数学的秘诀，让你们的宝贝在数学课上闪闪发光！首先，让我数一数，只需要花几分钟，就能掌握咱们今天的干货！话不多说，咱们开始吧！ 𐟔妠‡题来啦！𐟔劊【高一数学轻松搞定攻略！家长们速进来种草，一键三连加推荐！𐟌𑰟“š】嗨，各位超级家长们！你们一定热切地关心着宝贝在高中数学的成绩，对吧？高一数学可是初高中数学的桥梁，所以得从初中知识下手！别紧张，我会给你们逐个解析，咱们一起来搞定它！ 𐟒ᩦ–先，我们得复习二次函数、一元二次方程、三角形相似等重要的初中知识，这可是咱们高一数学的基石哦！而且，在高一阶段还要掌握集合与常用逻辑用语，对了，就是那些又高级又抽象的东西！别怕，我会用最生活化的方式教给你们，让你们秒懂！ 𐟔⦎姝€，咱们得深入了解集合的交并补运算，还有那些让人头疼的必要条件和全称命题与特称命题。咦？别急，我会拆解成超简单易懂的步骤，让你们轻松驾驭它们！ 𐟓Š嘿，函数来了！这可是个大块头，但别害怕。我们要聚焦函数的概念，图像与性质，还有那些神秘的抽象函数模型、复合函数、分段函数、图像变换，以及让函数变得"零"起飞的函数零点！看着多，其实很简单，我会带着大家一起探索，轻轻松松搞定！ 𐟓别忘了三角函数哦！学会三角函数公式，熟悉它们的图像与性质，高一数学的战斗会更加得心应手！而且，不等式部分也不能落下。我会亲自示范分式二次不等式的穿根法，还有那个超实用的均值定理！ 𐟚€别着急，别着急！我还有一个绝妙的小提示，就是高一数学上学期的同步提高视频课程！这绝对是个超神奇的武器，让你们的宝贝迅速形成数学知识体系！质量一听就知道，绝对不是盖的！ 𐟑‹好啦，家长们！相信我，高一数学不再是噩梦，而是个充满趣味的冒险！赶紧一键三连，把这份实用攻略推荐给其他需要的家长朋友们，一起加入我们的数学小分队！ ✨让我们为宝贝们点亮数学之星，一起在知识的海洋里航行！

学会这7页，看谁还不会做函数零点问题𐟙‹ ✔️零点问题的最高境界就是画图了吧，得图像者得函数！ 𐟘天津高考近两年第15题零点问题难度过大，保不齐25年26年高考会降低点难度。 ✍️除了天津特色的“带多个绝对值且含参的二次函数”零点问题非常难之外，其他大部分零点问题都是有规律有套路可循的。 1️⃣一元二次方程根的分布 2️⃣直接解方程、零点存在性定理、画图 3️⃣画图解零点个数相关问题非常好用：判断零点个数、零点求和、已知零点个数求参等 4️⃣分段函数零点问题 5️⃣复合函数零点问题（个人感觉这类是纸老虎[笑哭R]，学会了解答思路会非常简单）孩子高中学习差，家长不知道怎么办，我也是过来人，单靠孩子或者家长慢慢摸索，可能就错过了高中的学习积累关键期，所以我是找的专业的机构给孩子做学习规划。上高一的时候我们就在高途高中做规划，提供的学习方法和思路非常清晰，了解孩子目前遇到的学习问题，帮助家长给孩子制定学习规划表，高效学习，查缺补漏，专项突破不足;当然，只有自己的真实体验最靠谱，哪怕跟老师聊上一会，也比自己闭门造车强，高途高中也有free的学习规划和指导，孩子思路都会打开很多! 书本方面的话，《高途高考基础2000题》、《高途优卷》、《高中学习清单》都不错，很受用，一定要看! 一定记得去下一个高途app，高途的课程和老师在里面都可以看到，价格很多也有标注，是不是适合自己心里就有底了! 另外高途app有个比较不错的学习版块，包括题库、资料、经验分享、小游戏、小工具等等，非常全，平时多刷题、多用这些学习工具，提升才会更快，gogogo!

高中数学函数模块思维导图 𐟓š 函数定义与基本性质函数定义：设A、B是R上的非空数集，f是A到B的映射。记作f(x) = y，其中x属于A，y属于B。定义域：自变量的取值范围。对应法则：表示f(x)与y的关系。值域：函数值的取值范围。分段函数：整式函数、奇次根式函数等，各段对应的图像不同。抽象函数：通过反函数、换元法等求解。 𐟓Š 函数图像与性质图像特征：增函数图像从左到右是“上升的”，减函数图像从左到右是“下降的”。奇偶性：奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。周期性：函数f(x)的周期为T，则f(x+T) = f(x)。 𐟔 函数求解方法解析法：利用数学等式来表示两个变量的函数关系。列表法：通过表格来表示两个变量的函数关系。导数法：根据函数图像求函数的值域。反函数法：利用反函数的定义域与原函数的值域的关系求解。分类讨论法：利用函数的单调性、奇偶性等进行分类讨论。 𐟓š 常见函数模型指数函数：形如f(x) = a^x的函数，其中a > 0且a ≠ 1。对数函数：形如f(x) = log_a x的函数，其中a > 0且a ≠ 1。幂函数：形如f(x) = x^n的函数，其中n为常数。一次函数、二次函数等：根据具体形式进行求解。 𐟔 函数应用与求解策略零点判断：利用函数的单调性、奇偶性等判断零点的存在性。方程思想：将函数问题转化为方程问题，利用方程的解法进行求解。代数法与几何法：结合代数法和几何法进行求解。三分法与二分法：利用区间逼近法求函数的近似解。通过以上方法，可以高效记忆和掌握高中数学函数模块的知识，提升学习成绩。