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矩阵乘法公式权威发布_矩阵乘法公式excel(2024年12月精准访谈)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：观点更新日期：2024-12-03

矩阵乘法公式

数学之美：矩阵的奇妙世界数学家牛顿曾经说过：“如果你对女人还有兴趣，说明你对数学之美一无所知。”虽然我最近在博士学习中没有放弃对女人的兴趣，但我越来越觉得数学的美是一种更高级的美。最近我一直和矩阵打交道，这里就简单分享一下矩阵的美丽之处。以下内容只会出现一条公式，请放心阅读。首先，根据矩阵的特征值公式Ax = （没错，这就是唯一的公式），A是矩阵，x是向量，也叫做矩阵A的特征向量，𜈥𘌨…Š字母lambda）叫做A矩阵的特征值。这个表达式的含义是，一个向量乘以某一个特定的系数，等于一个向量乘以一个矩阵。这句话真的太不可思议了，要知道矩阵可是一个方阵，在点乘运算中居然等价于和一个平平无奇的数字相乘，而这背后的原理正是矩阵的魅力所在。说回上面的公式，等式右边是一个向量乘以一个系数，这可以简单理解成把一个向量扩大相应的倍数。比如一个向量是（2，1），在坐标系上画出来就是一个箭头从原点指向（2，1）这个点。当这个向量乘以3，也就是扩大三倍后，在坐标系上就变成了一个箭头指向了（6，3）。这时候再看等式左边，矩阵和向量相乘后居然也是扩大三倍的效果！多么不可思议！以上说明了矩阵乘法的本质其实就是线性变换，通过和矩阵相乘来达到让向量伸缩或者旋转的目的（旋转的例子篇幅有限这里先不介绍，总之肯定是有就对了）。曾经的数学家们偶然间发现了Ax = 这个现象，再经过不断探索，发现了矩阵不止有一个特征值，即通常对于一个n x n的矩阵，本身会有n个不同的特征值，也就有n个对应的特征向量x，用以满足上述公式。于是，最终将矩阵写成特征向量集合乘以对角矩阵，即特征值分布在对角线上的矩阵的形式（如图2），就是矩阵的分解。通过上述分解，如同把矩阵解剖了一样，直达矩阵性质的本质。比如把原始矩阵（如图3左）分解后，不保留全部只保留部分值较大的特征值，再重新把分解的部分相乘，就像拆开机器换个零件再组合成原样，我们发现得到后的矩阵（如图3右）虽然不如原始矩阵清晰，但大部分特征都有所保留。由于篇幅有限，且为了增加易读性，本文牺牲了很多数学上的严谨性，只为大家能感受到数学的美。这种美悠远而绵长，历久而弥新，令人欲罢不能，回味无穷。

LLM模型背后的数学原理大揭秘 𐟓š LLM（大型语言模型）的数学原理主要涉及以下几个方面：概率论和统计学 𐟓Š 语言模型：LLM的核心是一个基于概率论的语言模型，用于估计在给定上下文的情况下，下一个词出现的概率。这种概率估计通常使用条件概率公式表示，即P(下一个词 | 上文)。神经网络训练：LLM的训练过程是通过调整模型参数，使得模型在训练数据上的预测概率分布尽可能接近真实概率分布。这涉及到最大似然估计、损失函数（如交叉熵）等统计学概念。词嵌入：LLM通常使用词嵌入（word embeddings）将单词表示为向量，使得语义相似的单词在向量空间中距离更近。词嵌入的训练方法通常基于统计学中的分布式假设（distributional hypothesis）。线性代数 𐟧Ÿ驘𕨿算：LLM中的模型参数通常以矩阵的形式存储，模型的计算过程涉及大量的矩阵运算，如矩阵乘法、转置、求逆等。向量空间：词嵌入将单词表示为向量，这些向量存在于高维向量空间中。LLM的计算过程可以看作是在这个向量空间中进行的线性变换和非线性激活。微积分 𐟎“ 梯度下降：LLM的训练过程通常采用梯度下降算法，通过计算损失函数对模型参数的梯度，并沿着梯度的反方向更新参数，以最小化损失函数。反向传播：反向传播算法是计算梯度的一种高效方法，它利用链式法则，从输出层开始逐层向输入层传播误差信号，从而计算每个参数的梯度。信息论 𐟓ˆ 熵与互信息：熵用于衡量信息的不确定性，互信息用于衡量两个随机变量之间的相关性。在LLM中，熵和互信息可以用于评估模型生成文本的质量和多样性。 Transformer架构 𐟤– 自注意力机制：Transformer架构的核心是自注意力机制，它允许模型在处理序列数据时，对不同位置的元素赋予不同的权重，从而更好地捕捉上下文信息。多头注意力：多头注意力机制是自注意力机制的扩展，它通过并行计算多个自注意力，然后将结果合并，从而提高模型的表达能力。这些数学原理共同支撑着LLM模型的强大功能，使其能够理解和生成自然语言文本。

数学漫画书：让线性代数变得有趣！在数学的奇妙世界里，有些内容可能会让孩子们觉得枯燥无味。但你知道吗？只要我们用一种有趣的方式呈现这些内容，孩子们的学习热情就会被瞬间点燃！ 𐟓š 欧姆社学习漫画系列的线性代数就是这样一本充满趣味性的书。它通过生动的漫画形式，向孩子们介绍了线性代数的基本概念和重要公式。孩子们可以在一个轻松愉快的氛围中学习，不知不觉中提高自己的数学素养。 𐟎젥œ訿™本书中，矩阵的概念被巧妙地比喻成一张表格，表格中的每个元素都代表一个小动物。孩子们可以通过想象这些小动物之间的互动，来理解矩阵的乘法运算。这样的比喻让复杂的概念变得简单易懂，孩子们也会觉得非常有趣。 𐟎�䖯𜌤𙦤𘭨😨𚆨䚥𐏦𘸦ˆ和练习题，让孩子们在巩固知识的同时，感受到学习的乐趣。这些游戏和练习题不仅可以帮助孩子们巩固线性代数的基本概念，还能培养他们的逻辑思维能力。 𐟌Ÿ 总之，欧姆社学习漫画之线性代数是一本寓教于乐的好书。如果你希望让孩子在学习数学的过程中感受到快乐，那么不妨让他们读这本书吧！相信他们会爱上这种全新的学习方式！

数学公式大全：从基础到进阶 𐟓 距离公式两点间的距离公式：AB = √[(x2 - x1)Ⲡ+ (y2 - y1)ⲝ 直线到点的距离公式：d = |Ax + By + C| / √(AⲠ+ Bⲩ 𐟔𕠤𘉨璥‡𝦕𐥅쥼 正弦函数：sin(x) 余弦函数：cos(x) 正切函数：tan(x) = sin(x) / cos(x) 𐟓ˆ 圆的方程标准方程：(x - a)Ⲡ+ (y - b)Ⲡ= rⲊ一般方程：xⲠ+ yⲠ+ Dx + Ey + F = 0 𐟔𔠧›𔧺🤸Ž圆的位置关系相交：d < r 相切：d = r 相离：d > r 𐟟 两圆的位置关系外离：d > R + r 外切：d = R + r 相交：R - r < d < R + r 内切：d = R - r 内含：d < R - r 𐟟ᠥ‘量公式向量点积：a ⷠb = |a| |b| cos向量叉积：a 㗠b = |a| |b| sin 𐟔𘠦•𐩇积与向量积数量积：a ⷠb = |a|ⲠcosⲎ𘊥‘量积：a 㗠b = |a| |b| sinⲎ𘊊𐟔𙠦衤𘎦–𙥐‘ 模：|a| = √(aⲠ+ bⲩ 方向：= arccos(a ⷠb / |a| |b|) 𐟔𛠥䍦•𐥅쥼 复数乘法：(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i 复数共轭：a + bi 的共轭是 a - bi 𐟔𕠧Ÿ驘𕥅쥼 矩阵乘法：A 㗠B = C 矩阵转置：A' = [a'11, a'12, ..., a'nm] 矩阵行列式：|A| = ∑(-1)⹂𙡱1a22...an1an2...anm 𐟟 微分方程一阶微分方程：dy/dx = f(x, y) 二阶微分方程：dⲹ/dxⲠ= f(x, y, dy/dx) 𐟔𘠦悧Ž‡与统计期望值：E(X) = x * P(x)) 方差：Var(X) = E[(X - E(X))ⲝ 𐟔𙠧𛄥ˆ与排列组合数：C(n, k) = n! / (k! (n - k)!) 排列数：P(n, k) = n! / (n - k)! 𐟔𛠦•𐥭楅쥼大集合这里列出了各种数学公式，从基础到进阶，涵盖了各种数学领域。无论你是学生、教师还是数学家，这些公式都将为你提供宝贵的参考。

𐟓š线代期末速成秘籍𐟒ኰŸ”二行列式计算：公式和技巧 𐟔三角形行列式：上三角和下三角的求解方法 𐟔范德蒙行列式：特点与求解公式 𐟔余子式与代数余子式：定义和计算方法 𐟔拆和法与拉普拉斯公式：行列式的计算技巧 𐟔矩阵的乘法与性质：矩阵相乘的规则和性质 𐟔抽象矩阵求逆矩阵：方法与步骤 𐟔数字型矩阵求逆矩阵：具体实例与解析 𐟔矩阵的秩：定义与计算方法 𐟔判别向量组的线性相关性：方法与实例 𐟔齐次方程组的基础解系与通解：求解步骤与解法 𐟔非齐次方程组的求解：特解与通解的求法 𐟔带参数方程组的求解：参数对解的影响掌握这些技巧，线代期末轻松过关！𐟎‰

考研数学二大纲全解析！ 𐟓š 考研数学二大纲详解 𐟔 考试科目：高等数学、线性代数 ⏰ 考试形式：闭卷笔试，共180分钟 𐟓Š 试卷结构：试卷满分150分单选题：10题，每题5分，共50分填空题：6题，每题5分，共30分解答题：6题，共70分 𐟓ˆ 微分学部分占118分，线代部分占32分 𐟓š 高等数学函数、极限、连续导数和微分不定积分与定积分多元函数微积分学常微分方程 𐟓š 线性代数行列式矩阵向量线性方程组矩阵的特征值与特征向量二次型 𐟓ˆ 详细大纲内容：函数的概念及表示法：函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。复合函数、反函数、分段函数，以及函数的图形和性质。导数和微分的概念：导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系。导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。不定积分与定积分：原函数的概念，不定积分的性质和基本积分公式。定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，定积分的换元积分法和分部积分法。多元函数微积分学：多元函数的概念，二元函数的几何意义。多元函数的极限与连续性，多元函数的偏导数和全微分，多元复合函数和隐函数的求导法。二重积分的概念、基本性质和计算方法。常微分方程：常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程。线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程。线性代数：行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理。矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幂，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质。矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵的等价。分块矩阵及其运算。向量的概念，向量的线性组合与线性表示，向量的线性相关与线性无关。向量的极大线性无关组，向量组的秩。矩阵的特征值与特征向量的概念和性质，相似矩阵的概念及性质。实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵，二次型的标准形和规范形。二次型及其矩阵的正定性。差分与差分方程的概念，差分方程的通解与特解，一阶常系数线性差分方程。微分方程的简单应用。

线性代数和高数哪个难 𐟑‹ 嘿，小伙伴们！今天咱们来聊聊两个让人又爱又恨的数学学科——线性代数和高数！𐟤” 我自己呢，是数学系的一枚小菜鸡，这两个学科都啃过，所以今天就来和大家分享分享，到底哪个更难，哪个又让我更头大吧！𐟘‚ 1. 入门难度：高数，从基础到抽象；线性代数，矩阵初体验！高数嘛，一开始真的是从基础开始，什么极限、导数、积分，一步步带你走进数学的奇妙世界。𐟓š 但随着课程的深入，那些抽象的概念和公式就开始让我头疼了。𐟤‰𙥈릘賂𐤺†多元函数微积分，那简直是让我怀疑自己是不是学错了专业！𐟘‚ 而线性代数呢，一开始就是矩阵、行列式，这些看似简单实则深藏不露的东西。𐟧 我记得我第一次看到矩阵乘法的时候，真的是一脸懵，心想：“这啥玩意儿啊？”𐟤” 但后来多做了几道题，慢慢就上手了。 2. 解题技巧：高数，公式满天飞；线性代数，变换有奇招！高数的解题，真的是公式满天飞啊！𐟓– 每当我看到那些复杂的公式，就感觉自己像是在看天书一样。𐟓œ 但好在，只要掌握了那些基本的公式和解题技巧，就能慢慢找到解题的思路。𐟒ᠨ€Œ线性代数呢，解题更多的是靠变换。𐟔„ 无论是求逆矩阵、解线性方程组，还是求特征值和特征向量，都需要你灵活运用各种变换技巧。我记得有一次，我为了解一个线性方程组，愣是用了好几种变换方法，才终于找到了答案。𐟘… 3. 抽象程度：高数，抽象思维挑战；线性代数，几何直观助力！高数真的是一门非常抽象的学科。𐟤‚㤺›极限、连续、可导、可积的概念，真的是让人摸不着头脑。𐟤” 特别是到了实变函数和复变函数的部分，更是让我感觉像是在云里雾里。𐟌미 而线性代数呢，虽然也有很多抽象的概念，但好在它有几何直观来助力。𐟓 无论是向量空间、线性变换，还是正交分解，都可以通过几何图形来辅助理解。我记得有一次，我为了理解一个线性变换，特意画了一个几何图形，结果一下子就明白了。𐟘„ 4. 应用领域：高数，物理工程离不开；线性代数，计算机科学最爱！高数在物理和工程领域的应用真的是无处不在。𐟔젦— 论是力学、电磁学，还是热力学，都需要用到高数的知识。𐟓š 而线性代数呢，在计算机科学领域的应用更是广泛。𐟒𛠦— 论是图像处理、机器学习，还是数据压缩，都离不开线性代数的支持。我记得有一次，我参加了一个机器学习的比赛，结果发现里面涉及到的很多算法都离不开线性代数的知识。𐟘5. 学习方法：高数，多做题多总结；线性代数，理解概念是关键！高数的学习，真的是需要多做题多总结。𐟓– 只有通过大量的练习，才能慢慢掌握那些复杂的公式和解题技巧。𐟒ᠨ€Œ线性代数呢，理解概念才是关键。𐟧 只有真正理解了那些概念，才能灵活运用各种变换技巧来解题。我记得有一次，我为了理解一个概念，特意花了一整天的时间去查阅资料、看教学视频，结果终于明白了。𐟘„ 6. 个人感受：哪个更难，因人而异！说了这么多，其实线性代数和高数哪个更难，真的是因人而异。𐟤” 有些人可能觉得高数太抽象了，根本学不会；而有些人则觉得线性代数的变换技巧太难了，根本掌握不了。𐟘려𝆦ˆ‘觉得吧，只要我们用心去学，找到适合自己的学习方法，无论是线性代数还是高数，都能学好！𐟒ꠦ‰€以啦，小伙伴们，不要害怕挑战，勇敢地去追求自己的梦想吧！𐟚€ 好啦，今天就和大家聊到这里啦！𐟑‹ 希望我的分享能对你们有所帮助哦！𐟘„ 如果你们有任何关于线性代数或高数的问题，都可以随时来问我哦！𐟒쀀

深度思维：如何优化流程与提升格局？ ✍️ 每天都写日记真是太难了，尤其是今天，简直难上加难。不过，虽然写得辛苦，但也有收获。比如，发现笔写得飞快，每写一行就得洗一次笔，用纸巾擦干再写，这样效率高多了。 ❤️ 了解自己也是很重要的。我在Excel表格上梳理了自己的“补血项”和“失血项”，对未来的方向和规划更加清晰了。周末我会全面分析，然后存档。 𐟓– 「深度思维」P4：流程思维 ⭕️ 一件复杂的事情由多个流程步骤组成，把每一个流程、步骤都进行优化，做到（接近）最好，就叫“全流程优化”。 ❌ 秘籍型思维把复杂的东西简单化，企图用一个相对简单的秘籍替代复杂的成功规律。这种思维放大了一定作用的东西至万能和唯一，放弃了对其他事物的观察和学习，导致无可避免的失败。 𐟆• 全流程优化的理念看起来很平凡，但它能在平凡中创造奇迹。全流程优化在计算成本时适用加法，在计算成果时适用乘法，是指数模型。假设某事六个流程每个优化30%，则可得4.83倍的效果，具有复利威力。 𐟆• 每漏掉一些流程，就会漏掉一些效率，减少了复利公式中的指数。 𐟔砦�꤯𜚥𐆤𛻥Š᥈†为多个流程，逐个优化。 ➡️ 流程分类与优化 1⃣️ 顺序型（流程随时间展开，前后流程影响小）、连贯型（前后流程紧密联系，前一个影响后一个），连贯性流程才有复利效果。 2⃣️ 并行结构（有备用资源和其他选项）、串型结构（无以上），后者风险大。 ⚠️ 如果没有足够资源全流程优化，则优先优化最容易和最重要的流程，判断方式见矩阵分析法部分。 P5：宏观思维-格局升级生态思维生态思维的核心原理：由于生态中的事物是广泛关联的，所以个体事物的发展趋势、状态变化和各种选择并不是随机的，也不是完全自主决定的。因此，你思考某个事物的时候，不应仅仅思考这个个体，还应思考他所处的整个生态——他周围的环境以及他与环境的关系。衍生模型： 1⃣️ 淘金模型：本质是共生模型，不要只看到竞争者，关注淘金背后的生态中共生的可能性。 2⃣️ 森林模型：生态位模型，物种在生态中的位置，包括时间、空间和食物种类。 3⃣️ 池塘模型：平台模型，创造小平台也有大收益。系统思维 1⃣️ 线性因果不能理解系统问题，系统动力环里事件互为因果，要在更高的层面上解决问题。 2⃣️ 系统不等于部分之和，分解思维简化过度，结论失真。 3⃣️ 系统是动态的。 4⃣️ 系统中的因果是循环的、模糊的。应对：区分节点和流向是否能改变，改变可变部分。步骤：绘制系统动力图、识别可调整流向和节点，改变、打断恶性循环。设计良性系统。规划动力图，形成增强循环系统。执行循环系统。

线性代数思维导图：行列式与矩阵 𐟓š 线性代数第一章：行列式 𐟔 行列式的定义行列式是一个数值，表示矩阵的线性变换的体积。定义方式：符号确定，偶排列为正号，奇排列为负号。 𐟔 行列式的展开式按行列展开的公式：det(A) = sum(aij*det(Aij))，其中Aij是去掉第i行和第j列的子矩阵。展开式可以按照不同的行或列进行。 𐟔 行列式的性质转置行列式：AT = AD = D。互换两行：行列式变号。两行成比例：行列式为0。两行相等：行列式为0。行列式中某一行所有元素都为0，则行列式为0。 𐟔 行列式的计算方法上三角行列式：选择上三角矩阵，利用高斯消元法计算。下三角行列式：选择下三角矩阵，利用高斯消元法计算。利用拉普拉斯展开法，选择不同的行或列进行展开。 𐟔 行列式的应用克拉默法则：用于解线性方程组，当系数矩阵行列式不为0时，方程组有唯一解。逆矩阵计算：利用行列式计算逆矩阵。特征值与特征向量：利用行列式计算特征值与特征向量。 𐟓š 矩阵的思维导图矩阵的概念与性质。矩阵的运算：加法、减法、乘法、转置等。矩阵的逆运算：求逆矩阵的方法。矩阵的特征值与特征向量。

2025考研数学大纲解析𐟓š 𐟓– 数学二大纲解析高等数学与线性代数考试形式：闭卷笔试，共180分钟试卷结构：满分150分，单选题10题，每题5分；填空题6题，每题5分；解答题6题，共70分。高数部分占118分，线代部分占32分。考试内容与要求导数与微分：理解导数和微分的概念，掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性。积分：理解原函数的概念，掌握不定积分的基本公式和性质，理解定积分的中值定理，掌握换元积分法和分部积分法。多元函数微积分：了解多元函数的概念，掌握多元函数的偏导数和全微分的概念，会求多元复合函数的一阶、二阶偏导数。常微分方程：了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念，掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。线性代数大纲解析行列式：理解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。矩阵：理解矩阵的概念，掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。向量：理解n维向量的概念，掌握向量的线性组合与线性表示的概念，了解向量组的线性相关与线性无关的概念。线性方程组：会用克拉默法则，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。矩阵的特征值与特征向量：理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。二次型：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理。 𐟓ˆ 概率论的变化概率论在数学二中有一些变化，主要体现在以下方面：概率论的基本概念和性质有所调整。概率论的应用题目可能会有所增加。考试形式和题型可能会有所变化，需要考生注意。 𐟓š 备考建议全面掌握大纲要求的知识点，确保无遗漏。加强基础知识的训练，提高解题能力。多做历年真题和模拟题，熟悉考试形式和题型。注意概率论的变化，针对性地进行复习。 𐟌Ÿ 总结 2025考研数学大纲对数学二的要求更加明确和细致，考生需要全面掌握大纲要求的知识点，加强基础知识的训练，多做历年真题和模拟题，熟悉考试形式和题型。同时，要注意概率论的变化，针对性地进行复习。祝大家备考顺利！