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平均值不等式权威发布_平均值不等式证明(2024年12月精准访谈)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：观点更新日期：2024-12-03

平均值不等式

初中奥数小蓝本刷题指南𐟓š 小蓝本是什么？小蓝本，全称《数学奥林匹克小丛书》，也被称为奥数小丛书。因为它封皮是蓝色的，所以被称为小蓝本。这套丛书分为初中卷和高中卷，初中卷包含8卷，高中卷包含18卷（分为A、B两辑，前8卷为A辑，内容比较基础，后10卷为B辑，旨在拓展拔高）。小蓝本刷书指南优先刷2、4、17册第二册：函数与函数方程建议刷第四章后的部分，重点分析解题方法和思路。后两章函数迭代和函数方程在联考中不会考查太深入的内容。第四册：平均值不等式与柯西不等式对于绝大多数同学而言，重点应在于集中刷均值或柯西相关题目的过程中，掌握各种不等式变形放缩手法。第十七册：图论虽然本册很薄，但基本涵盖了竞赛阶段需要掌握的图论的基础知识和经典例题。语言比较通俗易懂，对于没有集合论、图论完整概念的同学也可以轻松上手。希望这些推荐能帮助你更好地备考奥数！𐟓–𐟒ꀀ

金牌背后的秘密：数学竞赛攻略 𐟎“ 数学竞赛的金牌之路，其实并不复杂。只要你有决心和正确的方法，金牌也可以是你的！下面我来分享一下我的数学竞赛学习经验，希望能帮到正在奋斗的你们。高一上学期：打好基础 𐟓š 在高一上学期，你的主要任务是完成高中数学课内知识的学习。这个阶段的目标是达到高考水平。你需要掌握必修知识，以及组合计数、复数、倒数、立体几何、不等式、解析几何等部分的相关知识。如果你中考压力不大，可以从初三开始学习。推荐书籍有《奥数教程》，这套书系统地梳理了高中竞赛知识，每讲都有知识要点和基本方法总结，适合刚接触竞赛的学生。高一寒假：系统学习高联一试内容 ❄️ 熟悉数学竞赛考纲的朋友都知道，全国高中数学联赛（高联）一试考察的知识范围不超过高考知识范围，但对方法要求更高。所以，在高中课内知识学完之后，大家就可以开始高联一试的学习了。推荐书籍有《奥数教程》，这套书有高一到高三共3套，每个年级还配备了分高一、高二、高三三套，这套书系统地梳理了高中竞赛知识，每讲都有知识要点和基本方法总结、例题精讲及配套的练习，比较适合刚接触竞赛的学生使用。高一下学期前期：掌握平面几何和代数知识 𐟔 在高一下学期前期，你需要学习高联代数及平面几何模块。前期我们需要把高联考试要用到的平面几何和代数相关知识学会并掌握熟练。因为和课内体系基本一致，所以大家在学代数的时候千万不要脱离课本学习，要全面、系统地掌握代数知识，抓住数列和不等式两个最重要的部分，重视基础方法。高一下学期后期：了解数论和组合模块 𐟧銊在高一下学期后期，你需要了解数论和组合模块的基础知识。需要掌握高联范围内代数和平面几何相关知识并解决一部分难度较高的问题，初步了解高联范围内组合和数论相关知识，争取在高一下学期通过高中联赛预赛，为高二获取参加高联的机会。推荐书籍有《奥林匹克小丛书》之平均值不等式与柯西不等式分册，以及浙大出版的《高中数学竞赛专题讲座》之数列与归纳法分册。高二联赛后-高二结束：以竞赛练习为主 𐟏† 参加完考试后，你要以竞赛方面的练习为主。复习巩固高联一试内容的知识并提高解题能力，掌握高联加试要求的各种解题思想方法，大量练习高联加试难度的综合性竞赛题，每天至少10题，掌握更加深入的解题思想方法。高二升高三暑假：刷题和专题强化 𐟒ꊊ暑假期间，务必好好刷真题和模拟题，提高一试的做题速度和准确率。同时，报名参加女奥、西部、东南、北方、协作体、希望联盟等考试，增加考试经验。有优质的赛前培训也要尽量参加，主要为了积累更多解题方法，有时候老师的一句点拨比自己琢磨更有效。结语 𐟌Ÿ 数学竞赛的金牌之路并不复杂，只要你有决心和正确的方法，金牌也可以是你的！希望我的经验能帮到正在奋斗的你们。加油！𐟒ꀀ

考研概率论与数理统计押题攻略大家好！今天终于把大家催了一天的概率论与数理统计押题给大家带来了，真是费了不少心思。其实，概率论和数理统计的知识点并不多，很多题目都是依赖模板来做的。比如常见的解答题，虽然你可能不太明白自己为什么这么做，但跟着模板做就行了，熟练度就是这么来的。首先，给大家补充几个不在图片里的知识点。切比雪夫不等式和依概率收敛去年都考到了，所以今年大概率不会再现。不过，这部分题目其实也不难，切比雪夫不等式就像亲亲的颜文字，背过就行。只要会求期望和方差，这道题就解决了。依概率收敛到期望的平均值，那期望相同时，就收敛到期望。再说说中心极限定理，当n很大的时候，服从正态分布。所以减期望除标准差就是标准正态分布。对于选择填空题，虽然常考点很固定，但2022年的题目难度陡然增加，这也让同学们感到恐慌。不过，今年应该还好，只要把握住基本的知识要点，应该没有太大问题。考研加油！𐟒ꀀ

199管综考试大纲详解：数学与逻辑要点𐟓š 准备管理类专业考研的小伙伴们，你们在考试前一定要先了解考试大纲，明确考试内容。管理类联考主要考察199管理类综合能力和英语二两个科目。其中，199管理类综合能力科目包含数学、逻辑和作文三部分内容。下面我们来详细解析一下数学和逻辑部分的考试大纲。数学部分𐟓– 算数：整数及其运算（整除、公倍数、公约数）、奇数、偶数、质数、合数、分数、小数、百分数、比与比例、数轴与绝对值等。代数：整式及其运算（整式的因式与因式分解）、分式及其运算、集合、函数（一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、不等式的性质、均值不等式、一元一次不等式（组)、一元二次不等式等）、简单绝对值不等式、简单分式不等式等。几何：三角形、平面图形（四边形、矩形、平行四边形、梯形）、圆与扇形、长方体、空间几何体（柱体、球体）、平面直角坐标系、平面解析几何（直线方程与圆的方程）、两点间距离公式与点到直线的距离公式等。数据分析：数据的图表表示（直方图、饼图、数表）、平均值、方差与标准差等。逻辑部分𐟧 概念的种类和关系：概念的种类、概念之间的关系、概念的划分。判断的种类和关系：判断的种类、判断之间的关系。推理：演绎推理、归纳推理、类比推理、综合推理。论证方式分析：加强论证、削弱论证、论证评价、解释其他等。谬误识别：混淆概念、转移论题、自相矛盾、模枝两可、不当类比、以偏概全等。希望这份大纲能帮助大家更好地准备考试，祝大家考试顺利！

MBA数学基础科目复习全攻略 𐟌ŸMBA数学基础科目的复习范围主要涵盖初等数学（小学、初中、高中）的内容，包括算术、代数、几何和数据分析四个主要知识点。 𐟓š算术部分主要涉及高频运算公式，如质数合数问题、不定方程、绝对值方程与不等式、平均值与方差的计算以及均值定理求最值等。 𐟔代数模块包括整式与分式、函数、方程不等式和数列四大内容。整式与分式部分需要掌握整式运算、分式求值、整除与因式定理以及多元多项式与展开式系数。集合与函数部分则需熟悉集合应用题、一元二次函数的最值和特殊函数。方程不等式部分包括不等式的性质、根的判别式和韦达定理，其中韦达定理和不等式的恒成立问题是难点。数列部分则需要掌握等差数列基本问题、数列应用题以及等差等比数列的判断与综合。 𐟎襇何模块分为平面几何、空间几何体与解析几何三大内容。平面几何部分需要复习阴影部分面积、对称问题、直线与圆的位置关系等。空间几何的基本问题也是重点，如空间几何体的性质和计算。 𐟓ˆ数据分析模块包括排列组合、概率与数据描述三大内容。排列组合相关应用题、排队问题、分组分配问题、古典概率、独立事件和比赛问题等都是重点复习内容，这些考点经常以应用题形式出现，难度较高，需要多加训练。通过以上内容的复习，可以有效提升MBA数学基础科目的成绩，为后续的备考打下坚实基础。

𐟓š小蓝本选购指南：数竞入门必备！有人问：小蓝本适合数学竞赛初学者入门使用吗？其实，这个问题要结合自身情况和小蓝本的特点来回答。今天，我们来详细看看小蓝本的特点，以及如何选择和使用它！ 𐟓– 小蓝本简介小蓝本，又名奥数小蓝本，是华东师大出版社出版的《数学奥林匹克小丛书》。封皮是蓝色，因此得名。它的特色是每本书专注于一个独立完整的专题，主要由例题和习题构成，适合专项训练。 𐟎𐏨“本特色适合课内学得较好的同学学习：一般建议尖子生进行拔高时使用，可以加深对初中数学知识的了解和认识，加强对各个知识点的应用程度。适合提前接触部分高中阶段会涉及的知识点：对于后续高中数学的学习理解也有很大帮助。 𐟓š 刷书攻略刷书前：每个章节开头部分会配对对应此章节的概念描述和公式标注，在学习之前需要大致了解下每个章节的学习内容，脑海里构建出大致的知识网络。例题部分：题型难度层层递进，解题过程也很详细，配有思路点拔和方法拓展的讲解，对于加深理解非常好。课末小结：让我们再一次加深公式记忆，和注解出易错易混的地方。每个章节完成后：都会设有相应的练题，每道题目难度都很高，只要能够自主完成习题解答，那么基本初中阶段基本就是掌握了。 𐟓š 推荐必刷的小蓝本分册第2册：函数与函数方程（建议刷第四章后的部分，重点分析解题方法和思路）。第4册：平均值不等式与柯西不等式（这一分册在方法和题型比较全面，集中刷题可以收到不错的效果）。第6册：复数与向量（本册内容足以应对高中联赛对于这一部分知识的考查）。第17册：图论（基本涵盖了竞赛阶段需要掌握的图论的基础知识和经典例题）。希望这些信息能帮助你更好地选择和使用小蓝本，祝你数学竞赛取得好成绩！

考前必备！管综数学高频公式清单嘿，大家！不知道你们有没有那种一到考试就紧张得不行的情况？我每年都遇到学生因为太紧张，结果考试的时候大脑一片空白，公式全忘了。其实，考前多看看公式真的能救命！别以为自己平时背得很熟就不会忘，紧张起来，谁也说不准会出什么岔子。所以，我给大家整理了一份管综数学的高频公式清单，总共就八页纸，打印出来折起来塞裤兜里，考前翻一翻，真的很有用！不过，千万别忘了带进考场哦，不然就得不偿失了。 𐟓š 公式清单包括：利润问题、比例问题工程问题、路程问题集合问题、浓度问题实数、绝对值、平均值整式、分式、函数方程不等式、数列平面几何、立体几何解析几何、排列组合、概率考试的时候，细节决定成败，咱们的策略就是打好基础，以不变应万变。记住公式，基本上数学就稳了！所以，一定要好好记公式哦！祝大家考试顺利，公式不忘，数学满分！𐟒ꀀ

MPAcc数学刷题顺序与技巧全攻略 𐟌Ÿ【刷题顺序与技巧】𐟌Ÿ 在准备MPAcc数学考试时，合理的刷题顺序和技巧至关重要。以下是详细的攻略： 𐟓š【刷题顺序调整】𐟓š 通常的刷题顺序是：实数整式、分式绝对值、平均值、比与比例函数、方程、不等式应用题数列平面几何、空间几何、解析几何排列组合、概率、数据分析但到了强化阶段，我们需要更高效地利用时间。建议的调整顺序如下：应用题（5～6道）平面、空间、解析几何（6～7道）排列组合、概率、数据分析（5～6道）数列（2～3道）函数、方程、不等式整式、分式绝对值、平均值、比与比例实数 𐟔【数学刷题技巧】𐟔 管综数学的特点是全部为选择题，因此可以从选项入手，提高做对的几率。以下是具体的技巧：问题求解题：习惯看“选项” 对于“两难”问题（计算难➕问题难），使用“选项代入法”，从选项中找特征。条件充分性判断题：选项A/B：两个条件相似度高（模板）只改动一处➡️答案非A即B 选项C：特征为1、定性+定量；2、条件中方程（未知数）数量少于结论中方程（未知数）数量选项D：两个条件等价（条件1和条件2可以互推）选项E：通常出现在实数、应用题中，是10道题中最简单的一道。希望这些技巧能帮助你更高效地备考MPAcc数学！𐟒ꀀ

在职宝妈考编第二周：花生十三刷题班心得本周，我开始了花生十三的资料分析刷题班，每天一节课，坚持学习。𐟒ꊊ𐟌𘠩똩⑨€ƒ点一：求ABRX 求前期：使用代入法或假设分配法。隔年前期先求出隔年增长量再求。求本期：假设增量求后期，列不等式；假设增速求后期，常用隔年增长率再求本期。求增长率：直接公式计算，隔年增长率画时间轴，比值增长率涉及平均数，公式为(R1-R2)/(1+R2)。乘积增长率类似隔年增长率。求增量：直接算，假设分配法或415法。增量大小比较结合b越大，r越大，则增量越大，以及b是n倍，r得是n倍以上，x才可能相等来速算排除。 𐟌𘠩똩⑨€ƒ点二：求比重类求前期比值：等于本期比值*(1+R2)/(1+R1) 求比重趋势：定性分析r1＞r2，则比重上升。定量分析求比重差，公式为今年整体分之去年部分乘以增长率之差。比重差绝对值＜增长率之差的绝对值可秒杀。求比重饼状图：先看有没有占比一半附近或以上的。 𐟌𘠩똩⑨€ƒ点三：盐水类求人数：整体增长率在中间，不在正中间。定量分析：已知3R求量之比，已知2R和量之比求另一R。 𐟌𘠩똩⑨€ƒ点四：平均类求一般平均值：均前每后做分母。求年均增长量：注意基期是否往前推一年。求年均增长率：记住常见的增长率四次方的数值。求拉动增长：为部分的增量比上整体的前期量。增量贡献率为部分的增量比上整体的增量。 𐟒ꠦ䩨🛦�𘀧‚𙧂𙯼Œ加油，共勉。

上海高三数学总复习：从基础到技巧嘿，高三的小伙伴们！数学总复习时间到啦！如果你还没学完高中数学，那就赶紧把剩下的模块预习完吧。集合、不等式、函数、向量、解析几何、立体几何、复数、数列、导数、概率统计初步与排列组合，这些都要搞清楚哦！当然，这些只是模块的划分，但做题时需要的技巧还是要在做题中积累的。下面我就来分享一下每个模块的复习思路，希望能帮到你们！集合 𐟓š 集合其实很简单，就是某个范围内不同对象的全体。在学习的时候，要注意集合和不等式、函数之间的联系。集合里的元素有互异性、无序性和确定性，这些性质要掌握好，不仅仅是填空题，大题里也要注意分类讨论。子集、真子集、补集这些概念，在不等式的时候要注意不等号和严格不等号。集合的运算是交、并、补，这些联合函数与不等式，就要考虑更多的不等式组，比如变个不等号再列组，相当于取补集再取交集这种运算。命题部分只需要理解或、且、非这些逻辑关系，充分必要性的理解也很重要。理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题在不等式、区间、函数的具体体现。不等式 𐟓 不等式的性质比较多，反对称性、传递性、移项法则，还有同向不等式可以相加，常用的基本不等式也要记住。比如算数平均数大于等于几何平均数，平方平均数和调和平均数有时候也会用到。还有一些口诀，比如“和为定值积有最大，积为定值和有最小”，当然这些都是在正数的时候，要注意把负数加符号等等。含绝对值的不等式要注意去掉绝对值时候的变号，以及绝对值三角不等式的取等条件。函数 𐟓ˆ 函数这部分真的很多，但主要考察的还是数形结合的能力。要在短时间内能画出函数的大致图像，精确到过某些定点、值域、定义域、函数零点、最值、增减性等。要理解复合函数的图像层层表示，了解内函数的值域会影响外函数的定义域。向量 𐟓 向量这个模块整体没啥难度，主要是对高中三维向量空间或者二维平面向量空间有一种度量的形式的理解。会计算向量的模长、夹角、投影，还有共线条件等。笔者认为向量空间的学习更主要还是为了解析几何和立体几何服务，去计算几何图形的面积、体积、夹角等。主要考察的还是空间绘图思想。最后建议学习向量空间要多去思考那些不是三维正交坐标系的情况，还建议多画图，多画图，多画图！希望这些建议能帮到你们，祝大家高考顺利，加油！𐟒ꀀ

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