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变限积分函数求导新上映_变上限积分既有x又有t(2024年12月抢先看)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：导读更新日期：2024-12-01

变限积分函数求导

高等数学5：定积分知识点全解析第二节：定积分 ✅考点五：定积分的几何意义 ✨①可以计算定积分②可以比较大小 ✅考点六：定积分的性质(常考) 知识点一：积分区间可加性 ✨①线性性质②交换限性质③加和性(拆分限性质) 知识点二：定积分的保序性 ✨若f(x)＞g(x)则∫a→b f(x)dx＞∫a→b g(x)dx 保号性：f(x)＞0则∫a→b f(x)dx＞0 知识点三：定积分的奇偶性 ✨积分区间关于原点对称，考虑被积函数的奇偶性知识点四：周期性 ✨定积分的上下限为f(x)的一个周期(暗指被积函数为周期函数)，考虑被积函数奇偶性知识点五：估值性 ✨见图 ✅考点七：变限积分及其导数的应用知识点一：变限积分求导 ✨见图知识点二：与洛必达法则结合求极限 ✨求极限见积分直接洛必达 ✅考点八：定积分的计算知识点一：公式法计算定积分 ✨见图知识点二：凑微分法、换元积分法以及分部积分法 ✨①凑微分法(第一换元法) ②第二换元法：1.换被积函数2.换积分变量3.换上下限 ③分部积分法：反对幂三指 ✅考点九：广义积分的计算和收敛性 ✨见图 ✅考点十：定积分的应用知识点一：利用定积分求平面图形的面积 ✨①画图②判断类型，并写出范围③代入面积公式知识点二：利用定积分求旋转体体积 ✨①画图②判断类型，并写出范围③代入体积公式

考研数学60天冲刺计划，阿强亲授！大家好，我是阿强，考研数三考了146分。对于那些还没好好复习考研数学的同学，现在开始努力是完全来得及的。60天的时间足够你把所有题型刷两遍。以下是我为大家制定的一轮复习时间和学习计划，按照这个时间和知识点进行完一轮复习后，再进行二轮复习。大家在跟着学习的时候，一定要注意每天学习的重点，一定要在睡觉前把这些重点都掌握好。 10月24日复习重点极限存在才能拆开算函数可导性与洛必达使用次数泰勒公式的展开阶数直接使用等价无穷小的情形求极限时积分中值定理的运用无穷小的运算规则极限中变限积分的处理 10月25日复习重点导数定义的形式变限积分求导公式复合函数求导规则 10月26日复习重点反函数求导公式的推导求具体点/整个函数的高阶导 10月27日复习重点结合单调性、最值和中值定理证明不等式大家可以按照这个规划表格，先复习完第一轮。最重要的是看清楚下面的测试时间，抓紧时间做一下测试，检验一下学习成果，做好复盘！希望大家都能顺利备考，取得好成绩！

专升本数学自学指南：必掌握知识点 𐟓š 定积分理解定积分的概念和几何意义，掌握其基本性质。掌握变限积分函数的概念，并学会求导方法。熟悉牛顿—莱布尼茨公式。掌握定积分的换元积分法和分部积分法。了解无穷区间上有界函数的广义积分和有限区间上无界函数的瑕积分的概念，掌握计算方法。会用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。 𐟔 无穷级数数项级数理解级数收敛和发散的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。熟记几何级数、调和级数和p—级数的敛散性，会用正项级数的比较审敛法和比值审敛法判别敛散性。理解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，会用莱布尼茨判别法判别交错级数的敛散性。幂级数理解幂级数、幂级数收敛及和函数的概念，会求幂级数的收敛半径与收敛区间。掌握幂级数和、差、积的运算。掌握幂级数在其收敛区间内的基本性质：和函数是连续的、可逐项求导及可逐项积分。熟记麦克劳林级数，会将一些简单的初等函数展开为x－x0的幂级数。 𐟒ᠥ𘸥𞮥ˆ†方程一阶常微分方程理解常微分方程的概念，掌握阶、解、通解、初始条件和特解的概念。掌握可分离变量微分方程与齐次方程的解法。会求解一阶线性微分方程。二阶常系数线性微分方程理解二阶常系数线性微分方程解的结构。会求解二阶常系数齐次线性微分方程。会求解二阶常系数非齐次线性微分方程。 𐟓 向量代数与空间解析几何向量代数理解向量的概念，掌握向量的表示法，会求向量的模、非零向量的方向余弦和非零向量在轴上的投影。掌握向量的线性运算（加法运算与数量乘法运算），会求向量的数量积与向量积。会求两个非零向量的夹角，掌握两个非零向量平行、垂直的充分必要条件。平面与直线会求平面的点法式方程与一般式方程，判定两个平面的位置关系。会求点到平面的距离。会求直线的点向式方程、一般式方程和参数式方程，判定两条直线的位置关系。会求点到直线的距离，两条异面直线之间的距离。会判定直线与平面的位置关系。

变限积分函数求导法则详解变限积分函数的求导是高等数学中的重要内容，以下是各类变限积分函数的求导法则： 𐟓 变限积分函数求导法则设函数F(x) = ∫f(t)dt，其中t从a到x，则F'(x) = f(x)。 𐟓Œ 具体求导步骤首先，确定积分上限和下限。然后，应用积分求导法则，即F'(x) = f(x)。最后，进行必要的简化。 𐟓‘ 示例设函数F(x, y) = ∫sin t dt，求∂F/∂x。解：由变上限积分函数的求导法则得∂F/∂x = cos(xy) / (1 + xy)。 𐟓š 深入理解变限积分函数的求导需要理解积分上限和下限的变化对函数的影响。通过具体的例子和练习，可以更好地掌握这一法则。通过以上内容，你可以更好地理解和掌握变限积分函数的求导方法，为解决相关问题打下基础。

𐟓š 河北专升本考试大纲解析 𐟓– 𐟎“ 准备参加河北专升本的同学们注意啦！这里为大家整理了最新的考试大纲，帮助你更好地备考。 𐟓˜ 高等数学二考试大纲 1️⃣ 函数、极限与连续函数的概念、定义域、表达式及函数值的求法函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性复合函数及分段函数的概念初等函数的概念和性质根据实际问题建立函数关系的方法 2️⃣ 一元函数的极限与连续数列极限的概念和性质函数极限的概念和性质极限的运算法则无穷小、无穷大的概念及它们之间的关系利用无穷小的等价代换求函数极限的方法函数在一点处连续的概念函数间断点的概念和分类连续函数的运算性质和初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 3️⃣ 一元函数微分学导数与微分导数的概念和几何意义基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则及复合函数的求导法则隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数计算微分的概念和计算方法 4️⃣ 一元函数积分学不定积分原函数与不定积分的概念不定积分的基本性质和公式不定积分的第一类换元法、第二类换元法和分部积分法定积分定积分的概念及几何意义变限积分函数的概念及其求导定理定积分的换元积分法和分部积分法用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积无穷区间的广义积分的概念和计算方法 5️⃣ 多元函数微分学多元函数的概念和几何意义二元函数的定义域计算二元函数极限与连续的概念（对计算不作要求）偏导数的概念和计算方法全微分的概念和计算方法多元复合函数的一、二阶偏导数计算方法隐函数存在定理的应用二元函数的极值与最值的概念和求法 6️⃣ 无穷级数不定积分和定积分的概念和性质不定积分的基本公式和计算方法定积分的换元积分法和分部积分法用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积 7️⃣ 常微分方程常微分方程的基本概念微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解的概念常微分方程的解、通解和特解的验证方法一阶可分离变量微分方程的解法一阶线性微分方程的求解方法 8️⃣ 线性代数行列式行列式的定义和性质余子式和代数余子式的概念行列式按一行（列）展开定理计算行列式的基本方法克莱姆法则及推论的应用（仅限于二元和三元线性方程组）矩阵矩阵的概念和线性运算矩阵的乘法、转置和伴随矩阵的概念和性质二、三阶方阵的逆矩阵计算方法（伴随矩阵法）矩阵秩的概念和计算方法（初等行变换法）矩阵方程的求解方法（初等行变换法） n维向量与线性方程组的关系。

考研数学模拟卷，谁更强？最近做了不少考研数学的模拟卷，来给大家分享一下我的心得吧。首先，这些模拟卷有一些共性，咱们一起来看看：计算量大增 𐟧 尤其是多元函数求极值和最值的部分，计算量真的让人头疼。比如25超越的第一套卷，多元函数求极值的部分就特别复杂。二重积分考察重点 𐟌 二重积分的题目更注重积分函数的复杂性和性质，尤其是轮换对称性。比如25超越的第二套卷，轮换对称性和极坐标设的时候有讲究，因为不在原点，这部分大家可能做的不多。第三套卷也考了x轴的对称性。选填题花样百出 𐟎 我发现25超越特别喜欢考变限积分的一些题，其他模拟卷今年也出了不少类似的题目。参数方程和隐函数求导 𐟧튠 这些题目也是今年各大老师主流爱考的，感觉大家都要熟练掌握。线代题目难度提升 𐟓ˆ 线代题目比以前难了不少，我自己线代比较弱，也希望各位大佬能提供一些宝贵的学习意见。不定积分出大题 𐟔„ 虽然我不太理解，但张八和25超越确实都出了不少不定积分的题目。各模拟卷的特点 𐟌Ÿ 张八：更注重各种知识点的创新，考一些大纲范围内但我们平时做的比较少的题。计算量是几套里最大的。李林六套卷：今年的李林六套卷没有所谓的简单，除了第一套（感觉第一套里有一些是张八的题），其余几套的大题也有一定难度，选择有简单也有个别难题，这才是符合正常的逻辑。 25超越：对比去年，难度没有降低，而是有一些题看到了往年的影子。比如第一套的第七个选择题，如果做过以前的25超越的都知道，这个D是24九套里的大题的第一问。剩下abc也是以前出过的。22题是李林六套卷里也出过的。整体来看，25超越的计算都是在线的，选填也确实让人发麻，模拟题的意义就是先发麻，省的考试再发麻。最后，给大家一些建议：复盘的时候，把关键和考点写在附近，一旦哪道题卡壳了，就说明那部分知识点掌握不牢，回去看。希望大家今年数学都能取得好成绩，也祝我自己数学能考到我心仪的分数！𐟒ꀀ

专升本高等数学知识点全解析 𐟎“ 专升本高等数学知识点归纳总结，助你轻松备考！ 𐟓š 第一讲：极限与连续数列与函数类型：初等函数、分段函数、复合函数、隐式函数、参数方程、变限积分函数、级数和函数等。特征：单调性与有界性、奇偶性与周期性。反函数与直接函数：y = f(x) → x = f(y) → y = f(x)。极限性质类型：无穷小与无穷大、未定型。性质：有界性、保号性、归并性。常用结论等价无穷小：当u(x) → 0时，sin u(x) - u(x)、tan u(x) - u(x)、e - 1 - u(x)、ln(1 + u(x)) - u(x)等。泰勒公式：e = 1 + x + x^2/2 + ...，ln(1 + x) = x - x^2/2 + ...，sin x = x - x^3/6 + ...，cos x = 1 - x^2/2 + ...。常规方法抓大弃小、无穷小与有界量积、洛必达法则、等价无穷小替换、泰勒公式处理等。 𐟓š 第二讲：导数及应用（一元）基本概念可导与连续：在x = 0处，连续但不可导；可导但不一定连续。微分与导数：可微可导；比较“0”与“4”的大小。求导准备基本初等函数求导公式。法则：四则运算、复合法则、反函数求导。各类求导方法定积分与不定积分、初等导数公式加法则、隐式函数求导存在定理。 𐟓š 第三讲：导数及应用（多元）基本概念偏导数与全导数：偏导数存在不一定全导数存在。多元函数的极值：拉格朗日乘数法、约束条件下的极值问题。常见应用无穷小比较（等价，阶）：f(x) - kx^n，(x → 0)。渐近线（含斜率）：渐近线方程的求解。连续性：间断点判别、分段函数连续性。 𐟓š 第四讲：积分与微分方程不定积分与定积分：不定积分的求解、定积分的性质与计算。微分方程：一阶微分方程的解法、高阶微分方程的解法。常见应用面积与体积的计算：利用定积分求解面积和体积。物理问题：利用微分方程解决物理问题。 ⛑️

396数学考研：高数、线代、概率全解析 𐟎‰新年快乐！最近我翻了翻今年的396真题，来聊聊数学部分的考研心得。先从高数说起吧，今年的高数题一共21道，知识点覆盖得还挺广的。等价无穷小、洛必达法则、连续性、高阶低阶无穷小、导数定义、复合函数求导、分段函数求导、切线方程、极值点、凹凸性、变限积分求导、定积分比大小、定积分换元法、分部积分法、旋转体体积、二阶导数、偏导数、全微分、二阶导数极值点、二阶偏导数、曲线积分……这些知识点几乎都涵盖了。 𐟓š其中，超纲的部分是曲线积分那道题，其他大部分都在核心笔记里。15题的关键点在于你是否理解变化率就是求导。旋转体体积虽然不是核心笔记里的内容，但因为21年考过，所以大家应该都有补过。所以，高数部分还是建议大家多看看核心笔记这本书。当然，核心笔记里的题型还不够丰富，可以找些新题型来练习。 𐟓接下来是线代部分，一共7个题。涉及到的知识点有行列式的性质、行列式的计算、矩阵的变换、左行右列、线性关系、基础解系的解向量。这些知识点看起来没有超纲，但考题和核心笔记里的题型有些出入。所以，掌握了基础知识点后，还需要多练习一些新题型。 𐟎列€后是概率论部分，一共7道题。涉及到的知识点有求概率、指数分布、独立同分布、随机事件、正态分布、泊松分布。超过核心笔记的题型是30题，其余题型都还在核心笔记的范围内。所以，暂时用核心笔记里的概率论部分即可。有需要补充的知识点我会再发笔记出来。 𐟒᧻𜥐ˆ来看，这套题的难度较去年有所增加，但基础分还是能拿到的。题型也更新颖一些。考都考完了，大家先放松几天，具体的真题讲解过几天我会发视频出来。逻辑分析会在下篇笔记里分享。祝大家新年快乐！𐟎‰

最后一个月数学三复习攻略：保底110分！作为一个数学不太擅长的理科生，我的考试策略一直是文科拉分，理科不拖后腿。今天我来分享一些如何在最后一个月让数学不拖总分后腿的方法，按这个方法，虽然考不了太高分，但也不会太差。 𐟌Ÿ最后一个月的复习内容整理精简数学笔记（做题导向）高数：第一章：等价无穷小、泰勒公式、无穷小比阶、单调有界准则第二章：高阶导数公式（牛-莱、展开式）第三章：函数倒数积分三者的奇偶周期关系、定积分定义（包括放缩型先放缩再按定义做）、反常积分判敛、基本积分公式、不定积分常用算法、定积分公式（区间再现、华氏、三角区间再现等公式）、变限积分、积分等式与不等式、几何应用、经济应用第四章：偏导微分连续极限等概念见关系（如偏导连续则可微，可微不一定偏导连续）、复合函数求导、隐函数求导、多元函数极值最值、偏微分方程第五章：二重积分定义及计算第六章：一阶微分方程、高阶常系数线性微分方程、差分方程第七章：数项级数判敛、幂级数收敛域（具体型和抽象型）、展开、求和、常用结论公式线代和概率论：基础阶段知识点即考点，不用精简做真题错题重做之后，不论对错，答案解析全部看一遍，整体解题思路和计算过程在脑子里重复一遍。该动作可跳出做题立场，把握出题方向和题型解法，举一反三。做模拟卷看每个人复习进度，合理安排做模拟卷的数量，记住数量不在多，关键在消化总结。做模拟卷的目的：进入考试状态+热门出题方向预测（热门知识点）+押题（原题）。建议至少做完李林4。做模拟卷步骤：按考试时间用答题卡模考➡️客观严格打分➡️对答案，每一道题都看答案解析，错题重做，旁边批注错误原因，知识点不熟则把对应知识点写在旁边➡️在试卷第一页顶上按失分原因写失分总结（比如知识点不熟：10分；计算错误：10分；解题思路不会：20分）。该过程能突出薄弱部分，对现阶段水平心中有数就能有的放矢，查漏补缺或者提醒自己不要重复犯一样的错。 𐟌Ÿ考试做题方法给选择填空和各大题规定时间限不死磕。规定时间未做出来的选填直接猜答案并做标记，大题能写多少是多少，就差最后结果的就乱写一个答案。特别是单调有界的题，算不出结果就象征性写一点过程直接写结论然后接着写。希望这些方法能帮到大家，最后一个月加油！𐟒ꀀ

2023年CAIE考试局考纲改革全解析！ 2023年CAIE考试局的考纲迎来了重大改革，各科目都有显著变化！𐟓š𐟔 ✅数学： M2部分从进阶数学中删除，但引入了极限概念和复杂的反三角函数。数学组合变为两种形式，选择P1+P3+M1+S1的学生影响不大。 ✅进阶数学：试卷分为进阶纯数和进阶力学统计两部分。增加了函数和微积分的内容，尤其是反三角函数的求导和积分。机械数学部分难度下降，新增抛射运动和胡克定律。 ✅物理：删除了Electronics和Communication两个难度较高、重点记忆的章节。增添了新的知识点，如偏振光、电容的充放电公式和PET成像技术。 ✅经济： Paper2新增一篇论文，Paper4要求对宏观和微观题进行同等分配。考题分值和结构更合理，考试时间有所调整。 ✅化学： Paper1考试时长延长至1小时15分钟，删除了多选题。考纲内容发生重大变化，部分知识点移动至不同阶段。有机化学需要背诵，可尝试使用思维导图记忆。这些改革为考生带来了新的挑战和机遇，了解变化，调整备考策略，向着理想成绩迈进！𐟒갟Ž