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线性算子最新视觉报道_算子的含义(2024年12月全程跟踪)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：热点更新日期：2024-12-01

线性算子

线性代数的巅峰之作！ 𐟓š《Linear Algebra Done Right》这本书真的是线性代数界的宝藏！作者是Sheldon Axler，他用一个非常独特的方法来讲解线性代数，真的是让人眼前一亮。这本书的重点不是行列式，而是理解有限维向量空间上线性算子的结构。这种方法让你更直接地掌握线性代数的核心概念，比如向量空间、线性独立性、基、维度、线性映射、特征值和特征向量等等。 𐟓–这本书特别适合数学专业的本科生和研究生，虽然不需要太多的预备知识，但你需要有一定的数学成熟度。书从向量空间的基本概念开始，逐步引入线性映射、特征值和特征向量，然后扩展到内积空间，最终介绍有限维谱定理及其后果，比如奇异值分解。书中还用了广义特征向量来深入剖析线性算子的结构。行列式是通过交替多线性形式来引入的，真的是非常清晰。 𐟓š第三版和第四版都进行了大量的改进和修订，增加了超过300个新练习题和许多新的例子来说明线性代数的关键概念。新涵盖的主题包括乘积空间、商空间和对偶空间。书的设计也非常美观，无论是印刷版还是电子版，读起来都非常愉悦。 𐟌Ÿ这本书的特点是它强调了线性代数的抽象结构，并提供了一种新的视角来理解线性算子的结构。它被认为是线性代数领域的经典之作，被全世界200多所高校采用，包括斯坦福大学和加州大学伯克利分校等知名学府。总之，《Linear Algebra Done Right》真的是一本值得一读再读的线性代数教材，无论你是初学者还是资深爱好者，都能从中获得无尽的启发和乐趣！

斯坦福和伯克利都在用的线性代数教材！ 𐟓š《Linear Algebra Done Right》是Sheldon Axler所著的一本线性代数教科书，因其独特的教学方法和深入浅出的解释而备受推崇。这本书主要面向数学专业的本科生和研究生，尤其是那些已经完成了初阶线性代数课程的学生。 𐟓– 书中首先介绍了向量空间、线性独立性、张成空间、基和维度等基础概念，然后逐步引入了线性映射、特征值和特征向量，以及内积空间的概念。最终，书中介绍了有限维谱定理及其后果，例如奇异值分解。 𐟔 Axler在书中非常注重概念的动机和简化证明，使得这本书不仅是一个教材，也是一个概念理解的指南。此外，书中包含了大量的练习题，帮助学生理解和操作线性代数的对象。 𐟓 本书的一个显著特点是将行列式的概念放在书的后半部分，从而更加强调线性算子在有限维向量空间上结构的理解，这是线性代数的核心目标。

𐟓š线性代数神作推荐！ 𐟓–想要深入理解线性代数吗？《Linear Algebra Done Right》是你的不二之选！这本书由Sheldon Axler撰写，以独特的视角和方法来介绍线性代数的基本概念和理论。𐟒ኊ𐟎“它被数学专业本科生和研究生的课程广泛采用，因其强调理解有限维向量空间上线性算子的结构而备受赞誉。与传统教材不同，Axler从向量空间、线性独立性等基本概念开始，逐步深入到线性映射、特征值等高级主题。𐟔 𐟒᤹椸�˜包括对线性算子结构的独特见解，通过广义特征向量来揭示线性算子的深层结构。无论你是数学爱好者还是专业学生，这本书都将带你领略线性代数的奇妙世界！𐟌Ÿ

线性代数学习心得：从错误中发现真理我的线性代数基础并不扎实，从我更新频率就可以看出，这本书我看了很久。当然，期间我也看了很多其他书，哈哈哈。我认真读了前七章的每一个定理，大致看了看第十章，第八章和第九章打算先放一放，因为这本书的英文第四版对这些部分进行了大改，我打算先看第四版的这些部分。我发现了一个作者的错误，在第六章的内积空间中，理论上的所有结果都是建立在有限维向量空间上的，但是对于例子6.58，研究的空间是Cr:实值连续函数构成的实内积空间，这显然不是一个有限维向量空间。相当于作者为了说明一个弱定理的强大偷偷用了它的强大版本，有点可爱。我还想到了一个利用线性映射基本定理和正交补证明行秩等于列秩的方法，虽然没有书上的方法那么优雅，但也很有成就感。个人认为证明行秩等于列秩的最好方法是MIT教授Strang讲的CR分解，通过一个算法以及看矩阵乘法的不同方式，直接就证明了，非常优雅。其实本科学线性代数最困扰我的问题是矩阵的左逆为什么等于右逆。如果用矩阵乘法的定义，一堆数乘起来虽然也能证，但是难免不优雅。用这本书上的结论，那就轻松多了。v到v的线性映射可逆等价于单性或满性（线性映射基本定理告诉我们，v到v的线性映射单性等价于满性，所以这里可以用或，其实两个东西如果有一个都会有）。那可逆后，一组基vi其实就是映射到了另一组基si然后乘以左逆就是再逆回最开始的基vi。所以如果先用si乘左逆，那么是vi，根据前面的定义，乘以原矩阵（映射），vi又会被映回si，si又是一组基，所以就是很显然的结论了。但是要真正说明这一点，绕不开可逆的条件。在传统教科书中，可逆用行列式来刻画，并且后期需要用行列式把复数矩阵的特征值等价于行列式等于0这个方程的根，然后用代数基本定理证明。但本书中是直接深入研究了线性映射，给出了线性映射基本定理，把可逆性用这个定理刻画的清清楚楚了，就不需要行列式来研究线性映射可逆性进而不需要它研究特征值特征向量。这样行文下，可以最后定义行列式，而且压根不需要什么逆序数，拿特征值定义就行了，非常优雅。其实行列式是被大家讨厌，是因为行列式被'玩坏'了，本来用来搭建理论体系的脚手架，非要用来技巧题，让大家把线性代数的印象集中在对着一个表算来算去，很不好。行列式其实性质很好，很轻易就能得到线性映射的可逆的充分必要条件，行列式的值与基的选择无关，所以其实在研究本质的线性算子，而不是那个和基的选择相关的矩阵。行列式还有克莱默法则解方程的优雅表示，非常好的几何意义。

计量经济学数学基础：第一章纯方法论分享大家好，今天我想和大家分享一下计量经济学数学基础的第一章内容。这部分主要涉及一些纯方法论的东西，虽然计算部分也很重要，但今天我们先从理论部分开始。这一章的内容比较多，涉及到测度与概率、渐进分析等，所以我会分几次来分享。矩阵与向量基础 𐟓š 首先，我们来看看矩阵和向量的基础。对于K个约束条件的情况，可以类推到更一般的情况。下面是一些关键的证明：期望与迹算子的交换性 𐟔„ 期望算子和迹算子都满足线性，所以期望和矩阵算子可以交换。这意味着我们可以先计算期望，然后再取迹，或者反过来。这个性质在后续的证明中非常有用。幂等矩阵的秩 𐟎幂等矩阵的秩是其自身的秩。也就是说，如果MⲽM，那么M的秩等于1或者0。这个性质在证明其他结论时非常关键。矩阵的秩与相似对角化 𐟔犊如果M是一个幂等矩阵，那么它的秩加上E-M的秩等于n（E是单位矩阵）。这意味着M可以对角化，对角线上有K个1，其余全为0。这个结论在后续的证明中非常重要。测量误差与线性回归模型 𐟓ˆ 在经典假定4的解释部分，我们证明了r(M)=K。这个结论在测量误差与线性回归模型的分析中非常关键。总结 𐟓 总的来说，这一章的内容非常基础但非常重要。虽然计算部分也很重要，但今天我们先从理论部分开始。希望这些内容对大家有所帮助！下次我会继续分享更多关于计量经济学数学基础的内容，敬请期待！

线性代数新探：正交补与最小化这一周的学习内容真是让人眼前一亮！我们深入探讨了正交补与最小化问题，从投影算子的角度，全局误差最小化问题显得非常自然。而从矩阵的最小二乘法来看，其动机则显得有些难以捉摸。第七章的内容主要围绕自伴算子和正规算子展开。在证明结论的过程中，我们体会到这两种算子与实数和复数的类比关系。谱定理是线性代数中最重要和精华的部分，具有极其重大的理论意义。尽管在实际应用中，算子可能不严格具备自伴或正规的性质，但我们可以使用奇异值分解来获得关于算子或矩阵的重要信息。值得一提的是，奇异值分解不要求算子具有任何性质，这使得它成为一种强大的工具。接下来的第八章将探讨广义特征值和特征向量，这也是刻画算子性质的一种工具。与奇异值不同，它们不需要内积空间。学习数学的过程对我来说总是充满挑战。但我想说的是，只要你付出足够的努力，数学总会回报你一份意想不到的魅力。

MATLAB数字信号处理与通信实验全攻略 MATLAB课程指导、实验辅导数字信号处理信号与系统随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性分析 IIR数字滤波器设计及软件实现 FIR数字滤波器设计及软件实现数字信号处理在双音多频拨号系统中的应用滤波器设计：切比雪夫、巴特沃斯、理想低通(FIR、IIR) 语音信号处理无线网络点对点通信-2FSK调制与解调 RSSI采集定位-三角质心算法信道监听-CSMA/CA、CSMA/CD协议多点自组织网-CDMA多址通信 Zigbee协议三种网络拓扑模型(星状、网状、树状) LEACH算法探究网络路由协议的分簇 MAC层协议-纯ALOHA与时隙ALOHA Warshall算法计算节点覆盖数字图像处理图像信号数字化图像的线性/非线性变化、直方图均衡图像的空域变化-均值、中值滤波图像锐化-梯度算子、拉普拉斯算子、Sobel算子图像信号的傅里叶变换图像信号的复原处理-维纳滤波图像增强-频域低通/高通滤波彩色图像处理 JPEG图像文件编解码 MATLAB内置APP设计-图像RGB色彩读取与展示霍夫变换之答题卡的识别通信原理基本通信系统的构建与仿真二进制数字信号的调制与解调多进制数字调制解调-4FSK、4FSK、16QAM等通信系统综合设计-PCM编码、语音信号的接受和发送 2ASK信号的调制与仿真-MATLAB与simulink

物理学的本质：动力学与现实世界的联系物理学，作为一门探索自然现象和规律的科学，其本质可以归结为动力学。通过数学建模，我们可以将物理系统转化为对时间的高阶偏导方程组，这些方程组描述了系统的运动状态。𐟓ˆ 在分析力学中，我们将这些高阶偏导转化为状态或物理量，从而得到一阶偏导的非线性方程组，极大简化了问题。拉格朗日-欧拉方程就是将所有方程组合成一个全微分，对时间积分后变为作用量，初始状态和结尾状态是确定的。𐟌€ 动力学中的另一个关键概念是局部线性近似。通过将等式右边的生成元在极小的dt上进行泰勒展开，状态的变化可以写成单位算子加上一个极小量乘以算子，最后作用到初始状态上。这种方法不仅可以求解运动方程，还能通过极小量所乘的算子获得更多信息。𐟔 虽然动力学是物理学的核心，但物理学的范围远不止于此。动理学和热力学也是动力学的推广。动理学研究多体系统或宏观系统的平均状态分布，通过微观到宏观的平均过程来简化问题。𐟌Œ 热力学则研究大量粒子的系统，通过处理时间平均或直接将稳定状态分离出来，建立了一套热力学公理化框架。热力学的框架与处理掉时间的动力学框架是等价的。𐟔劊因此，尽管物理学看似是一个形而上的领域，它仍然是现实世界的描述。我们无法离开现实世界去开展纯粹的思维实验。𐟌 总结来说，动力学的核心在于动和力的关系，而物理学作为一门科学，其本质是通过数学模型和理论框架来描述和理解自然现象和规律。无论是动理学还是热力学，它们都是动力学的不同应用和推广。𐟓š

GP框架优化心得：从基础到高级最近写了一段时间GP框架，积累了一些思考。目前我的版本还比较基础，但非常感谢导师的启发！市场细节的判断真的太重要了𐟓ˆ𐟓Š GP框架主要由算子集、特征集和初始化个体到遗传变异的大框架三部分组成。后续的迭代也主要围绕这三个方向进行。算子集：参考Ky的研报，结合以往手动挖因子的经验，可以多设置一些时序上的二元切割算子。在原因子的基础上找到增益。特征集：GP主要有两种流派。一种是算子组合弱因子，另一种是算子组合基本量价数据。前者与模型类似，但如果切割算子设置得好，或许能找到模型之外相对线性的收益增益。后者需要控制数据间的交互逻辑，确保每个表达式的组合是“表层”相对合理的。可以试试接入L2数据，毕竟手动基于L2数据想因子比较困难（市面上可参考的研报太少𐟙…‍♂️）。适应度评估函数：目前只考虑到了单变量的返回，如IC/超额或其他逻辑。但看了官方文档，也可以是双变量，比如结合IC & 超额返回一个综合值作为fitness value。初始化个体到遗传变异各部分：每一代的生成和筛选都要加入“个体唯一”的逻辑，不然结果会高度冗余，浪费计算资源。每一代的遗传变异所选择的选择、交叉、变异函数、生成表达式的函数（如gp.genfull/gp.gengorw）都类似一种超参数，包括其中变异的概率、公式深度的选择。超参数改动一点，这批出来的结果可能又会有比较大的差异。在最后一代加入相关性的判断，只保留相关性低于某个阈值的因子。同时还要人工再去筛一遍。其他碎碎念：强烈推荐DEAP库，先参考官网文档熟悉GP各环节需要的函数及其含义。可以先把框架搭起来。若需要加入其他逻辑，DEAP库可以直接手动写函数实现。设置全局字典存储适应度评估部分中的各种指标非常方便，最后只需拿最后一代个体与字典中的key匹配便可调出对应值，看因子的各种指标表现，不需从头再求一遍。希望这些心得能对大家有所帮助！𐟓ˆ

留学生必备数学与统计学辅导指南 𐟌Ÿ 数学科目全覆盖 𐟌Ÿ 高等数学：从基础到高级，全面掌握导数与微积分、积分学、多元微积分等。线性代数：涵盖矩阵、行列式、向量空间等，为后续课程打下坚实基础。数学分析：深入探索函数的极限、连续性、可导性等。离散数学：包括图论、组合数学、逻辑学等，锻炼逻辑思维。概率论：从基础到高级，掌握各种概率分布和随机过程。运筹学：优化方法、决策理论等，解决实际问题。实分析：深入探索实数、复数、函数空间等。复分析：从复数到复变函数，全面掌握复分析的理论和方法。泛函分析：研究函数空间和算子理论，为现代数学打下基础。 Fourier分析：掌握Fourier级数和Fourier变换，应用于信号处理和图像处理。常微分方程：从基础到高级，掌握各种微分方程的解法。偏微分方程：包括椭圆型、抛物型、双曲型方程，应用于物理和工程。高等代数：抽象代数、近世代数等，培养数学素养。有限群表示论：研究有限群的表示理论，应用于物理和化学。拓扑群表示论：包括抽象调和分析，研究群在拓扑空间上的作用。 Lie代数及其表示论：研究Lie代数及其表示理论，应用于物理和数学。交换代数：研究交换环和交换代数，应用于代数几何和数论。逻辑学：从基础到高级，掌握逻辑推理和证明方法。初等数论：包括素数、合数、同余方程等，培养数学直觉。代数数论：研究代数数域和代数整数，应用于密码学和计算机科学。图论：从基础到高级，掌握图的性质和算法。微分流形：研究流形上的微分结构，应用于物理和几何。点集拓扑：研究拓扑空间和连续映射，应用于数学基础。工程数学：将数学应用于工程实际问题，提高解决实际问题的能力。 𐟓ˆ 统计学科目全覆盖 𐟓ˆ 数理统计：从基础到高级，掌握各种统计分布和假设检验。运筹学：优化方法、决策理论等，解决实际问题。拓扑学：研究拓扑空间和连续映射，应用于数学基础。时间序列：掌握时间序列分析方法，应用于金融和经济。贝叶斯统计推断：应用贝叶斯方法进行统计推断，提高预测准确性。应用回归分析：从基础到高级，掌握回归分析的方法和应用。生物统计：将统计学应用于生物学研究，提高生物实验的统计可靠性。现代人口分析方法：研究人口统计方法，应用于社会和政策分析。线性模型：从基础到高级，掌握线性模型的理论和方法。 SPSS/Stata：掌握统计软件的使用方法，提高数据处理效率。数值分析：研究数值计算方法和误差分析，应用于科学计算。商务统计：将统计学应用于商业数据分析，提高商业决策的准确性。应用统计：从基础到高级，掌握应用统计的方法和应用领域。概论率与数据统计：研究概率论和数据统计的基础理论和方法。线性数学模型：从基础到高级，掌握线性数学模型的理论和方法。离散数学模型：研究离散数学模型的理论和方法，应用于计算机科学和工程。微积分数学建模：应用微分方程进行数学建模，解决实际问题。概率论与数理统计：从基础到高级，掌握概率论与数理统计的理论和方法。数值分析方法：研究数值计算方法和误差分析，应用于科学计算。样本量估计：应用统计学原理进行样本量估计，提高实验设计的科学性。正态检验：应用正态检验方法进行数据检验，提高数据质量。假设检验：应用假设检验方法进行统计推断，提高预测准确性。方差分析：应用方差分析方法进行数据比较和分析，提高数据分析的准确性。相关分析：应用相关分析方法进行变量间的关系研究，提高数据解释的准确性。回归分析：从基础到高级，掌握回归分析的方法和应用领域。多元统计分析：应用多元统计分析方法进行多维数据的处理和分析，提高数据挖掘的效率。时间序列分析：掌握时间序列分析方法，应用于金融和经济领域。逻辑回归：应用逻辑回归方法进行分类问题的研究，提高预测准确性。

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