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抛物线的切线权威发布_抛物线的方程(2024年11月精准访谈)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：观点更新日期：2024-11-29

抛物线的切线

阅读：《高等几何》(梅向明等著) 最近在读《高等几何》(梅向明等著)一书，书里包括仿射几何、射影几何、几何公理体系等内容，特别是包括了帕斯卡定理的一般证明方法（用射影几何的方法），感兴趣的朋友不妨找来一读。射影几何学是一个美不胜收的数学分支。首先我们看帕斯卡定理：圆锥曲线上的六个点，设直线与交于，与交于，与交于，则 ,, 共线。如果用传统的综合几何的方法，或者即使是解析几何，那么就算在圆的情况下，这个定理也不甚好证。更要命的是，这个定理涉及的情况太多了，比如这里说的圆锥曲线可能是椭圆、抛物线或者双曲线，六个点的顺序可能多种多样，再有可能出现某两点合并为一点的情况。要对以上各种情况逐一证明，纵然不超出普通人的能力，也超出了普通人的耐心。然而，在射影几何的情况下，以上所有情况都可以纳入到统一的证明过程中去，至简至奇，真是数学之美的最好例证。其中图（3）中的绿色线是过重复点的直线，即切线。以上三图，即使对于椭圆来说，也远远没有穷尽这个定理的全部情况。从上面的介绍还可以看出一点：即使是只给出圆锥曲线上的五个点而没有给出整条曲线，我们也可以做出该曲线过已知点的切线。第二个例子是关于极点、极线的。有的书上这样定义极点极线：过一点向圆锥曲线作任意割线，再过割线与圆锥曲线的交点作切线，每两条这样的切线有一个交点，这些交点的轨迹称为点的极线，点称为该极线的极点。而另外一些书上却是用调和比或完全四边形定义的。而奇妙的是，这两种定义方法是等效的。下面的图中，, 是两组切线的交点，, 是同样点上两组割线的交点，显然和是一条直线。绿线是切线，红线是与点对应的极线另外，我们已知二次曲线上点的切线方程为而切线与切点恰是一对极线极点。我们高兴地看到，任意点（不一定是曲线上的点）对应的极线方程，形式上和前面的切线也是一致的。最后，我们看一个简单点的例子。我们知道，对椭圆和抛物线来说，如果给定曲线外一点，总可以作两条切线。但是在双曲线的情况下，却有可能无法做出切线或者是只能做一条切线。前者是所给点为双曲线中心的情况，后者是所给点在渐近线但非中心的情况。另一方面，直线如果和椭圆相交，一定会有两个切点，而如果和双曲线、抛物线相交，则可能只有一个交点：当直线与抛物线对称轴或者双曲线的渐近线平行时。但是在射影几何看来，以上各种情况没有任何区别，以双曲线切线为例，从一般的曲线外点，固然可以做出两条切线，而当点在渐近线上时，可以认为渐近线本身就是一条切线，切点位于无穷远处。对割线的情况，如果直线与抛物线对称轴或者双曲线的渐近线平行，则一个交点是普通点，另一个交点是无穷远点。就是一个简单的“无穷远点”的引入，全部结论和谐统一。应该说，射影几何的观点比较是比较难懂的，要学会学好，必须做到两点：一是要保持开放的心态，不能始终停留在原来的境界；二是要做一定数量的习题，达到熟能生巧的程度。另外一个启示就是，虽然数学是美的，但是如果你不付出一定的辛苦，就无法体会到，而你学得越是深入，就越能领会到其中的简洁、奇妙、统一、严谨。

天星45套 𐟌Ÿ 2025版新高考模拟试卷汇编 𐟌Ÿ 主编：壮志建基福卷：优秀模拟试卷汇编 𐟓š 内容概览： 1. 2024年南京市高三模拟考试数学卷 2. 2024年长沙市高三模拟考试数学卷 3. 2024年济南市高三模拟考试数学卷 4. 2024年合肥市高三模拟考试数学卷 5. 2024年金华市高三模拟考试数学卷 6. 2024年太原市高三模拟考试数学卷 7. 2024年石家庄市高三模拟考试数学卷 8. 2024年武汉市高三模拟考试数学卷 9. 2024年郑州市高三模拟考试数学卷 10. 2024年南昌市高三模拟考试数学卷 𐟓– 二级结论精选： 1. 代数运算6大二级结论 2. 三角函数等式mA+58月+ta 3. 空间几何9大二级结论 4. 积化和差 (a+8)-cm(a-=) 5. 错位相减法 6. 等比数列的前n项和公式 7. 直线与平面š„交点公式 8. 正四面体的内切球半径公式 9. 正四面体的外接球半径公式 10. 双曲线的离心率公式 11. 抛物线的焦点三角形相关结论 12. 椭圆与直线的切线方程 13. 双曲线与直线的切线方程 14. 双曲线的第三定义的应用 15. 椭圆的第三定义的应用 𐟓š 电子版下载：请访问天星教育官网或相关论坛获取电子版链接。

椭圆二级结论，助你轻松考140！大家好！今天我们来聊聊那些能帮你轻松考到140分的椭圆二级结论。其实，这些结论不仅仅是解题的钥匙，更是你数学思维的一种提升。所以，赶紧拿起笔记本，准备好了吗？Let's go！𐟚€ 焦点与顶点关系首先，椭圆的两个焦点到顶点的距离之和等于长轴长。这个结论看起来简单，但在解题时却非常实用。比如，已知椭圆的一个焦点和顶点坐标，就能轻松算出另一个焦点的坐标。切线与法线椭圆的切线与法线之间的关系也是一大法宝。切线的斜率乘以法线的斜率等于-1。这个结论在解决切线问题时非常方便，不用再去费心费力地算斜率。焦点与切线关系椭圆的焦点到切线的距离等于顶点到切线的距离乘以离心率。这个结论在解决焦点和切线相关的问题时非常实用，特别是当题目涉及到离心率时。焦点与法线关系最后，椭圆的焦点到法线的距离等于顶点到法线的距离除以离心率。这个结论在解决焦点和法线相关的问题时也非常方便，特别是当题目涉及到离心率时。这些结论只是冰山一角，还有很多其他的二级结论等着你去发现和记忆。每天花点时间，一点点积累，相信不久的将来，这些结论会成为你数学解题的得力助手！𐟒ꊊ双曲线和抛物线也会跟上！会每天持续更新，多多关注哦！𐟎‰

初中生自出难题：这就是初中数学的巅峰吗？最近闲着没事，自己琢磨了一道题，感觉这难度简直爆表，至少比我见过的所有中考压轴题都要难得多。希望大家别嘲笑我的无知，毕竟我觉得这题真的很有挑战性。抛物线与对称轴 𐟧œ襹𓩝⧛𔨧’坐标系xOy中，有一条抛物线T：y = x^2 - 5x - 6。这条抛物线分别与x轴和y轴交于M、N两点。它的对称轴是直线a。然后在x轴负半轴上有一个动点W，作射线平分LNOW。第三象限内还有一个动点R，以R为圆心作OR分别与射线L和y轴相切于V、S两点。过点R分别引抛物线T的切线RP、RQ（点P在点Q左侧，点Q在直线a左侧），连PQ、WR、OR、SR。三角形面积与直角三角形 𐟓 第一问：如果△PRQ的面积为2，且AORW为直角三角形，直接写出W点的坐标。这个问题看似简单，但其实需要你运用各种几何知识来求解。我自己算了好几次才搞定，真的不容易。线段PQ的定点 𐟓 第二问：求证：当点P运动时，线段PQ所在直线过一定点。这个问题需要你证明一个结论，虽然看起来很简单，但实际做起来却需要一定的数学基础和技巧。我自己花了不少时间才搞明白。四边形HJLK的覆盖 𐟔 第三问：已知AHJO和△SRO关于原点0对称，过点Q作射线的平行线LK，且点K、L分别在y轴和x轴上连J。以同一平面直角坐标系内的动点D为圆心，R为半径作D，且D可以将四边形HJLK完全覆盖。当6LK = 11MN时，直接写出R的最小值。这个问题真的是个大难题，需要你运用各种几何知识和技巧来求解。我自己算了好几次才搞定，真的不容易。总结 𐟓 总的来说，这道题真的很有挑战性，不仅考察了各种几何知识，还考验了你的解题能力和耐心。希望大家不要嘲笑我的无知，毕竟我觉得这题真的很有趣。如果你也觉得这题有意思，不妨自己试试解一下，看看能不能比我做得更好！

伟大的牛顿的伟大的微积分，居然被我发现了错误的地方，太好玩了。剧烈思想碰撞中，我‘从科学上数学上’发现，在‘微分’中，当趋近于0的时候，‘导数’就可以用‘这一点的切线的斜率’代替‘真实的变化曲线’（近似相同，‘误差’可以‘忽略不计’）。但今天，剧烈思想碰撞中，我‘从科学上发现’，当‘积分’（把这些‘瞬间变化’‘累积起来’）的时候，这些’误差’也会‘被累积起来’，使‘误差’变得‘足够大’，‘无法被忽略’（特别是‘像抛物线’这一类，‘变化曲线’都‘弯向一边’，‘积分把‘这些瞬间变化’‘累积起来’的时候，‘无法把这些误差’‘相互抵消’的时候，这些‘误差’‘足够大’，‘这些误差’‘将不能再被忽略’。太好玩了）。伟大的牛顿的伟大的微积分，居然被我发现了错误的地方，太好玩了。太好玩了。太好玩了。这无疑是‘震撼世界的伟大数学科学发现和科学突破’之一吧。太好玩了。

普宁二中最近买了《五三 2025基础版》这本书，这星期一直在看题。结果，竟然在书里发现了普宁二中的题目，真是有种偶遇“亲人”的感觉，太惊喜了哈哈哈。普宁二中加油！二中人加油！𐟒ꊊ书里有一道题是这样的：已知双曲线C的方程为 =1(a>0,b>0)，它的一条切线与渐近线交于A、B两点，设点A、B的中点为M。求点M到y轴的距离的最小值。这道题正好是2024届广东普宁二中第一次月考的题目，真是巧了。还有一道关于抛物线的题：已知抛物线C的方程为 =2px(p>0)，焦点为F(0,2p)，点A为C上一点，且AF=9。若直线AF的斜率为120Ⱟ𜌥ˆ™IPFI=？这道题也是普宁二中的月考题，真是让人怀念啊。这本书里的题目真是五花八门，不仅有双曲线、抛物线，还有椭圆等各种题型。每一道题都像是一个小故事，让人欲罢不能。如果你也是普宁二中的学生，或者对数学有兴趣，强烈推荐这本书！𐟓š 总之，这次在《五三》里偶遇普宁二中的题目，真是意外的惊喜。希望普宁二中的同学们都能在高考中取得好成绩！𐟒

初三数学知识点（三）：圆的部分 ### 圆的基本性质 𐟌• 圆的定义：圆是由在同一平面内，到定点距离等于定长的所有点组成的集合。弦、直径：弦是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心的弦。弧、等弧、优弧、劣弧、半圆：这些都是根据弧的长度来定义的。弦心距：从圆心到弦的垂线段的长度。等圆、同圆、同心圆：这些是根据圆的大小和位置来区分的。 “三点定圆”定理：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆。垂径定理及其推论：垂径定理是说，从圆心到弦的垂线段的长度等于弦的一半。 “等对等”定理及其推论：如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角也相等。与圆有关的角 𐟌 圆心角定义：等于所对的弧的度数。圆周角定义：等于所对的弧的一半。弦切角定义：弦切角等于所对的弧的一半。直线和圆的位置关系 𐟚— 三种位置及判定与性质：相离、相切、相交。切线的性质：切线垂直于半径，且过切点。切线的判定定理：通过已知条件判定切线。切线长定理：切线长等于半径加半径。圆换圆的位置关系 𐟌€ 五种位置关系及判定与性质：外离、外切、相交、内切、内含。相切（交）两圆连心线的性质定理：连心线垂直于两圆的公共弦。两圆的公切线：定义和性质。与圆有关的比例线段 𐟓 相交弦定理：相交弦的比例等于它们所对的弧的比例。切割线定理：切割线的比例等于它所对的弧的比例。与正多边形 𐟐 圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）。三角形的外接圆、内切圆及性质。圆的外切四边形、内接四边形的性质。正多边形及计算：中心角、内角的一半等。一组计算公式 𐟓 圆周长公式：C = 2。圆面积公式：S = ⲣ€‚ 扇形面积公式：S = (360) 㗠ⲯ𜌥…𖤸편是扇形的中心角。弧长公式：L = 㗠r，其中˜良秚„角度。弓形面积的计算方法：弓形面积 = 扇形面积 - 三角形面积。圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算：圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形。点的轨迹 𐟌ˆ 六条基本轨迹：抛物线、双曲线、椭圆、圆的轨迹等。有关作图 𐟖Œ️ 作三角形的外接圆、内切圆。平分已知弧。作已知两线段的比例中项。等分圆周：4、8;6、3等分。基本图形 𐟓œ 重要辅助线 𐟛 ️ 作半径。见弦往往作弦心距。见直径往往作直径上的圆周角。切点圆心莫忘连。两圆相切公切线（连心线）。两圆相交公共弦。

高中数学抛物线全解析：定义、性质与应用 ### 抛物线的定义 𐟎Š›物线是平面内与一个定点F和一条定直线l（F∉l）距离相等的点的轨迹。这个定点F叫做抛物线的焦点，而定直线l则是准线。如果F在l上，那么动点的轨迹就是l的垂线，垂足为点F。抛物线的方程、图形及性质 𐟓ˆ 抛物线的标准方程有四种形式： y^2 = 2px y^2 = -2px x^2 = 2py x^2 = -2py (p > 0) 这些方程的一次项与对称轴一致，而一次项系数的符号决定了开口方向。方法技巧与总结 𐟛 ️ 点P(x0, y0)与抛物线y^2 = 2px (p > 0)的关系： P在抛物线内（含焦点）⇔ y0^2 < 2px0 P在抛物线上⇔ y0^2 = 2px0 P在抛物线外⇔ y0^2 > 2px0 焦半径 𐟓 抛物线上的点P(x0, y0)与焦点F的距离称为焦半径。若y^2 = 2px (p > 0)，则焦半径|PF| = x0 + p/2，最小焦半径为p/2。 p的几何意义 𐟓 p为焦点F到准线l的距离，即焦准距。p越大，抛物线开口越大。切线方程和切点弦方程 𐟔ꊦŠ›物线y^2 = 2px (p > 0)的切线方程为y0y = p(x + x0)，(x0, y0)为切点。切点弦方程为y0y = p(x + x0)，点(x0, y0)在抛物线外。与中点弦平行的直线为y0y = p(x + x0)，此直线与抛物线相离，点(x0, y0)（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果。抛物线的通径 𐟌‰ 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径。对于抛物线y^2 = 2px (p > 0)，由A((p/2), p)，B((p/2), -p)，可得|AB| = 2p，故抛物线的通径长为2p。弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系 𐟓 y0 = p/k 焦点弦的常考性质 𐟌Ÿ 已知A(x1, y1)、B(x2, y2)是过抛物线y^2 = 2px (p > 0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN⊥l，N为垂足：以AB为直径的圆必与准线l相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； FN⊥AB，FC⊥FD； x1x2 = p^2/4；y1y2 = -p^2；设BD⊥l，D为垂足，则A、O、D三点在一条直线。这些性质在解题时非常有用，掌握好这些知识点，可以更好地理解和应用抛物线。

手雷已是现代战争中的常规武器，为什么中国部队还在用木柄手榴弹？第一，同等条件下，木柄手榴弹比甜瓜形手榴弹扔得远些，这是因为投弹手投弹时，要做一个弧形的圆周运动动作，木柄握把相当于延长了运动半径，而弹体会沿这个运动曲线的切线方向飞出去。当运动半径越大时，则弹体获得的线速度越大，即飞出时的初速度越大，由抛物线原理可知，初速越大则水平射程就越远。这就是木柄手榴弹的优势。第二，木柄手榴弹是进攻型榴弹，专门为堑壕战设计的。填充较多的炸药并用薄薄的外壳包裹，目的是利用爆炸的冲击把战壕里的敌人掀翻在地。理想情况是冲锋时投出手榴弹，爆炸后敌人被镇倒，此时进攻方士兵也正好冲上来再把敌人消灭。另外，由于不产生大量的弹片，即使冲锋的士兵正赶上自己投出的手榴弹，受伤的情况也轻得多。第三，我觉得有两个原因，一是木柄手榴弹，比卵形的手榴弹投掷的远，投掷点更准。以前开运动会时分别用过两种手榴弹，木柄手榴弹优势明显。二是安全性，卵形手榴弹是压发，靠机械方式延时，容易误触发。而木柄手榴弹是拉发，靠拉力触发，所以安全的多。小日本为保证其安全性，还增减了敲击动作。拉掉引爆环后，需在硬物上敲击一下才能使引爆触发，进一步增加了安全性。第四，卵型手雷分进攻型手雷和防御型手雷，进攻型手雷主要靠冲击波杀伤敌人，适合使用于巷战和进攻坚固并狭窄的防御工事，防御型手雷蛋体内装填了钢珠或很多细小的破片，主要用于杀伤密集型进攻队伍，例如坚守阵地用来杀伤敌方的进攻人员，阻滞效果好。木柄式手榴弹也是同样的区分，但这种弹有两个优点是卵形手雷无法企及的，那就是投掷距离和装药量，木柄式手榴弹几乎是卵形手雷投掷距离的两到三倍，至于装药量，呵呵说句不好听的，木柄式手榴弹可以一个弹弄到20斤一枚依然可以甩出去一二十米远，卵形你能丢出去5米你就是超人。第五，木柄优势一是投掷距离远，特别是卧姿、隐蔽姿势；二是威力大，符合我军火力不足恐惧症；三是适应性强，不滚坡，可仰攻，可野可巷，适合连续作战；四是拉发结构比压发安全，适合强行军和大机动；五是方便捆扎，在呼叫协同不便时能够实现爆破等作用。当然，木柄携带和运输也是有缺点的。第六，中国部队仍然使用木柄手榴弹的原因主要有以下几个方面：①库存量大：中国军队储备了大量的木柄手榴弹，许多尚处于可使用阶段。为了消耗这些库存，中国部队不得不继续使用木柄手榴弹。②成本低廉：木柄手榴弹的制造原理简单，造价相对较低。相比之下，新式手雷的造价要高得多，因此使用木柄手榴弹可以节约军费开支。③历史情怀：木柄手榴弹在中国军队中有着特殊的历史意义和情怀。特别是在抗日战争时期，木柄手榴弹是重要的武器之一，这种传统在一些战士心中仍然根深蒂固。④训练用途：在许多演习场合，木柄手榴弹被用作训练用弹，以保持部队的投弹技能和战术熟悉度。你觉得哪一个观点更有说服性？欢迎留下你客观的见解。

高中数学知识点全梳理（手写版） ### 代数 𐟓š 方程与不等式 𐟧𘀥…ƒ线性方程与不等式一元二次方程与不等式高次方程与方程组分式方程与不等式对数与指数方程与不等式函数 𐟎Ÿ𚦜쥇𝦕𐯼ˆ线性、二次、幂、指数、对数）函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）函数的图像与变换复合函数与反函数数列与极限 𐟧銧퉥𗮣€等比数列无穷级数与极限连续性与导数的预演几何 𐟓 平面几何直线与圆三角形、多边形的性质与计算相似与相似形的性质坐标几何立体几何立体图形的体积与表面积空间直线与平面的位置关系空间向量基础解析几何直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质极坐标、参数方程的应用三角函数 𐟌 三角比与三角恒等式三角函数的性质三角方程与三角函数图像诱导公式与和差化积公式概率与统计 𐟓Š 概率基础随机事件与概率条件概率与独立事件统计统计量（均值、中位数、众数、标准差、方差）数据分布与频率分布表假设检验与相关性分析微积分初步 𐟓ˆ 极限与连续导数与微分导数的定义与计算导数的应用（如切线方程、极值与最值）积分定积分的概念与基本积分公式定积分的应用（如面积、体积求解）

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