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向量正交化前沿信息_施密特正交化的算法(2024年12月实时热点)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：教程更新日期：2024-12-01

向量正交化

线性代数笔记：Jordan分解与线性变换 𐟓笔记整理：矩阵的基本性质矩阵的转置：A^T = (A^T)^T 矩阵的逆：如果A可逆，则存在B使得AB = BA = I，称A为可逆矩阵矩阵的秩：秩是矩阵行或列的最大线性无关组的元素个数矩阵的行列式：det(A) = 0当且仅当A不可逆矩阵的迹：tr(A) = ∑a_ii，即对角线元素之和矩阵的逆可逆矩阵的条件：A可逆当且仅当A的行列式不为0 求逆矩阵的方法：通过初等行变换将A变为单位矩阵，同时记录变换矩阵B，则B是A的逆矩阵线性方程组齐次线性方程组：Ax = 0有解当且仅当r(A) < n 非齐次线性方程组：Ax = b有解当且仅当r(A) = r(A|b) 线性相关与线性无关线性相关：向量组中存在不全为0的数使得线性组合为0 线性无关：向量组中不存在不全为0的数使得线性组合为0 向量的内积与正交内积：aⷢ = |a||b|cos正交：aⷢ = 0当且仅当a与b正交正交基：由正交向量组成的向量组称为正交基施密特正交化方法：将一组线性无关的向量正交化正定矩阵与特征值正定矩阵：A为正定矩阵当且仅当A的特征值全大于0 特征值与特征向量：Ax = ，𘺁的特征值，x为对应的特征向量相似矩阵与对角化相似矩阵：A~B当且仅当存在可逆矩阵C使得B = CAC^-1 对角化条件：A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量 Jordan分解与若当型矩阵 Jordan分解：任意矩阵A都可以相似于一个Jordan块组成的矩阵J 若当型矩阵：J的每个Jordan块称为若当块，J称为若当型矩阵实对称矩阵的对角化实对称矩阵：A为实对称矩阵当且仅当A的特征值为实数实对称矩阵的对角化：A相似于对角阵，且正交相似于双对角阵二次型与慢性指数二次型：f(x) = xTAx，其中A为实对称矩阵慢性定理：任何实二次型都可以通过线性替换化为标准形，且标准形唯一。慢性指数p称为正惯性指数。正定二次型与正定矩阵正定二次型：f(x) > 0对于所有非零x成立，A为正定矩阵。正定条件：A的特征值全大于0，正惯性指数为n。合同与线性替换合同变换：X = CY，其中C可逆，则称为可通线性替换。合同条件：若AB合同，则存在可逆矩阵C使得B = CAC^-1。

25张宇八套卷（四）心得与复盘整张试卷下来，感觉就是两个字：离谱！这出的题简直不像考研的水平，更像是黔驴技穷了。前三套题还勉强能用他的结论来应付，但这套卷子开始堆砌计算了。选择填空 1️⃣ 第一题，1对2对，直接选C。这里用脱帽法还是挺经典的。 2️⃣ 第二题，格林公式。 3️⃣ 第三题，这个题目说an条件收敛，12必发散，直接选D。答案搞得太没含金量了，最精彩的放缩都没用。 4️⃣ 第四题，真是懵逼了。求k的取值范围还好，这个换元要是没做过这题你就想吧。倒代换倒是也有这思路，你要是能一下子想出来然后很快反应过来他的系数对称是为什么，那就太牛了。 5️⃣ 第五题，直接说这个题是**题。我用A-E发现他是秩为一矩阵，还看了半天。我说这个n充分大用不了秩1矩阵的性质啊，真看了半天，只能对角化硬算。判定为没有任何技巧单纯难为人的题。 6️⃣ 第六题，张宇真是黔驴技穷了。三向量正交化一直是灰色地带，就是大纲没说不能考察，他就水灵灵的拿出来了。但是硬算一样算，这就是这张试卷恶心人的点，让你跟高手之间差的不是实实在在的智商，而是一些考研老师没强调的东西。 7️⃣ 第七题，真是对二次型的最值情有独钟。一共四张试卷，出了三个了。其实他一直出一直强调的是，二次型最值跟特征值关系并不大，而是看条件给的约束条件。 8️⃣ 第八、九、十题，没有任何技巧，傻算。填空题填空像进了天堂。大题 1️⃣ 第十七题，拉格朗日乘数法。记住拉格朗日乘数法计算的主要目的是寻找最大公因式。 2️⃣ 第十八题，只能说能一下子就想到答案上的函数拉格朗日和第二问这样放缩的，都是天才。反正我没反应过来，这个放缩而且要取绝对值反过来，太牛了这思路。 3️⃣ 第十九题，这题没别的招。你想用单调有界，就要反证。你直接说明很难。第二问，这个题很明显就是分母是一次就发散，高次就收敛，然后0在定义域不能直接取1/x。 4️⃣ 第二十题，线面积分要是出这么简单的，我做梦都笑醒。梯度无旋，旋度无散是关键。 5️⃣ 第二十一题，哪抄的题？最后我忘了流量必须是正的了，没求范围，第二问直接懵逼了。 6️⃣ 第二十二题，只能说卷积公式才是秘密武器。这雅可比行列式我看着就头疼。总的来说，这张试卷真是让人又爱又恨。希望下次能有个更正常的卷子吧。

实对称矩阵的那些事儿 𐟧﹧簧Ÿ驘𕨿™个东西，看起来很平常，但其实背后藏着不少秘密。首先，实对称矩阵可以相似对角化，这不过是表象。真正重要的是，n阶实对称矩阵有n个线性无关的特征向量。换句话说，每个特征值都有相应数量的线性无关特征向量。更进一步，实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的。这意味着你可以用正交矩阵来相似对角化。正交矩阵就是由n个线性无关的特征向量经过施密特正交化后拼成的。对于初学者来说，很容易只看到表象，而忽略本质。这样在做题时会吃亏，比如例8.14和例8.15。所以，我们应该时刻反思解题步骤中用到的是哪个知识点，并在多个练习结束后把知识点串成串𐟍⣀‚看到已知条件就能形成连锁反应，灵活挑选当下所需的知识点，解题自然就变得行云流水𐟘Ž。总之，实对称矩阵不仅仅是一个可以相似对角化的矩阵，它背后隐藏着更深层次的数学原理。掌握这些原理，才能更好地理解和应用实对称矩阵。

𐟓š 广州大学学科数学924线代备考攻略 𐟔 行列式：广州大学历年真题中，行列式部分占据重要地位。需要牢记几种特殊形式的行列式求解方法，掌握行列式的按行展开、性质及克拉默法则。结合矩阵的性质进行综合考察。 𐟓š 矩阵：矩阵的逆和矩阵的计算是广州大学重点考察的内容，特别是特殊类型矩阵的高阶幂求解。复习时，需结合矩阵和行列式的相关性质，进行框架性学习。 𐟧𚿦€禖𙧨‹组：广州大学高频考察线性方程组，2022年还涉及向量的线性组合问题。需要记忆矩阵秩的常见结论。 𐟌 相似矩阵和二次型：广州大学重点考察相似矩阵，2022年还考察了正定矩阵的相关证明。需掌握特征值法求解相似矩阵以及施密特正交化。 𐟌Œ 线性空间和线性变换：这部分内容难度较大，广州大学往年有超纲考察。需要深入理解线性空间和线性变换的概念和性质。

12页搞定线性代数！可视化手册推荐 𐟎‰想要轻松掌握线性代数？这份只有12页的手册就能帮你实现！ 𐟎今天推荐的是一份在GitHub上标星高达12.7k的线性代数可视化手册，名为《线性代数的艺术》。这本手册由麻省理工的数学教授吉尔伯特整理，浓缩了300页的著作精华，适合所有人学习。 𐟎Š手册内容丰富，包括矩阵和向量的理解、矩阵分解和使用模式等。通过图解方式展示，即使是小白也能轻松理解。学完这份手册，你可以轻松掌握行列高斯消除、正交化、特征值、对角线化、奇异值分解等重点内容！ 𐟎復‚果你的现代基础较差，这份可视化手册是你不可错过的学习资源！不仅在GitHub上大受欢迎，连原作者都对其赞不绝口，甚至为这份手册写了一段前言。

线性代数期末复习：二次型与正定矩阵 𐟌Ÿ 第六讲：二次型与正定矩阵 𐟌Ÿ 1️⃣ 二次型的矩阵表示 𐟓 将二次型转化为矩阵形式：二次型 f = 5x1^2 + 2x1x2 + 3x2^2 + 4x1 + 6x2 对应的矩阵 A = [5, 2; 2, 3] 2️⃣ 化二次型为标准形 𐟓Š 将二次型 f = x1^2 + x1x2 + x2^2 + x1 + x2 化为标准形：通过正交变换，得到新的二次型 f' = y1^2 + y2^2 对应的矩阵 A' = [1, 0.5; 0.5, 1] 3️⃣ 正定二次型与正定矩阵 𐟔 正定二次型 f = x1^2 + x2^2 + x3^2 的条件： A 的所有特征值都大于0 A 的所有顺序主子式都大于0 4️⃣ 求二次型的特征值与特征向量 𐟧튧𛙥𚌦졥ž‹ f = x1^2 + x2^2 + x3^2，求其特征值和特征向量：计算 A 的特征值 = {1, -1} 求得对应的特征向量，并进行正交化处理 5️⃣ 二次型与正交变换的关系 𐟌€ 通过正交变换，将二次型 f = x1^2 + x1x2 + x2^2 化为标准形：利用正交矩阵 P，将 x = Py，得到新的二次型 f' = y1^2 + y2^2 求得 P 的具体形式，并进行验证 6️⃣ 二次型与矩阵的关系 𐟔— 通过矩阵 A 的特征值和特征向量，可以确定二次型的性质：正定矩阵的特征值都大于0，对应正定二次型矩阵 A 的顺序主子式都大于0，对应正定二次型

2024北京科技大学高等代数全解析𐟓š 大家好，今天我们来详细解析一下2024年北京科技大学高等代数试卷的各个题目。准备好了吗？让我们开始吧！ 𐟔 最后一题确实有点难度，大家可以一起过一遍。 𐟔„ 第一题是关于循环行列式的，逐行减然后逐列减是一个非常万能的方法，大家一定要记住哦！ 𐟓 第二题是线性方程组的解的讨论，这个问题需要大家对线性方程组有深入的理解。 𐟌 第三题是讨论特征值的问题，因为是对称矩阵可对角化，结合秩一矩阵的性质来解答。 𐟧頧쬥››题的第一小问是考虑顺序主子式，第二小问则是施密特正交化，大家可以分别尝试一下。 𐟒ᠧ쬤𚔩☧š„内积定义代入非常简单，大家可以轻松搞定。 𐟤 第六题ABCD都两两可交换，证明互相包含就行了，这个问题性质非常好。 𐟕𓯸 第七题考的是打洞原理，大家可以尝试用打洞的方法来解决。 𐟔�쬥…멢˜考的是艾森斯坦判别法，这个问题需要大家对判别法有深入的了解。 𐟐𞠧쬤𙝩☥™…上是求特征值和特征向量，然后进行基变换，需要用到分块矩阵以及AX-XB=C的性质，如果A，B无公共特征向量，那么X解唯一，这个性质可以帮助大家轻松解决这个问题。好了，今天的解析就到这里，希望大家都能在考试中取得好成绩！加油！𐟒ꀀ

问一下各位关于特征向量的问题 P-1AP相似对角化的时候，特征向量什么时候要单位化呢？是只要正交矩阵的时候才单位化吗？如果不是要求正交矩阵，我直接求了P单位化之后的矩阵可以吗

学迷糊了第二问，看答案没有单位化正交化，那是啥情况才需要呢？如果题目说的是“求正交矩阵P”，最后求出来特征向量后才需要加一步正交化吗？那单位化啥时候需要嘞？

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