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范数最新娱乐体验_范数和模的区别(2024年12月深度解析)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：话题更新日期：2024-11-29

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机器学习必备线性代数知识速查手册 ### 向量和矩阵的基本概念 𐟓 向量：向量是空间中的一个点或一组坐标的有序数组。简单来说，它就像一个箭头，指向某个方向。矩阵：矩阵是由一组行和列组成的矩形阵列，每个元素都可以用行和列的索引来标识。就像一个表格，每个格子都有一个值。向量的加法和标量乘法 𐟔„ 向量的加法：就是把两个向量的对应元素加起来。标量乘法：就是用一个标量（也就是一个数）乘以向量，结果是一个新的向量。这两个操作都可以表示向量之间的线性组合。向量的长度和单位向量 𐟓 向量的长度：也叫范数或模，是向量的大小或长度，可以用勾股定理来计算。单位向量：长度为1的向量，用来表示方向。就像一个单位圆上的点，长度总是1。矩阵的转置和逆矩阵 𐟔„ 矩阵的转置：把矩阵的行和列互换得到的新矩阵。就像把表格转个90度。逆矩阵：如果一个矩阵A存在逆矩阵A^-1，那么A*A^-1=I，其中I是单位矩阵。就像一个方程的解，有且只有一个。矩阵的乘法和行列式 𐟓ˆ 矩阵的乘法：两个矩阵相乘得到的新矩阵，需要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。就像两个表格的乘积。行列式：一个方阵的行列式是一个标量值，表示该矩阵的行和列的线性关系。就像一个方程组的系数。特征向量和特征值 𐟌€ 特征向量：对于一个矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=，其中˜露€个标量，那么v就是A的特征向量。特征值：对于一个矩阵A和它的特征向量v，˜ﶧš„伸缩因子，称为A的特征值。就像一个弹簧的劲度系数。矩阵的奇异值分解 𐟔犥凥𜂥€𜥈†解：将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是左奇异矩阵、一个是右奇异矩阵，另一个是对角矩阵。就像把一个复杂的机器拆分成几个简单的部分。矩阵的范数 𐟓 矩阵的范数：矩阵的范数是矩阵向量的一种推广，用来衡量矩阵在空间中的大小。常用的矩阵范数包括L1范数、L2范数和Frobenius范数。就像一个物体的重量或体积。向量空间和线性变换 𐟌 向量空间：一个向量空间是由一组向量和一组标量（通常是实数或复数）构成的集合，满足一定的线性性质。线性变换：一个线性变换将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，并保持向量空间的线性性质不变。就像一个函数，输入一个值，输出一个新的值。线性方程组和解的表示 𐟓 线性方程组：一组线性方程的集合，其中每个方程都是形如a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b的形式。就像一堆方程组。解的表示：线性方程组的解可以表示为向量x的形式，其中x的每个元素对应一个未知数的解。就像一个方程组的解集。特征分解和奇异值分解的应用 𐟛 ️ 特征分解：一些数学问题可以通过特征分解来求解，例如求解矩阵的特征向量和特征值，或者求解线性方程组的解。奇异值分解：奇异值分解常用于数据压缩和降维等领域，例如在主成分分析（PCA）中，可以使用奇异值分解来求解数据的主成分。就像用一些简单的部分来描述一个复杂的事物。

Gradnorm：多任务梯度平衡术 Gradnorm是一种专为多任务学习设计的优化策略，旨在通过梯度归一化来平衡不同任务的训练。𐟔„ 在多任务学习中，由于每个任务可能有不同的损失函数，它们的梯度规模可能会大相径庭，这可能导致梯度混合问题，使得某些任务的主导地位过于突出，从而影响其他任务的进展。 Gradnorm的核心理念是对每个任务的梯度进行归一化处理，以确保每个任务的梯度规模一致。𐟓 这意味着，无论任务的复杂性如何，它们的梯度都会被调整到相同的权重，从而在不影响其他任务的情况下进行学习。具体来说，Gradnorm会计算每个任务的梯度范数，并将其除以所有任务梯度范数之和，以获得一个权重。𐟎„𖥐Ž，将该任务的梯度乘以这个权重，使其与其他任务的梯度规模对齐。这样一来，每个任务都能获得与其重要性相匹配的关注度。 Gradnorm的应用场景非常广泛，包括图像分类、自然语言处理等多个领域。𐟌 实验表明，在某些情况下，Gradnorm的表现优于其他方法，能够更有效地平衡各个任务的训练。在实际应用中，需要注意的是，Gradnorm会增加一定的计算量，因为它需要对每个任务的损失函数进行梯度计算和归一化。𐟒𛠥› 此，在实际应用中，需要根据具体需求和资源进行权衡和调整。

[LG]《Rethinking Softmax: Self-Attention with Polynomial Activations》H Saratchandran, J Zheng, Y Ji, W Zhang, S Lucey [University of Adelaide] (2024)网页链接「机器学习」「人工智能」「论文」

华科2023年高等工程数学试卷考点解析 𐟓 选择题：可逆概念的理解可对角化概念的理解线性方程组Jacobi/Gauss-Seidel迭代方法的收敛性判别迭代法的稳定性判断抽样分布的几个定理统计量中无偏性概念的辨别 𐟖‹️ 填空题： Hermite插值多项式满秩分解求cosx的一次最佳一致逼近给定数值求积公式形势下的代数精度矩阵的二范数极大似然估计法 𐟓 解答题：线性空间基的证明及线性空间的变换在不同基下的矩阵表示 Jordan标准型及e^At的求解 Gauss-Legendre和Gauss-Chebyshev两点求积公式（需对积分区间进行变换）方程零点存在性证明及迭代法解方程的收敛性证明数据的最小二乘拟合已知正态分布的均值和方差，求样本均值的单侧假设检验和样本方差的双侧假设检验

结合梯度、特征和注意力的大模型解析动机（motivation）：解释Transformer模型的方法主要基于自注意力分数或梯度。然而，这些方法存在以下缺点：只考虑自注意力分数，忽略了特征的属性。例如，QK相乘得到注意力分数，而V是特征时，V的大小（如范数）也会影响最终输出。只关注QKV的注意力，忽略了残差结构。基于梯度的方法忽略了不同输出token之间的交互。实现方法：考虑梯度：类似GradCAM，计算输出某个token对中间层输出的梯度。考虑特征：将梯度信息与特征进行哈达玛积（矩阵按位相乘）。考虑注意力分数：最后与注意力分数相乘。实验效果：选取了encoder架构的模型，以及情感分类任务的数据集、问答数据集和段落蕴含关系数据集进行评测，效果超过了只基于梯度和注意力的方法。生僻单词： duly：合适的 Rollout：首次展示；[航] 滑跑 shortcut：道路，便捷小道 herein：于此，在此 fidelity：忠实度

内积和外积的区别内积（Inner Product）是线性代数中的一个核心概念，它定义了向量空间中的一种特殊乘法。内积将两个向量映射到一个标量，并满足特定性质。以下是内积的主要性质：正定性：内积的结果总是非负的。线性性：内积对每个向量都是线性的。对称性：交换两个向量的顺序，内积的值不变。在欧几里得空间（如二维或三维空间）中，内积通常定义为两个向量的对应分量的乘积之和。内积有许多重要应用，包括：长度和距离：通过内积可以定义向量的长度（即范数）和向量之间的距离。正交性：如果两个向量的内积为零，则称它们是正交的（即互相垂直）。投影：内积可以用于计算一个向量在另一个向量上的投影。内积的概念不仅限于欧几里得空间，在更抽象的向量空间中也可以定义内积，只要满足上述性质。这样的空间被称为内积空间（Inner Product Space）。

神经网络训练：SGD与Adam优化器对比在神经网络训练中，Adam优化器和SGD（随机梯度下降）各有千秋。Adam优化器类似于带符号的SGD，其更新量的尺度与梯度大小关系不大，这使得Adam在调整时相对容易。而SGD的更新量则直接受梯度大小的影响，因此SGD的调整较为复杂。 𐟔 对于SGD，如果损失函数（loss）增大k倍，梯度也会相应增大k倍。这意味着损失函数的尺度和学习率（learning_rate）都会对训练过程产生影响。 𐟓‰ 对于SGD，如果网络的不同部分梯度差异很大（例如数量级差异），这会导致网络各部分的训练难以协调，梯度小的部分更新速度会非常缓慢。 𐟔 为了更好地理解网络的训练过程，建议你在训练时打印出每一层梯度的范数（norm）。具体操作是对每一层每个参数的范数取均值，最后再取对数，这样可以直观地看到梯度的大小和数量级差异。如果累计梯度太小或者梯度大小不平衡，这些问题将一目了然。通过这些方法，你可以更好地监控和调整神经网络的训练过程，从而获得更好的模型性能。

如何平衡学习、工作与家庭？今天的学习日程安排得满满当当。早上，我投入了3小时的学习，从导数、微分到向量、行列式、矩阵、积分、极点、鞍点、范数、内积、定数、凸集、最优解、拉格朗日函数……仿佛是把大学所有科目的数学知识点都回顾了一遍，沉寂了20多年的知识如同被唤醒的狮子。𐟦 下午，我转战科技论文写作课程，老师用中英文夹杂的方式讲解，对照摘要和简介的范例，分析了常见的语法、时态和语态错误。𐟓 在这期间，我切换到公司，检查了一位加班同事的作业，并询问了另一位同事的进展和效果。𐟑颀𐟒𜊊同时，我一边听西交大学报的讲座，一边记录新知识：如何选择目标发表期刊，以及发表论文的注意事项和逻辑顺序。𐟓š 老师总结了知识点，并要求学生结对子，互相批改点评作业，还布置了限期作业。𐟓 之后，我与另一位同事进行了简短的沟通，坚定了我的一个想法，并减轻了惶恐。𐟑颀𐟒𜊊最后，我联系了一位朋友，准备启动新的篇章。𐟓 结束了一天的学习和工作，我赶去与儿子汇合，他上课，我准备放松一下，看看自己喜欢的书，做做读书摘录。𐟓– 想想自己奔五年纪，一边读博，一边工作，一边照顾读高三的孩子，一直在努力再努力，虽然辛苦，但难免顾此失彼。𐟑颀𐟎“ 到底如何平衡学习、工作和家庭呢？你认为成功的女人应该如何定义？你认识的成功女人有哪些特征？你最佩服她哪一方面？𐟤”𐟒က

[LG]《Characterizing Model Robustness via Natural Input Gradients》A Rodr㭧uez-Mu㱯z, T Wang, A Torralba [MIT CSAIL] (2024)网页链接「机器学习」「人工智能」「论文」

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