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对称正定矩阵权威发布_对称正定矩阵的性质(2024年12月精准访谈)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：观点更新日期：2024-11-29

对称正定矩阵

24合工大卷一：难但有趣！这次的24合工大超越卷一真是让我又爱又恨！难度确实有点大，选填部分花了70分钟才搞定，尤其是17、18两题，真是让我绞尽脑汁。不过，幸好后面的题目还算简单，算是有点安慰吧。选填部分 𐟧䍥ˆ函数：画出函数图象，看答案。一阶导数：用定义求二阶导数。单调性和放缩：用已知条件推导。反例：太多了，不说了。矩阵：化简后发现要求a的逆矩阵。正定矩阵：看到a和b都是正定，秒出答案。等价方程：只有零解。分布函数：x服从均匀分布。期望：列出各种情况，发现偶数数量大于奇数，期望大于1，直接选a。似然函数：观察发现b➖a越小，似然函数值越大。不等式：猜的1，答案利用x/1+x < ln(1+x) < x的不等式夹逼准则，很有技巧性。齐次方程：各阶导数的幂为1，系数可以是x的函数。计算：直接计算。线积分：用第二类线积分的对称性简化运算。带值：1，-1带进去看看，不知道怎么会做错。面积：画图算面积，速度快。极限：利用f（0）为零递推相加，类似高中数列的思想，最后的极限化简需要点注意力，利用倍角公式化简。面积分：难算的第一类面积分，投影到xoy面根本算不出来，就算投影到yoz面计算也不简单。极值：在0，0点用极值定义判断。证明：白给的证明。线代：第二问提供一个新思路，可以将特征向量用第一问的列向量组表示，证明a只可能有ka3这一个特征向量。第三问看出特解，结合第二问的特征向量只有一个得出矩阵A的秩为2，然后相加即可。比较常规的线代证明题。正态分布：二维正态简化计算。总的来说，这次的卷子难度确实不小，但也让我学到了不少东西。希望下次能更顺利吧！𐟒ꀀ

川大数院夏令营全攻略：笔试面试全解析川大数院夏令营是我参加过的夏令营中体验最好的之一！虽然笔试有点难，但总体来说还是很值得一试的。想去川大的同学们，放心大胆地冲吧！𐟒ꊦ—𖩗𔥮‰排报到时间是6月30日全天，夏令营活动从7月1日到7月3日。考核内容考核分为笔试和面试两部分。笔试：考试时间为三个半小时，内容涵盖数学分析、高等代数、近世代数、复变函数、常微分方程和泛函分析。难度较大，数学分析和高等代数的题目较多，每科目大约四题，涉及特征值、泰勒公式、不可约多项式等。其他科目每科目一两题，复变函数有一个题是证明代数学基本定理，泛函分析有一个证明题涉及无穷维情形。常微分方程考了一个计算常系数线性非齐次方程组。面试：分为英文面试和中文面试。中文面试：时长约8分钟，包括一分钟的自我介绍和老师随机提问。我被问到最喜欢的讲座方向，然后老师根据方向进一步提问，大约三个问题，难度不大。英文面试：随机从信封里抽一个纸条，纸条上是一段英文（从数学的英文文献中截取的某一段落），准备一分钟后进行翻译。我抽到的是有关对称正定矩阵的段落，每句话都有好几个单词不认识，只能硬着头皮乱说。住宿安排川大统一为外校同学安排了学校附近的酒店，两人一间，环境非常棒。每天的早餐是酒店的自助餐，中午和下午吃饭时发放了川大食堂的餐券，但只能在固定档口使用。总结川大为大家报销学校至川大的车票，报道当天会给同学们发放川大的周边，包括帆布袋、雨伞和营服。同时，川大老师和工作人员都特别好，报道当天到的特别晚，老师都还一直等着我们。𐟒– 总的来说，川大数院夏令营是一个非常不错的体验机会，虽然笔试有点难，但整体来说还是很值得一试的。希望这篇文章能帮到大家！𐟓š

𐟓š 闭关修炼线代九讲时长统计大揭秘 𐟕𐯸 今天终于开始了线性代数的闭关修炼之旅！𐟚€ 𐟓– 第1讲：行列式定义、性质与定理具体型行列式的计算抽象型行列式的计算（未给出）综合题 𐟓– 第2讲：余子式和代数余子式的计算用行列式计算用矩阵计算用特征值计算 𐟓– 第3讲：矩阵运算矩阵方程的求解关于A、A与初等矩阵的计算分块矩阵矩阵方程 𐟓– 第4讲：矩阵的秩定义与公式 𐟓– 第5讲：线性方程组具体型方程组的解法抽象型方程组的解法线性方程组的几何意义（仅数学） 𐟓– 第6讲：向量组定义与定理具体型向量关系抽象型向量关系向量组等价向量空间（仅数学） 𐟓– 第7讲：特征值与特征向量特征值与特征向量的定义用特征值命题用特征向量命题用矩阵方程命题 𐟓– 第8讲：相似理论 A的相似对角化（4~4） A相似于B（A-B）的计算实对称矩阵与正交矩阵的计算 𐟓– 第9讲：二次型二次型及其标准形、规范形配方法计算二次型正交变换法计算二次型实对称矩阵的合同计算正定二次型计算

19超越二：细节决定成败这次考试真是让我又爱又恨。总分134，虽然不算太差，但有些地方真是让人无语。比如大题第一题，我居然没做出来！𐟘𑠧œ‹错条件了，题目说的是有放回取两次，我却以为是任取两次，结果扣了9分（满分11分）。实际上，任意取两次的计算难度更高啊！再说线代最后一题，求正定矩阵的时候，我居然忘记利用对称性给变量统一了。这种低级错误真是让人头疼。看来以后做题还是得仔细再仔细，不能掉以轻心。总之，这次考试让我明白了一个道理：细节决定成败。希望下次能吸取教训，考个好成绩！𐟒ꀀ

高等代数300例：暑假刷题好帮手！ 𐟓š 这本《高等代数300例》是今年上半年新出版的第二版，习题留白现已发布。暑假来临，正是刷题的好时机！ 𐟓– 目录第1章行列式 5.1 二次型的标准形与规范形 5.2 行列式的计算方法 5.3 正定矩阵与半正定矩阵 5.4 代数余子式求和问题 5.5 同时合同对角化 5.6 其他问题 5.7 实反对称矩阵第2章线性方程组 2.1 方程组解的基本问题 2.2 线性方程组的公共解与同解的定义及理论 2.3 线性方程组理论的应用 2.4 线性相关（无关） 2.5 线性方程组的反问题第3章矩阵 3.1 矩阵运算 3.2 矩阵的秩 3.3 矩阵分解 3.4 伴随矩阵 3.5 特征值和特征向量第4章多项式 4.1 带余除法 4.2 整除 4.3 最大公因式 4.4 若尔当标准形及应用第5章二次型 5.1 二次型的标准形与规范形 5.2 行列式的计算方法 5.3 正定矩阵与半正定矩阵 5.4 代数余子式求和问题 5.5 同时合同对角化 5.6 其他问题 5.7 实反对称矩阵第6章线性空间 6.1 线性空间、子空间的判断及基与维数 6.2 和与直和 6.3 线性相关（无关） 6.4 线性映射第7章线性变换 7.1 特殊的线性变换 7.2 值域、核 7.3 不变子空间 7.4 特征值和特征向量第8章其他问题 8.1 三因子、标准形、特征多项式和特征值的关系 8.2 带余除法 8.3 整除 8.4 最大公因式 8.5 若尔当标准形及应用第9章欧式空间 9.1 内积 9.2 正交补子空间 9.3 正交变换与正交矩阵 9.4 对称变换与反对称变换 9.5 其他问题

考研数学二大纲全解析！ 𐟓š 考研数学二大纲详解 𐟔 考试科目：高等数学、线性代数 ⏰ 考试形式：闭卷笔试，共180分钟 𐟓Š 试卷结构：试卷满分150分单选题：10题，每题5分，共50分填空题：6题，每题5分，共30分解答题：6题，共70分 𐟓ˆ 微分学部分占118分，线代部分占32分 𐟓š 高等数学函数、极限、连续导数和微分不定积分与定积分多元函数微积分学常微分方程 𐟓š 线性代数行列式矩阵向量线性方程组矩阵的特征值与特征向量二次型 𐟓ˆ 详细大纲内容：函数的概念及表示法：函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。复合函数、反函数、分段函数，以及函数的图形和性质。导数和微分的概念：导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系。导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。不定积分与定积分：原函数的概念，不定积分的性质和基本积分公式。定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，定积分的换元积分法和分部积分法。多元函数微积分学：多元函数的概念，二元函数的几何意义。多元函数的极限与连续性，多元函数的偏导数和全微分，多元复合函数和隐函数的求导法。二重积分的概念、基本性质和计算方法。常微分方程：常微分方程的基本概念，变量可分离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程。线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程。线性代数：行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理。矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幂，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质。矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵的等价。分块矩阵及其运算。向量的概念，向量的线性组合与线性表示，向量的线性相关与线性无关。向量的极大线性无关组，向量组的秩。矩阵的特征值与特征向量的概念和性质，相似矩阵的概念及性质。实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵，二次型的标准形和规范形。二次型及其矩阵的正定性。差分与差分方程的概念，差分方程的通解与特解，一阶常系数线性差分方程。微分方程的简单应用。

华南数学考研，380+分秘籍！ 𐟌Ÿ华南师范大学903的考试内容今年依然涵盖了数分下册的最后几章，很多同学可能会忽视这一点，所以正在准备25级考研的同学们一定要重视起来，不要只复习前面的章节哦。 𐟓š数分部分：泰勒公式幂级数的收敛半径隐函数求导重要极限二重积分坐标变换第二型曲面积分特殊函数的定积分计算函数的连续性与可导性函数极限的定义或者洛必达法则 𐟓š高代部分：重根重因式问题线性方程组解的结构交空间的维数问题正定矩阵的性质线性变换基下的矩阵正交矩阵的性质线性相关性矩阵方程利用正交变换将二次型化标准型实对称阵的特征值问题 𐟓ˆ华南学科数学903的难度分析数分高代的题型基本稳定，主要以填空、解答、证明为主。数分部分重视下册的计算，高代部分出题较为灵活。数分方面，常考知识点包括：数列、函数极限、连续函数的性质、求导数、求微分、中值定理、求不定积分、求定积分、多元函数微分学、数项级数判敛、幂级数求和、二重积分、曲面积分等。近年来，华南的真题每年都会考一到两个偏僻考点，如21年的线面距离公式，22年的聚点的定义，23年的傅里叶级数，24年的取整函数。高代方面，常考知识点主要有：多项式的根、有限阶、n阶行列式的计算、矩阵秩的证明、矩阵方程、伴随矩阵、线性方程组、矩阵相似对角化、二次型、线性空间的基与维数、线性变换的值域与核等。近年来，二次型、线性空间的基与维数、线性变换的值域与核、欧式空间的考查频率增大，需要引起足够重视。 𐟒Ჵ级考生复习需要注意什么？填空题：华南数学903的填空题难度和灵活度都高于解答题和证明题，解题时要注意技巧，多用特殊值法、排除法等。虽然今年稍有调整，难度有所下降，但仍不能掉以轻心，应多做相应训练。解答题：理论性要求不高，不需要掌握很深的理论，但要求强大的计算能力。证明题：华南考查的证明题难度不大，主要考察对基本知识点的理解能力和应用能力。没有偏题怪题，数学复习是一个长时间积累的过程，每天坚持学习并做相应的习题演练，保持做题的手感，要踏实熟练地掌握每一个知识点，不要好高骛远，要踏实地完成每一道习题，在不断重复中，提升自己的解题能力。

【线代】Mr.Strang镇楼 9.斐波那契数列二阶差分方程转为一阶方程组矩阵分解得特征值（决定增长速度，太漂亮了，黄金分割线[苦涩]）特征向量 100次方，最大项近似，其余忽略。（线性近似） 10.微分方程 n阶微分方程转化为n阶向量方程（n*n矩阵）特征值特征向量分解，A—拉姆达I=0 根据特征值状态判断矩阵稳定状态（也就是矩阵中包含的信息，函数图像稳定状态）矩阵稳定：（1）一个特征值=0，另外其他特征值（实数部分Re）＜0 （2）两个特征值都＜0（行列式＞0），解收敛矩阵不稳定：任意特征值（实数部分Re）＞0，解不收敛（发散） 11.矩阵对角化针对原方程组有两个相互影响的函数组成（耦合），特征值和特征向量作用是解藕，就是对角化。对角矩阵∧，变量独立，各导各的。 12.矩阵指数指数展开成幂级数，运用泰勒级数，几何级数，级数收敛得到求逆公式成立，对角线指数收敛于0 13.马尔科夫矩阵性质：（1）所有元素＞＝0（2）每列相加＝1 有一个特征值＝1，其他特征值绝对值＜1 Uk＝A^kU。（按系数和特征值展开，在迭代中趋于0）稳态：Uk趋于初始条件U。应用于人口迁移问题（加利福尼亚州和马塞诸塞州，小郭和我最喜欢的阿美利卡州[允悲]） 14.投影有标准正交基（中版教材的“极大无关组”概念） 15.傅立叶级数（周期函数）针对函数连续情况做积分（点积）傅立叶级数公式可以展开到正交基上 16.对称矩阵（正定性）本质是一些相互垂直的投影矩阵的组合特征值和特征向量矩阵分解 “性质好的矩阵” 实矩阵 A＝A转置复矩阵实数部分对称，复数部分围绕对角线共轭 17.正定矩阵（所有特征值为正数的对称矩阵） 18.复数矩阵酉矩阵（n阶方阵，列向量正交，单位向量，计算要共轭转置） 19.傅立叶矩阵复数求内积（共轭后点乘）欧拉公式的几何意义傅立叶快速变换（递归，修正（列向量奇偶排列）+置换（计算机算法优化cs人狂喜[嘻嘻]） 20.半正定矩阵一阶导数，二阶导数，主轴定理（矩阵分解）对称矩阵对角化 21.相似矩阵（做了基变换）孤儿矩阵（只等价于自己）若尔当定理（分块） 22.奇异值分解（SVD）对角矩阵，A对行空间基做变换＝列空间伸缩四大空间标准正交基 23.线性变换条件（投影，旋转，伸长）其中平方，向量平移都不行𐟚력Ｆ•𐦱‚导（函数输入输出，投影到直线，向量投影到基向量）得到变换矩阵A 24.图像压缩 JPEG傅立叶变换基小波基（平滑截断，压缩视频）变换（换基换视角） SVD奇异值压缩原理：降维（完美基） 25.左右逆伪逆（针对奇异（不可逆）矩阵）矩阵分块，取其中可逆的做逆，近似思想。完结撒花～[送花花] 今天刚好是Mr.Strang90大寿生日[蛋糕] 再次祝您身体健康，寿比南山，平安喜乐，长命百岁[蜡烛] 我爱线代[心]线代爱我[心]线代万岁[互粉]

欧氏空间的基本概念与性质 𐟍 内积在欧氏空间中，内积是一个非常重要的概念。给定两个向量a和b，它们的内积定义为。这个内积有一些重要的性质，比如对称性和正定性。 𐟓– 欧几里得空间欧几里得空间是一个配备了内积的线性空间。在这个空间中，我们可以定义长度、角度和正交性等概念。 𐟔 标准正交基标准正交基是一组向量，它们两两正交且模为1。任何一个欧氏空间都可以通过标准正交基来进行正交分解。 𐟧𚦩‡矩阵与标准正交基度量矩阵是一个实对称矩阵，它描述了向量组之间的内积关系。对于一组标准正交基，度量矩阵是对角矩阵，其对角线上的元素就是向量的模的平方。 𐟓ˆ 正交变换正交变换是一种特殊的线性变换，它保持向量的内积不变。正交变换的性质包括线性映射、同构映射等。 𐟔„ 镜面反射镜面反射是一种特殊的正交变换，它可以将一个向量映射到它的正交补空间中。镜面反射的特征值是1，但对应的特征向量是单位向量。 𐟌 欧氏空间的性质欧氏空间有许多有趣的性质，比如正交补空间的唯一性、特征值的范围等。这些性质可以帮助我们更好地理解和应用欧氏空间的概念。

别再纠结行列式了！这些线代公开课才是王道很多人一听到“线性代数”就开始头疼，尤其是行列式那一块。其实，线性代数作为机器学习前置课程中最重要的一环，很多人因为一些糟糕的教材和教学而感到吃力。如果你也在为行列式烦恼，不妨看看下面这些公开课，或许能帮你打通任督二脉。 MIT 18.06：斯特朗的线性代数课麻省理工的18.06课程是目前最好的线性代数公开课之一。听完你就知道国内学生在第一层，老师在第二层，学完你以为自己在第五层，但这位斯特朗老爷子在第一万层。看看大神Gilbert Strang是怎么教的。他首先强调了一个我上完线代好几年才明白的事情：线代的基础作用是教你解线性方程。他从列图像引入对矩阵和线性相关性的理解，将矩阵运算的核心定位于对“行”或“列”进行独立操作。第一节主要讲高斯消元法的意义以及矩阵的四个子空间的概念。第二单元介绍正交、行列式和特征值，当我们从矩阵开始进入课程，将行列式的值当成是矩阵的一种性质时，思维会顺畅许多。第三单元介绍了正定矩阵等概念以及线性代数在各种领域的应用。他具象化每一种数学操作，让你体会到每一部分内容相对于线代核心所处的位置。 18.065：斯特朗的进阶课如果你觉得18.06还不够过瘾，那一定要看看18.065。这门课可以当成线性代数的进阶版，主要内容包括Strang的新书“Linear Algebra and Learning from Data”。第一个主题是线性代数，重点介绍一些特殊的矩阵，例如对称和正交矩阵以及它们之间的关系，还包括矩阵分解，如奇异值分解。第二个重要主题是深度学习，主要是创建一个学习函数，完成输入、解释和输出。例如无人驾驶汽车，输入的图像是电线杆或行人，而系统必须学会识别它是什么。最优化是关键的一步，把矩阵的所有元素作为变量，如何使得误差最小化。另一个主题是统计学，它的基本思想在深度学习里发挥了关键作用。因为在深度学习中乘以整个矩阵序列时，元素有可能以指数形式增长或下降到零，这两者都是不利的。需要将均值和方差保持在正确的水平，将这些矩阵保持在一个适当的区间内。 3Blue1Brown的《线性代数的本质》如果你喜欢可视化教学，那一定要看看3Blue1Brown的《线性代数的本质》。这个课程的目的就是建立对线性代数正确的几何理解。从最基础的向量的集合表示到基变换和特征向量，配合生动视频讲解了关于线性代数一切几何方面的问题。总之，别再纠结行列式了！这些公开课不仅能帮你打通任督二脉，还能让你真正爱上线性代数。加油吧！𐟒ꀀ

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