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柯西收敛准则权威发布_柯西收敛准则证明(2024年11月精准访谈)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：观点更新日期：2024-11-28

柯西收敛准则

数学分析笔记：从基础到进阶 ### 数列极限 𐟚€ 实数系的连续性：确界原理、Dedekind分割原理、Stolz定理、收敛准则（单调有限定理、柯西收敛准则、Bolzano-Weierstrass定理）、闭区间套定理、归结原则。两个重要的极限：连续函数的定义，第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点），第二类间断点（无穷间断点或振荡间断点）。函数极限的性质 𐟓ˆ 唯一性：函数极限在自变量趋近于某个值时，极限值是唯一的。局部保号性：函数在某点的极限与函数在该点的值符号相同。局部保序性：函数在某点的极限与函数在该点的值大小关系一致。局部有界性：函数在某点的极限与函数在该点的值都存在且有限。两边夹准则：函数被两个极限相同的函数夹在中间，其极限也存在且与这两个函数相同。无穷小量和无穷大量阶的判断：闭区间上的连续函数具有有界性、最值性、零点、介值性、一致连续性。反证法是一种有效的证明方法。区分一致连续和点点连续。一元微分 𐟓 代数学基本定理：一元n次多项式在复数域上有n个解。微积分基本定理：NL公式，可导一定连续，可导等价于可微。复合函数求导（链式法则）：复合函数的导数等于内层函数和外层函数的乘积。隐函数求导：隐函数的导数可以通过隐函数定理求解。一阶微分方程不变性：微分方程的解与自变量的变化无关。微分中值定理及其应用 𐟔 费马引理（Fermat）：极值点的导数为0。罗尔定理（Rolle）：函数在区间两端相等，中间有一点导数为0。拉格朗日定理（Lagrange）：中间导数等于斜率。柯西中值定理（Cauchy）：引入了两个函数，凹凸函数，不等式（三角不等式、均值不等式、Jensen不等式、Young不等式、Holder不等式）。洛必达法则：实际上是柯西中值的推广应用。泰勒展开：Peano余项和Lagrange余项。不定积分 𐟌 换元积分法（第一类和第二类）：通过换元法求解不定积分。分步积分法：分步积分法适用于被积函数包含不同类型项的情况。有理函数积分法：有理函数的积分可以通过部分分式法进行。定积分 𐟓Š 分割、近似、求和、取极限：黎曼可积，Darboux上和等于下和（上和不增，下和不减），必要条件是函数有界。基本性质：线性性、保序性、区间可加性、积分第一中值定理。反常积分、瑕积分、二元无穷限积分：通过求Cauchy主值的方法判断积分收敛的方式（Cauchy判别法、比较判别法、A-D判别法）。 PS: 闭区间上的连续函数一定可积且有界且一致连续，闭区间上的单调函数一定可积。点火公式要记住（sin和cos的n次方在0到2上的积分，考虑n为偶和n为奇，偶的时候从1/2开始要乘2，奇的时候从1开始）。

山大数学考研大纲𐟔劥﹤𚎦‰“算报考数学硕士的同学们来说，考研大纲可是重中之重。有了大纲，才能明确备考方向，少走弯路。为了帮大家更好地了解山东理工大学的招考信息，我整理了他们的数学分析考研大纲，供大家参考。考试范围实数集与函数 𐟓 考试内容：确界、函数定义考试要求：理解确界概念、确界原理和函数定义；掌握确界及函数的简单运算。数列极限 𐟓ˆ 考试内容：数列极限、收敛数列性质、数列极限存在法则、柯西收敛准则考试要求：熟练掌握用定义验证简单数列极限的方法；掌握用单调有界法则、迫敛性定理及性质证明数列极限存在的方法；理解柯西收敛准则。函数极限 𐟓‰ 考试内容：函数极限定义、函数极限性质、归结原则（海涅定理）、柯西准则、两个重要极限、无穷小量考试要求：熟练掌握用定义验证简单函数极限的方法；掌握函数极限性质、归结原则及柯西准则；熟练掌握两个重要极限；理解无穷小量性质。函数的连续性 𐟔„ 考试内容：连续函数、闭区间上连续函数性质、一致连续考试要求：掌握函数连续性定义及性质；熟练掌握用定义验证简单函数在某区间上是一致连续或非一致连续的方法。导数与微分 𐟓 考试内容：导数定义、求导法则与求导公式、高阶导数、微分考试要求：掌握导数定义；掌握可导与连续的关系；熟练掌握求导法则及参数方程所确定函数的求导方法；掌握高阶导数的计算方法；理解微分概念。微分中值定理及其应用 𐟔犨€ƒ试内容：中值定理、不定式极限、泰勒公式考试要求：熟练掌握微分中值定理；熟练掌握洛必达法则；理解泰勒定理；熟练掌握函数单调性、极值和凹凸性的判别方法。实数的完备性 𐟔銨€ƒ试内容：区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理考试要求：掌握各定理及其简单应用。不定积分 ∫ 考试内容：不定积分基本积分公式及运算法则、积分法考试要求：熟练掌握换元、分部积分法；掌握某些可有理化函数的不定积分的求法。考研上岸确实不容易，尤其是在职或在校的同学，专业课想拿高分？复习全局难把握？经验贴踩雷无数，关键期错过提升，各种各样的备考问题是不是一大堆？靠自学，没有方法，没有动力，相信这是很多人的内心写照。希望这份大纲能帮到你们，有效备考，专属学习方案，一战上岸！𐟒ꀀ

2021年北京工业大学数学分析期末总结 2021年北京工业大学的数学分析考试相对来说比较基础和常规。以下是我对每道题的简要分析：第一题：求极限 𐟧 这道题直接考察了定积分的定义，非常明显。第二题：实数完备性定理的应用 𐟓– 应用了实数完备性的相关定理，虽然不难，但需要一定的理论知识。第三题：闭区间连续函数的介值定理 𐟌 考察了闭区间连续函数的介值定理，题目设计巧妙。第四题：罗尔定理的应用 𐟎 利用罗尔定理构造了一个非常简单的函数，考察了其应用。第五题：多项式求n阶导数与泰勒定理 𐟏𚊠 考察了多项式求n阶导数和泰勒定理，题目设计得比较深入。第六题：定积分的区间可加性与不等式放缩 𐟓‰𐟓ˆ 考察了定积分的区间可加性和不等式放缩，之前似乎在某张卷子上见过类似题目。第七题：级数柯西收敛准则的应用 𐟔„ 结合单调性应用了柯西收敛准则，题目设计得比较直观。第八题：条件极值与拉格朗日乘数法的应用 𐟏… 考察了条件极值和拉格朗日乘数法的应用，计算量不大，但需要一定的数学技巧。第九题：复杂求导与幂级数展开 𐟌€ 这道题被认为是难度最高的，虽然思路简单，但其中一步放缩需要一定的技巧。第十题：定积分转化为累次积分 ∫∫ 将定积分转化为累次积分来解答，需要注意分部积分的系数和符号，题目设计得比较细致。总的来说，2021年北京工业大学的数学分析考试虽然基础，但涉及到的知识点比较全面，需要学生有扎实的基础和一定的数学技巧。

随机过程学习心得：一个月的收获与挑战随机过程真的是一门博大精深的学问，即使我用了一个月的时间，也只是冰山一角。连续样本点的概率为0，这个事实让我有些无奈，但也让我更加欣赏这门学科的奇妙之处。在这一个月的学习中，我体验到了“随机”的魅力。张颢老师的话“笔杆子要硬”“推三遍，上课跟着老师一遍，下课自己推一遍，考前尽兴推一遍”深深地影响了我。我也开始意识到，学习这门课程需要更多的动手实践。在这门课的学习中，我发现自己在基础课上的缺漏，需要继续查漏补缺。例如，泊松过程、到达时间顺序统计量等概念，由于没有学过数理统计，让我感到有些迷茫。还有柯西收敛准则，没有学过数分和高数，也需要补一补。然而，我也有一些意外的收获。对极限的理解更加深入了，不仅在高数中分析函数，上个月我还分析了矩阵，这个月又对二阶矩过程进行了分析。微分方程的求解也更加熟练了。泊松的时齐非时齐，感觉推导比多做题更适合我。张颢老师提到信号处理方向有三门半的基础课：矩阵分析、现代数字信号处理、随机过程和优化理论。之前觉得优化理论很难，现在感觉也不那么难了。经过一个暑假的学习，我感觉自己在学术之路上更加顺畅了。总的来说，这个月的学习虽然短暂，但让我对随机过程有了更深入的了解。虽然还有很多需要补充和完善的地方，但我也对自己的进步感到满意。希望未来的学习中，我能继续保持这种热情和毅力，不断进步。

数学分析第二章：数列极限备考指南 𐟓š 数学分析一开始，就明确告诉我们，分析的研究对象是函数，而且是基于实数平台上的单值函数。接下来，它毫不拖泥带水地带读者走进分析的大本营，极限理论。什么是极限？函数的极限！注意，数列严格的定义是函数！这是一个被大家轻易忽略的事实！尽管，你通俗地把数列理解成一列数也没有什么大的问题！数学理论所有的出发点都是定义。上面是数列的严格定义，它是定义域为正自然数上的一个对应，有时候也称为一个离散的函数。数列被定义好后，就迎来了整个第二章最核心的一个定义：数列极限！即，对任意给定一个数，总能够找到一个相应的N，使得充分朝后的那些点，与定数a之间的距离小于预先给定的那个数！毫无波澜简单朴素的四句话，却沉淀了好几个世纪，以至于像牛顿老师这样的天才都无法凝练出！计算机只识别0和1，却能模拟出万物！看似简单的东西，要深度理解并运用，并不是一件很容易的事！马克思告诉我们，在执行中理解！书上第一小节的每个例子都非常经典，你需要从证明的过程中去体会，如何找到相应的N，除了教材上找到的这些N，你还能不能找到别的？又比如例4和例5，都用到了伯努利不等式，这个不等式怎么来的？再比如，例5最后一句话你非常熟悉“the proof is left to the readers”，你敢尝试着把这个雷同的过程写出来吗？你不敢，大表哥是那么了解你！在第二小节的例二中，也出现和上节例4、5中同样的一个形式，出现了（1+X) n次方的形式，然而他们放缩的手法却完全不同，这到底是为什么？数学学习，就是要抓住这样的细节，而对付考研，我们更要小心谨慎！本章的难点是第三节，数列极限存在的条件，其中单调有界定理是一个充分条件，而柯西收敛准则是一个充要条件！数学理论中，充要条件更“好”，更重要一些！所以请同学们，务必理解并掌握柯西收敛准则，而且柯西的思想，会延续整个分析！有个例题应用单调有界定理，证明的过程中用到了二项式公式，形式稍微复杂一点，如下

𐟒ᤸ€道值得深思的数学题𐟒ኰŸ”在数学的奇妙世界里，有些看似矛盾的现象却有着深远的逻辑。比如，当数列收敛时，我们可以找到一个发散到正无穷的数列，它们的乘积依然收敛。𐟤憎™听起来是不是有点不可思议？但数学就是这样，充满了惊喜和挑战！ 𐟒ᦖ𙦳•一：放缩证收敛。通过放大或缩小数列的项，我们可以证明数列的收敛性。 𐟒ᦖ𙦳•二：柯西证发散。利用柯西准则，我们可以证明数列的发散性。 𐟓所以，记住这道题吧！它不仅考验了我们的数学技巧，更让我们领略了数学的魅力。𐟌Ÿ

柯西：科学的巨匠与分析学的奠基人

华南师范大学数学分析必考知识点清单 𐟓š 数学分析是华南师范大学数学科学专业的重要课程，以下是整理的必考知识点，帮助大家更好地备考！ 𐟔 数列极限通项变形算极限数列极限的性质 Stolz公式迫敛性准则定积分定义归结原则子列与聚点 𐟓ˆ 函数极限无穷小量函数的左右极限幂指函数求极限洛必达法则拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式（4阶）变限积分求极限 𐟒蠥‡𝦕𐧚„连续性连续的定义函数的渐近线间断点的分类一致连续 𐟓ˆ 函数的微分复合求导隐函数求导高阶导数函数的极值点与单调性 𐟒砥‡𝦕𐧚„积分分部积分凑微分法代入换元法微积分基本定理平面图形的面积旋转体的体积 𐟓Š 级数比式判别法根式判别法莱布尼茨判别法绝对收敛幂级数求和函数的幂级数展开 𐟌 多元函数的微积分二元函数的极限复合偏导高阶偏导条件极值二重积分的换序第二型曲线积分的计算格林公式第一型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算高斯公式 𐟓 空间解析几何空间平面方程空间直线方程平面及直线间关系 𐟓– 高等代数多项式：实系数多项式在不同数域上的因式分解实系数多项式根的性质韦达定理有理根的计算行列式：行列式和矩阵性质计算，克拉默法则方程组：基础解系、含参线性方程组求参含参线性方程组解的判别含参线性方程组求解矩阵：方阵行列式、矩阵的秩、伴随矩阵、逆矩阵、矩阵方程求未知矩阵二次型：二次型矩阵、正定二次型（正定矩阵）的判别含参实二次型求参线性空间：基与维数计算、过渡矩阵方法、基变换、生成子空间线性变换：线性变换的矩阵、线性变换（矩阵）可对角化、特征值与特征向量、利用特征值求方阵的行列式、求值域与核欧氏空间：向量的内积、向量的正交、向量的夹角、施密特正交化、标准正交基、实对称矩阵正交相似对角矩阵 𐟓 这些知识点是华南师范大学数学分析考试的重点，希望对大家有所帮助！