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函数求极限前沿信息_极限公式一览表(全套)(2024年11月实时热点)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：教程更新日期：2024-11-27

函数求极限

内蒙古专升本《高等数学Ⅰ》大纲详解 𐟓š 想要在内蒙古专升本考试中取得好成绩？那你一定要对《高等数学Ⅰ》的考试大纲了如指掌！大纲是备考的关键，掌握了它，你的复习效率将大大提升。下面，我们就来详细解析一下这份大纲。函数与极限 𐟓ˆ 掌握函数的定义和基本性质。理解函数的极限定义，掌握极限存在的条件。掌握洛必达法则，解决0/0型和∞/∞型极限问题。一元函数导数与微分 𐟓 理解导数的定义，明白函数可导与连续的关系。掌握导数的几何意义，能够求平面曲线的切线和法线方程。熟悉基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则。掌握隐函数求导法、由参数方程所确定的函数求导法。了解反函数的求导法则、对数求导法。理解高阶导数的定义，掌握显函数的二阶导数的计算方法。掌握微分的定义，理解微分的基本公式、运算法则及一阶微分形式不变性。一元函数导数的应用 𐟔犧†解微分中值定理——罗尔定理、拉格朗日定理，掌握罗必塔法则。掌握函数单调性的判定方法。理解函数极值的概念，掌握其求法。掌握函数最值的求法，会求简单的应用问题。理解曲线的凹凸性和拐点的含义，掌握其求法。了解函数作图的主要步骤。一元函数积分学 𐟓 理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质。掌握不定积分的基本积分公式。掌握不定积分的直接积分法、换元积分法与分部积分法。理解定积分的概念及其性质。理解积分变上限函数及其求导定理。掌握牛顿——莱布尼兹公式。掌握定积分的直接积分法、换元积分法和分部积分法。了解无穷限广义积分的概念，会求简单的无穷限广义积分。掌握定积分在几何及简单实际问题中的应用。空间解析几何 𐟌 了解空间直角坐标系，会求空间两点之间的距离。了解向量的概念，会进行向量的加法与数乘运算。掌握平面与空间直线的方程及它们之间的平行、垂直关系。掌握求平面的点法式方程、一般式方程及用点向式求空间直线方程的方法。了解球面方程及母线平行于坐标轴的柱面方程。常微分方程 𐟌€ 了解微分方程的阶及其解、通解、初始条件和特解的概念。掌握可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程的求解方法。会用降阶法求解形如y''=f(x)的微分方程。了解二阶线性微分方程解的结构。掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。会应用微分方程求解简单的实际问题。考试形式与参考题型 𐟓 考试形式：闭卷、笔试，时间为150分钟，满分100分，不使用计算器。参考题型：单项选择题、填空题、计算题、应用题等，也可能采用其他符合数学学科性质和考试要求的题型。参考书目 𐟓– 备考时，可以参考含有上述考试内容的《高等数学》等相关参考书目，这些书目将为你提供更深入的学习资源和详细的解题指导。希望这份大纲能帮助你在内蒙古专升本《高等数学Ⅰ》的备考中取得好成绩！加油！𐟒ꀀ

华南师范大学数学分析必考知识点清单 𐟓š 数学分析是华南师范大学数学科学专业的重要课程，以下是整理的必考知识点，帮助大家更好地备考！ 𐟔 数列极限通项变形算极限数列极限的性质 Stolz公式迫敛性准则定积分定义归结原则子列与聚点 𐟓ˆ 函数极限无穷小量函数的左右极限幂指函数求极限洛必达法则拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式（4阶）变限积分求极限 𐟒蠥‡𝦕𐧚„连续性连续的定义函数的渐近线间断点的分类一致连续 𐟓ˆ 函数的微分复合求导隐函数求导高阶导数函数的极值点与单调性 𐟒砥‡𝦕𐧚„积分分部积分凑微分法代入换元法微积分基本定理平面图形的面积旋转体的体积 𐟓Š 级数比式判别法根式判别法莱布尼茨判别法绝对收敛幂级数求和函数的幂级数展开 𐟌 多元函数的微积分二元函数的极限复合偏导高阶偏导条件极值二重积分的换序第二型曲线积分的计算格林公式第一型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算高斯公式 𐟓 空间解析几何空间平面方程空间直线方程平面及直线间关系 𐟓– 高等代数多项式：实系数多项式在不同数域上的因式分解实系数多项式根的性质韦达定理有理根的计算行列式：行列式和矩阵性质计算，克拉默法则方程组：基础解系、含参线性方程组求参含参线性方程组解的判别含参线性方程组求解矩阵：方阵行列式、矩阵的秩、伴随矩阵、逆矩阵、矩阵方程求未知矩阵二次型：二次型矩阵、正定二次型（正定矩阵）的判别含参实二次型求参线性空间：基与维数计算、过渡矩阵方法、基变换、生成子空间线性变换：线性变换的矩阵、线性变换（矩阵）可对角化、特征值与特征向量、利用特征值求方阵的行列式、求值域与核欧氏空间：向量的内积、向量的正交、向量的夹角、施密特正交化、标准正交基、实对称矩阵正交相似对角矩阵 𐟓 这些知识点是华南师范大学数学分析考试的重点，希望对大家有所帮助！

高数必备：泰勒公式的灵活运用在高等数学的求极限过程中，泰勒展开式是一种非常有用的工具。𐟛 ️ 泰勒公式能够提供一种系统的方法来近似复杂函数的行为，尤其是在x趋近于某个特定值时。𐟔 泰勒公式的核心思想是通过已知的函数在某一点的导数信息，来构建一个多项式函数，这个多项式函数在给定的点上与原函数相等，并且在该点附近也能提供相当准确的近似。𐟓Š 在实际应用中，泰勒公式的展开项数可以根据需要来选择，以便在精度和复杂性之间达到平衡。𐟎€š过选择合适的展开项数，我们可以有效地处理各种复杂的数学和物理问题。例如，在计算极限时，泰勒公式可以帮助我们找到函数的极限形式，从而更方便地进行计算。𐟧�䖯𜌦𓰥‹’公式在微分方程、复数函数和概率论等领域也有广泛的应用。掌握泰勒公式，不仅能够提高解题效率，还能加深对数学原理的理解。𐟓š 因此，对于高等数学的学习者来说，泰勒公式是一项非常重要的技能。

25考研880题：前人栽树，后人乘凉最近有不少学弟学妹来问我，880题一刷正确率低怎么办？证明题要不要做？看了答案还是不懂的题目怎么解决？其实，我当时考研的时候也走了不少弯路。为了帮大家少走弯路，我特意整理了一些批注和注意事项，分享给大家。拓展题：从后往前做，或者直接不写有些题目比较难，可能需要一些拓展知识才能解答。如果你时间紧张，可以直接跳过这些题目，先做其他的。当然，如果你有时间和兴趣，也可以从后往前做，这样可能会让你对题目有更深入的理解。解答题：设f(x)在[a,b]上可导这个问题比较复杂，涉及到导数和函数的一些高级概念。具体来说，题目要求证明在某个区间内存在一个点x0，使得f(x0)=x。这个问题需要你掌握一些微分方程和函数性质的知识。李林全家桶：2025考研数学精讲精练880题这本书真的是考研数学的神器！里面的题目质量非常高，特别是那些经典题目。建议你认真做一遍，特别是那些不会做的题目，一定要仔细思考。证明题：设f(x)是[0,∞)上单调减少且非负的连续函数这个问题涉及到单调函数和非负函数的性质。你需要证明f(k+1)≤f(x)dx≤f(1)，并且求极限lim[1/(1+lnn)]。这个问题需要你掌握一些极限和单调函数的性质。其他题目：设f(x)=x^n-cosx 这个问题涉及到函数的零点和极限的计算。你需要证明方程f'(x)=0在(0,1)内有唯一实根x，并且求lim(1-x^n)。这个问题需要你掌握一些函数零点和极限的计算方法。其他题目：证明:一b(+∞)<1（为正整数）这个问题涉及到无穷级数的计算和比较。你需要证明这个级数收敛到某个值，并且求极限lim[1/(1+lnn)]。这个问题需要你掌握一些无穷级数和极限的计算方法。希望这些内容能帮到你们，祝大家考研顺利！𐟒ꀀ

数学分析必考题型汇总，轻松掌握！ 𐟓š 理清数学分析考试题型，有助于更好地复习哦～判断开集、闭集、有界集、区域，指出聚点、界点、内点证明集合为闭集：聚点都属于集合求二元函数的极限：直接求或者追敛性讨论二元函数的重极限和累次极限求二元函数的重极限：y=x，极限不存在累次极限存在不相等，重极限不存在讨论函数的连续性：主要看区域分界点的连续性求偏导数：将另一变量看成常量求导证明偏导数不存在：定义求极限考察函数可微性：反证法求全微分：直接求给定点的全微分求切平面方程和法线方程：切平面和法线方程的求解计算近似值：f(x, y)≈f(x0, y0)+fx(x0, y0)dx+fy(x0, y0)dy 求复合函数的偏导数或导数：链式法则求复合函数的全微分：直接求证明等式：质求偏导数求方向导数：f(x, y, z)=fx(p0)cosa+fy(p0)cosfz(p0)cos求梯度：gradf(p0)=(fx(p0), fy(p0), fz(p0)) 求泰勒公式：f(x+dx, y+dy)=f(x, y)+fx(x, y)dx+fy(x, y)dy+fxx(x, y)dxⲫfxy(x, y)dxdy+fy(x, y)dyⲊ求高阶偏导数：注意复合函数的高阶求导，在一阶求导后f与两个中间变量都还有关求极值点：先求出fx=0，fy=0的点，再求fxx，fxy，fy，最后判断极值类型求最值：在稳定点、不连续点、边界点中比较出最值是否存在隐函数：隐函数存在性定理：F(x0, y0)=0，Fy、F连续，Fy≠0 求隐函数导数：先去除fy=0的点，然后求f(x)=-(Fx/Fy) 求平面曲线的切线方程和法线方程求空间曲线的切线方程和法平面方程：两种情况（如求某曲线的切线平行某个平面）求平面的切平面和法线方程（如求某平面的切平面平行某个平面）求条件极值：L(x, y, z, =f(x, y, z)+h1(x, y, z)+h2(x, y, z))，求解方程组：Lx，Ly，Lz，…L0，求得稳足点，判断是否为极值点，是否取极值或最值拉格朗日乘数法应用：重新求水箱设计的问题，解拉格朗日函数L(x, y, z, A)=2(xz+yz)+xy+(xyz-V)，令偏导数等于0，求解方程组，得到最小值S=3(2V)Ⲁ

拉格朗日定理 𐟓– 罗尔定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0。几何意义：在连续曲线上，若两端点处函数值相等，则曲线上必存在一点，使得该点的切线与x轴平行。 𐟓– 拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)内可导，则存在c∈(a,b)，使得f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)。几何意义：在连续曲线上，若两端点处函数值存在差异，则曲线上必存在一点，使得该点的切线与连接两端点的直线平行。 𐟓– 洛必达大法：当函数0/0或∞/∞型的极限存在时，可以通过洛必达法则来计算。具体步骤包括：0/0型时，求导数；∞/∞型时，取倒数并求导数。应用场景：在计算函数极限时，洛必达法则是一种有效的工具。 𐟓– 最值问题与单调性：通过一阶导数来判断函数的单调性。若函数在某区间内一阶导数大于0，则函数在该区间内单调递增；若一阶导数小于0，则函数单调递减。利用二阶导数来判断函数的凹凸性。若二阶导数大于0，则函数在对应区间内凹；若二阶导数小于0，则函数凸。 𐟓– 极值问题与判别法：通过比较函数在一阶导数为零的点处的函数值，可以找到函数的极值点。利用极值点来判定函数的最大值和最小值。 𐟓– 凹凸性与极值点：凹凸性是描述函数图像弯曲方向的概念。凹函数在任意一点处的切线都在函数图像的下方，而凸函数则在上方。通过凹凸性来判断函数的极值点，进而找到函数的最大值和最小值。

考研数学夹逼准则：从基础到拔高 𐟓 夹逼准则在考研数学中的应用非常广泛，尤其是对于函数的单调性和极限的求解。下面我们通过一些典型的例题来讲解夹逼准则的使用方法。题型一：函数的夹逼准则【例1.9.1】（2009年）设函数$S(x) = \sum_{n=1}^{x} \frac{1}{n^2}$，当$n$为正整数，且$n \leq x < n+1$时，证明：$2n \leq S(x) < 2(n+1)$。 𐟓 解题思路：首先，观察函数$S(x)$的性质，发现当$x$在$[n, n+1)$区间内时，$S(x)$的值被夹在$2n$和$2(n+1)$之间。通过比较函数的大小，利用夹逼准则，可以得出结论。题型二：数列的夹逼准则【例1.9.2】（1995年）求极限$\lim_{n \to \infty} \frac{n+n+1}{n+n+2} \cdot \frac{n+n+n}{n+n+1}$。 𐟓 解题思路：首先，将给定的表达式进行简化，得到一个包含$n$的函数形式。然后，观察这个函数在$n$趋近于无穷时的行为，发现它被夹在两个常数之间。利用夹逼准则，可以得出极限的值为1。【例1.9.3】（2010年）比较$\sqrt{1+\frac{1}{x}}$与$\sqrt{1+\frac{1}{x+1}}$的大小，说明理由。 𐟓 解题思路：首先，将两个函数进行作差，得到一个新的函数。然后，观察这个新函数在$x$趋近于无穷时的行为，发现它被夹在两个常数之间。利用夹逼准则，可以得出两个函数的大小关系。【例1.9.4】（2019年）设$a_n = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$，证明数列$a_n$单调减少，且$a_n$的极限为$\frac{1}{2}$。 𐟓 解题思路：首先，观察数列$a_n$的性质，发现它是一个单调减少的数列。然后，利用夹逼准则，可以得出$a_n$的极限为$\frac{1}{2}$。通过这些例题，我们可以看到夹逼准则在考研数学中的重要性和应用范围。掌握夹逼准则的解题方法，可以帮助我们更好地理解和解决相关问题。

专升本高等数学全真模拟题及答案解析 𐟓š 专升本高等数学模拟题 𐟔 求极限： lim(e^x - 1 - tan x) lim(sin(x^2 - x) - sin(5x)) lim(e^x - 1 + arctan x) lim(3x + 1 - x^2) lim(e^x - 1 - e^(-cos x)) 𐟓ˆ 函数连续性：讨论函数 f(x) = 3x + 1 在 x = 0 处的连续性。若 x = 0 是 f(x) 的间断点，指出间断点的名称。 𐟔 多项式极限：若多项式 f(x) = x^3 - 4x + 1，且 lim(f(x)) = 1，求 f(x) 的表达式。 𐟓ˆ 应用题：应用夹逼定理求 lim((n + n + 1)/(n + n + 2))。求曲线 y = e^(arctan x) 的水平渐近线和垂直渐近线。 𐟓Š 证明题：设函数 f(x) 在 [0,1] 上连续，且 f(0) = f(1) = 0，f([1/2]) = 1，证明：存在 ne(0,1)，使 f(n) = 1。

高数第四讲：求导与极限的技巧 𐟌𑠴.1 基本求导方法本讲主要考察了两种基本求导方法：两函数相乘的求导公式：(uv)' = u'v + uv' 复合函数的求导：y = f(u)，y' = f'(u)u' 𐟚€ 4.2 极限与求导这部分内容主要考察了先求极限再求导的方法，特别是1^∞型的极限问题。 𐟔„ 4.3 反函数的二阶导数直接记住公式：x''(y) = -y''(x) / (y''(x))^3 𐟌Š 4.4 参数方程的二阶导数记住引入中间量dt，方便计算参数方程的二阶导数。 𐟓ˆ 4.5 高阶导数问题考察了简单的归纳法，特别是系数是1, 2, 3...还是1, 2!, 3!...的区别。将复杂的式子转化为基本高阶导数形式，牢记常用高阶导数公式。 𐟔 4.6 易错点与技巧倍角公式的运用是易错点，技巧是将“加起来n阶”转为“拆开的n阶+n阶”。 𐟧.7 隐函数求导掌握步骤：先在方程两边对自变量x求导，得到一个关于y'的方程，然后解该方程便可求出y'。技巧：ln谁比谁求导，可以先拆为ln-ln再求导。 𐟓– 4.8 导函数连续性的证明理解题干：证明导函数在某点连续，首先要求出导函数。求导函数：非分段点直接用求导公式，分段点用导数定义，涉及到求极限的问题。特别注意洛必达法则的使用，不是对所有0/0型都适用。技巧：求极限时，根据观察，得知题干中有许多关于0点函数和导数情况，可以直接用泰勒公式一步到位。

专升本高数备考，顺序别乱！嘿，准备专升本的小伙伴们，千万别小看高数这门课！如果你把顺序搞反了，那可真是稀里糊涂学得一团乱，时间和精力都白白浪费了。来，咱们一起捋一捋高数的备考重点和做题技巧吧！考试重点 𐟓š 函数、极限与连续函数的概念和性质极限的计算无穷小阶的比较函数的连续与间断零点定理（根的相关问题）一元函数微分学函数的求导导数的应用微分中值定理一元函数积分学不定积分、定积分、反常积分的计算变上限积分利用定积分求面积及旋转体体积常微分方程一阶微方程的通解、特解二阶微方程的通解、特解向量代数与空间解析几何向量的概念和性质数量积与向量积空间直线方程空间平面方程多元函数微分学二元函数的求导法则偏导数与全微分多元函数的应用多元函数积分学二重积分的计算方法第一类、二类曲线积分无穷级数常数项级书的敛散性判断幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域函数的展开与幂级数的求和做题技巧 𐟒ኦ𑂤𘍥篥ˆ†一定要＋C，求单调区间一定要考虑端点在不在定义域。带有绝对值的函数无论是求导还是求定积分，一定要去掉绝对值。等价无穷小替换一定不要用于加减，可能会出错。定积分看到上下限互为相反数，很可能用到奇偶函数在对称区间上积分的性质。应用问题求最值，一旦建立了函数关系就可以求导，求的驻点通常就是最值点。求微分时无论是求函数在一点的微分还是求函数的微分不要忘记乘dx。求定积分需要换元时，一定要注意“三换”原则。看到正弦或余弦函数在0到二分之š„定积分，有可能用到点火公式。备考小贴士 𐟓 高数基础知识一定要重点掌握！我是跟董硕专升本学的，课前先预习，课上结合老师讲的例题把基础概念、核心公式都理解透彻，做题才会更简单。某个公式不太理解的话，可以结合1-2道例题的解题步骤去拓展做题思路，做完同类型的题之后，及时总结做题技巧。准备好错题本，把掌握不牢的题总结2道，每天单独做一遍，及时巩固练习，保持好手感。基础差的同学不要钻研高难度的题，重心放在基础题上，把能拿的分数都拿到手就差不多已经够用了。希望这些小建议能帮到你们，祝大家都能顺利上岸！𐟚€