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零点存在定理权威发布_罗尔定理(2024年12月精准访谈)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：观点更新日期：2024-12-02

零点存在定理

𐟓š高一数学函数知识点全面解析𐟓š 𐟓–第三章：函数知识点总结求值域的方法观察法：适用于一些简单的函数。配方法：适用于二次函数形式。换元法：适用于形如xⱢcxtd的函数。特殊函数法：适用于特定类型的函数。数图像的折换分段函数：如果函数在其定义域内，对于变量的不同取值区间，有不同的对应方式。定义域：各段自变量取值范围开集（各段自变量取值范围交集为空集）。值域：各段函数在相应区间上取值集合前并集。图像：根据不同定义域上解析式分别作出，再组合整个图像。特殊函数取整数函数：对任意一个实数x，[x]表示不超过x的最大整数。常数函数：值域只有一个数的函数。四则函数的平均变化率平均变化率：一般地，当x变化时，称f(x)=f(x+)-f(x)/为函数y=f(x)在区间[x,x+]上的平均变化率。判断函数单调性：若函数f(x)在定义域的某子集I上单调，则f(x)在I上是增函数的充要条件是f(x)在I上恒成立；f(x)在I上是减函数的充要条件是f(x)在I上恒成立。引入平均变化率的作用理解和证明函数单调性。比较函数值变化快慢。为学习函数导数打下基础。解简单高次或分式不等式高次不等式：穿针引线法，移项分解因式（保证的系数为正），解出所有根，数轴上标出各根，观察不等式取范围。分式不等式：同解变形转化。函数零点存在定理如果函数f(x)在区间I上的图像是连续不断的，且f(a)f(b)<0，则函数f(x)在区间I中至少有一个点x，使得f(x)=0。二分法对于在区间I上图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数，通过不断地把函数f(x)零点所在的区间一分为三，使区间两个端点逐步逼近零点进而得到零点近似值。应用首先满足在I上图像连续不断，且f(a)f(b)<0，给定近似的精度€‚用二分法求零点的近似值，使得|b-a|/2≤€‚步骤：检查(b-a)/2是否成立，如果成立，取x=(a+b)/2，计算结束。计算(a+b)/2的中点，并对应函数值，若f((a+b)/2)=0，取a=b，否则将值赋给b，回到第一步。 𐟓š这些知识点是高一函数部分的核心内容，希望同学们能够熟练掌握，为后续的学习打下坚实的基础！

四川统招专升本高等数学考纲详解 𐟓š 四川省教育考试院发布的专升本高等数学考纲，虽然不是最新的，但往年考纲内容相对稳定，具体还需以每年新考纲为准。以下是根据往年考纲整理的详细内容： 𐟓Œ 考试范围考试范围包括《高等数学》和《线性代数》。《高等数学》涵盖函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学与二重积分、无穷级数、常微分方程等内容。《线性代数》则包括行列式、矩阵、向量、线性方程组等。 𐟓Œ 考试内容及要求函数、极限和连续函数：理解函数的概念，求函数（包括分段函数）的定义域、表达式及函数值，建立实际问题的函数关系式。掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。了解函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)之间的关系，会求单调函数的反函数。熟练掌握函数的四则运算与复合运算，复合函数的复合过程。掌握基本初等函数的性质及其图象。极限：了解数列极限的概念，了解数列极限的唯一性、收敛数列的有界性。了解函数极限的概念，理解函数极限存在的充分必要条件，理解函数极限的唯一性、局部保号性。熟练掌握极限的四则运算法则。了解数列极限的两个收敛准则（夹逼准则与单调有界准则）、函数极限的夹逼准则，熟练掌握两个重要极限。了解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，比较无穷小量的阶（高阶、低阶、同阶和等价），会用等价无穷小量求极限。连续：理解函数在一点连续与间断的概念，会判断函数（包括分段函数）的连续性。会求函数的间断点并判断其类型。理解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、介值定理，会用零点存在定理进行证明。 𐟓Œ 考试形式与试卷结构考试形式：考试采用闭卷、笔试形式，试卷满分150分，考试时间120分钟。试卷结构：考试题型可采用判断题、单选题、填空题、计算题、解答题、证明题、应用题等形式。试题按其难度分为容易题、较易题、中等难度题、较难题四种难度，试卷总体难度适中。试卷内容结构为线性代数约占20%，其他内容约占80%。 𐟓š 参考书目同济大学数学系.高等数学(第七版）：高等教育出版社同济大学数学系.工程数学：线性代数（第六版）：高等教育出版社希望这份考纲能帮助到正在准备四川统招专升本高等数学考试的你！𐟓–

专升本高数连续性与间断点全解析 𐟓š专升本高等数学之连续性与间断点知识点整理，适合正在备战专升本的小伙伴们参考。笔记内容可能有些许急促，但希望能对你们有所帮助。欢迎大家补充和改正，祝大家都能顺利上岸！ 𐟓碎碎念：这是第一轮的基础知识整理，笔记较为全面但稍显繁琐。上课时跟着老师走的同学们可以参考，有些知识点是课下整理的思维导图，供大家参考。如果有任何不清楚的地方，欢迎随时联系我，我会单独解答并提供更清晰的解释。 𐟔间断点分类：函数的连续性与间断点间断点的分类零点定理与介值定理最值定理 𐟓–例题与考点：函数的连续性与间断点零点存在定理零点与介值定理最值定理 𐟒ᦏ示：笔记将持续更新，敬请期待更多内容！

2022新高考一卷数学21、22题解析 𐟔 21题：这道题目看似普通，实则充满了挑战。第一问就要求计算斜率之和，这需要一定的计算能力。第二问虽然没有直接给出图形，但通过分析可以知道角PAQ很大，因此点P只能位于双曲线的一支。这里需要进行一些坐标运算，虽然过程有些繁琐，但最终结果是正确的。至于面积的计算，方法多样，可以根据具体情况选择合适的方法。 𐟎2题：这道经典导数题目的图形画出后，解题思路就变得清晰了。在高考考场上，同构的应用使得题目变得简单而富有逻辑。这里需要用到零点存在定理来证明三个零点的存在，虽然过程简单，但也需要一定的基础。同构的难点在于选择合适的等量关系，以及找到函数的单调区间进行同构，这样才能顺利完成转化。

专升本数学函数极限与连续性全攻略 ### 函数连续性概念 𐟓š 函数在某点连续，意味着在该点附近的某个小区域内，函数值的变化非常小。具体来说，如果函数在点 x0 处连续，那么它在这个点的左右两侧都应该有定义，并且左右极限存在且相等。函数在点 x0 处连续的充要条件是左连续和右连续。间断点的类型 𐟚능‡𝦕𐥜覟点不连续的情况有很多种，常见的有以下几种：没有定义：函数在某点没有定义。存在但不相等：函数在某点有定义，但左右极限不相等。可去间断点：函数在某点有定义，但左右极限存在且相等，但函数值与极限值不相等。跳跃间断点：函数在某点有定义，但左右极限不存在。振荡间断点：函数在某点的极限不存在，且函数值呈上下振荡。连续性与极限 𐟔„ 函数的连续性通常需要通过极限来证明。以下是一些常见的极限求解方法：有理化：当分子或分母中含有根式时，考虑使用有理化。无穷小代换：简化求极限的常用方法。洛必达法则：无法等代换时，考虑使用洛必达法则。重要极限法：将复杂形式转化为已知的重要极限形式。零点定理的应用 𐟓 零点定理是证明方程根的存在性的一种方法。如果函数在闭区间 [a, b] 上连续，并且 f(a) 与 f(b) 异号，那么存在一个点 c ∈ (a, b)，使得 f(c) = 0。这个定理可以用于证明方程在某个区间内至少有一个根。例题解析 𐟔 例如，证明方程 5x^3 = 0 在 (0, 1) 内至少有一个根。考虑函数 f(x) = 5x^3，它在 x = 0 处左连续，且 f(0) = 0。由于 f(x) 在 (0, 1) 内是连续的，并且 f(1) = -12 < 0，根据零点定理，存在一个点 c ∈ (0, 1)，使得 f(c) = 0。因此，方程 5x^3 = 0 在 (0, 1) 内至少有一个根。总结 𐟓 函数的连续性是数学分析中的重要概念，需要通过极限来证明。掌握常见的极限求解方法和零点定理的应用，可以帮助我们更好地理解和解决相关问题。希望这份攻略能帮助你在专升本数学考试中取得好成绩！

学会这7页，看谁还不会做函数零点问题𐟙‹ ✔️零点问题的最高境界就是画图了吧，得图像者得函数！ 𐟘天津高考近两年第15题零点问题难度过大，保不齐25年26年高考会降低点难度。 ✍️除了天津特色的“带多个绝对值且含参的二次函数”零点问题非常难之外，其他大部分零点问题都是有规律有套路可循的。 1️⃣一元二次方程根的分布 2️⃣直接解方程、零点存在性定理、画图 3️⃣画图解零点个数相关问题非常好用：判断零点个数、零点求和、已知零点个数求参等 4️⃣分段函数零点问题 5️⃣复合函数零点问题（个人感觉这类是纸老虎[笑哭R]，学会了解答思路会非常简单）孩子高中学习差，家长不知道怎么办，我也是过来人，单靠孩子或者家长慢慢摸索，可能就错过了高中的学习积累关键期，所以我是找的专业的机构给孩子做学习规划。上高一的时候我们就在高途高中做规划，提供的学习方法和思路非常清晰，了解孩子目前遇到的学习问题，帮助家长给孩子制定学习规划表，高效学习，查缺补漏，专项突破不足;当然，只有自己的真实体验最靠谱，哪怕跟老师聊上一会，也比自己闭门造车强，高途高中也有free的学习规划和指导，孩子思路都会打开很多! 书本方面的话，《高途高考基础2000题》、《高途优卷》、《高中学习清单》都不错，很受用，一定要看! 一定记得去下一个高途app，高途的课程和老师在里面都可以看到，价格很多也有标注，是不是适合自己心里就有底了! 另外高途app有个比较不错的学习版块，包括题库、资料、经验分享、小游戏、小工具等等，非常全，平时多刷题、多用这些学习工具，提升才会更快，gogogo!

河南专升本高数备考指南：必掌握知识点清单 𐟓š 河南专升本高数备考指南：必掌握知识点清单 𐟎쬤𘀧렯𜚥‡𝦕𐣀极限、无穷小与连续函数考点一：求函数的定义域知识点1：求具体表达式函数的定义域知识点2：求抽象函数的定义域考点二：相等函数的判定考点三：求函数的表达式知识点1：已知f(x)和g(x)的表达式，求(x]的表达式知识点2：已知fLg(x]和g(x)的表达式，求f(x)的表达式考点四：函数的奇偶性判定考点五：求反函数极限考点六：7种极限类型的计算知识点1：二型极限的计算知识点2：二型极限的计算知识点3：0-0型极限的计算知识点4：开指函数f(x)型极限的计算考点七：极限反问题的解法知识点1：[型极限的反问题知识点2：[型极限的反问题知识点3：1型极限的反问题考点八：夹逼准则求极限考点九：极限的应用一求渐近线考点十：极限综合题（极限概念、充要条件、四则运算等）考点十一：求极限：无穷小与有界函数乘积的计算考点十二：无穷小量阶的比较连续考点十三：函数的连续性考点十四：函数的间断点及其类型的判断考点十五：利用零点定理证明方程根的存在性知识点1：利用零点定理方程根的存在性知识点2：利用零点定理和单调性结合证明方程根的唯一性拉格朗日中值定理重识点1：验证拉格朗日中值定理条件知识点2：求满足条件的5 知识点3：恒等式的证明知识点4：利用拉格朗日中值定理证明综合考点考点八：求近似值考点九：求导后函数的奇偶性判定向量代数与空间解析几何向量代数考点一：基本概念考点二：向量运算（线性运算、点乘、叉乘）空间解析几何考点三：平面方程与平面间的位置关系考点四：直线方程考点五：判断直线与平面的位置关系考点六：[二次曲面] 多元函数微分学重极限与偏导数计算点二：偏导数计算点三：全微分多元极值与条件极值拉格朗日乘数法考点四：多元极值考点五：条件极值拉格朗日乘数法方向导数和梯度考点六：方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面考点七：空间曲线的切线和法平面空间曲面的切平面和法线

成都高三一对一提分辅导：高三数学知识点如何进行汇总？高三数学知识点汇总是一个系统而细致的过程，旨在帮助学生全面回顾并巩固整个高中阶段所学的核心内容，为高考做好充分准备。以下是进行高三数学知识点汇总的专业步骤： 1️⃣ **明确大纲要求**：首先，需详细研读教育部颁布的高考数学考试大纲，明确各章节的考试要求、知识点分布及难易程度。这有助于把握复习的重点和难点，确保复习方向正确无误。 2️⃣ **分类整理知识点**：根据大纲要求，将高三数学知识点分为几个主要模块，如函数与导数、数列与不等式、立体几何、解析几何、概率统计等。在每个模块下，进一步细分小知识点，如函数的基本性质、导数的应用、等差数列与等比数列的性质、圆锥曲线的标准方程与性质等。使用思维导图或表格形式进行整理，使知识结构清晰明了。 3️⃣ **总结解题方法与技巧**：在整理知识点的同时，注重总结各类题型的解题方法与技巧。例如，在函数部分，掌握函数图像变换、零点存在性定理的应用；在数列部分，熟悉递推关系式求解、求和公式的运用等。通过典型例题的分析，提炼出一般性的解题思路，提高解题效率与准确性。 4️⃣ **强化练习与查漏补缺**：完成知识点汇总后，通过大量的练习来检验学习成果，特别是针对自己的薄弱环节进行强化训练。利用历年高考真题和模拟题进行实战演练，及时发现并弥补知识漏洞，提升应试能力。#成都美博教育#

高考数学命题分析与解题策略高考数学真题试卷是一份涉及的知识点非常全面的综合套卷，这一点毋庸置疑。大家看到这里会想到什么呢？当然是对于每一道题涉及核心考点基本上不会重复！以最近分析的这套得分率极低的试卷来讲，考察的三角函数单调区间和函数的单调区间，命题人真正的考察意图相同么？图文末对于前一道题，就属于通常的解三角形范畴，考察意图就是三角函数的变换。若是一上来见到单调性就去求导，会发生什么。当然大多数模拟题目采用求导的方法，也是最终能做出来的，然而高考命题是非常严禁的，命题组若是想考察三角函数变换，那么通常会将其他的解题方向，设置大量、繁琐的计算，非常容易出错。假设这个题目开始使用了求导的方法，做不下去了。那么此时就应该停下来继续做下面的题目。一看下面的是标准的求导，做完后，再回过头来想一想，求导的方法考察过了，既然该题求导较难走通，考虑三角变换是显而易见的。这就是一直强调的建立自己知识体系的另一个好处（知道高考要考什么，这些考点通常会有哪几种思考方向）。下面继续看题目: 图文末【分析】给定了一个分式形式的函数。见到这样的形式，大家首先能想到什么？当然是分离常数，以及反比例函数。第一问又给定一个奇函数，又奇函数我们想到了什么。很容易想到的是f(x)+f(-x)=0，那么问题来了，奇函数一定过点（0,0）吗？想一下反比例函数。再想一下奇函数的定义：是指对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)，在其定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数‌。‌由这个定义我们能推出f（0）=0么，显然不能。从逆否命题和充分必要条件进一步考虑，务必将这些核心的基本知识点去理解，这就是传说中的深入理解。对于本题第一问，根据奇函数求参数a的值。a一定是常数（应该最多几个，从对称性上考虑），大家想一下为什么【提示从平移的角度去考虑】，平移之后有没有破坏函数的奇偶性？【拓展一下】旋转会不会破坏函数的奇偶性【怎样旋转，最简单的办法就是旋转坐标系，相对的概念理解不】？对于第二问，给定区间上的值域问题，求参。我们来想一下，对于最一般的泛化函数，那么给定区间（a，b），什么时候才有最值？那么要看该区间内有多少个极值点，进而比较这些极值点的大小。若是函数单调，那么可以利用端点效应，若在该区间不单调，那么要求出极值点，然而价值点通常情况下不好求，因此就有了很多转化的思想【同异构、函数凸凹反转、函数与方程的思想......】。显然对本题而言，f(x)经分离常数得到f(x)=1+2a/3x-a，显然是一个增函数。有的同学问这里面两个变量一个是x，一个是a，怎么就是增函数了？注意x看做自变量，a看做参数。自变量与参数有什么区别？自变量是函数的输入，能引起因变量的变化。参数是指用于控制函数的性质行为的量（参数可以看做是一个常数，在研究复杂问题的时候，通常要固定一个，改变另一个观察函数的行为）。自变量和参数统称为变量，可以从不同角度看待相互交换（如：主元法）。既然是一个单调递增函数，那么f(m)和f（n）就分别对应着值域的两个端点。进而转化成方程的根【构造函数】，即（3x+a）/(3x-a)=-1/3x，分离参数a=（（3x）2+3x）/(1-3x)，看着不舒服，接下来就是换元了，这里要有一个意识，分式的结构通常向对勾函数转化。令m=1-3x，则a=m+2/m-3，注意m的范围。那么再比较一下函数与方程的零点和隐零点问题。核心思想也是根据单调性寻找函数（通常是超越方程）值为零的点。零点存在定理还记得吧，一类就是利用该定理确定超越方程零点所在区间，并利用区间范围得到所求不等式；另一类是将超越方程转化与化归，让方程的两边进行转化，再通过证明单调性解题。个人观点，仅供参考 #多的是你不知道的事#

同济高等数学第七版上下册PDF+习题全解 𐟓š 同济高等数学第七版上下册及习题全解分享 𐟓– 目录第一章函数与极限第一节映射与函数映射与函数的概念习题1-1 第二节数列的极限数列极限的定义收敛数列的性质习题1-2 第三节函数的极限函数极限的定义函数极限的性质习题1-3 第四节无穷小与无穷大无穷小的概念无穷大的概念习题1-4 第五节极限运算法则极限运算法则习题1-5 第六节极限存在准则和两个重要极限极限存在准则两个重要极限习题1-6 第七节无穷小的比较无穷小的比较习题1-7 第八节函数的连续性与间断点函数的连续性函数的间断点习题1-8 第九节连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的和、差、积、商的连续性反函数与复合函数的连续性初等函数的连续性习题1-9 第十节闭区间上连续函数的性质有界性与最大值最小值定理零点定理与介值定理一致连续性习题1-10 第二章导数与微分第一节导数概念导数的定义导数的几何意义函数可导性与连续性的关系习题2-1 第二节函数的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则