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递推公式最新视觉报道_递推公式怎么求数列(2024年12月全程跟踪)

内容来源：卡姆驱动平台所属栏目：热点更新日期：2024-12-02

递推公式

高二数学公式全解析 ### 第一章：平面解析几何初步 𐟓 直线的斜率斜率公式：k = (y2 - y1) / (x2 - x1) 当x1 = x2时，斜率不存在（分母为0）平行与垂直平行：k1 = k2 垂直：k1 * k2 = -1 直线的方程点斜式：y - y1 = k(x - x1) 斜截式：y = kx + b 一般式：Ax + By = C 点到直线的距离公式：d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2) 两平行线间的距离公式：d = |B2x1 + C2 - B1x2 - C1| / sqrt(A^2 + B^2) 第二章：等差数列与等比数列 𐟓ˆ 等差数列定义：an = a1 + (n - 1)d 通项公式：an = a1 + (n - 1)d 前n项和公式：Sn = n(a1 + an) / 2 等比数列定义：an = a1 * q^(n - 1) 通项公式：an = a1 * q^(n - 1) 前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) 第三章：函数与方程 𐟓Š 函数的定义函数是两个数集之间的对应关系函数的性质单调性、奇偶性、周期性等方程的解方程的解是使函数值为0的x值第四章：三角函数与向量 𐟓 三角函数的定义正弦、余弦、正切等三角函数的性质周期性、奇偶性、单调性等向量的定义向量是有大小和方向的量向量的运算加法、减法、数乘等第五章：导数与微分 𐟓ˆ 导数的定义函数在某点的切线斜率导数的性质单调性、极值、拐点等微分的应用在几何、物理等领域的应用第六章：复数与三角函数 𐟌 复数的定义复数是形如a + bi的数复数的运算加法、减法、乘法、除法等复数与三角函数的关系复数可以表示为三角函数的形式第七章：不等式与极限 𐟚€ 不等式的性质不等式的基本性质和运算法则极限的定义函数在某点的极限定义极限的计算洛必达法则、夹逼准则等第八章：微分方程与差分方程 𐟌€ 微分方程的定义描述物理、化学等领域的数学模型微分方程的解法分离变量法、积分因子法等差分方程的定义离散时间的微分方程差分方程的解法迭代法、特征根法等第九章：数学归纳法与递推关系 𐟔„ 数学归纳法的定义证明猜想或定理的方法递推关系的定义数列或函数间的递推关系递推关系的解法通项公式、递推公式等第十章：组合数学与图论 𐟎𛄥ˆ数学的定义从一组元素中取出若干元素的组合方式图论的定义图是由节点和边组成的数学模型图论的应用网络、电路、社交网络等第十一章：概率与统计 𐟓Š 概率的定义随机事件发生的可能性统计的定义数据的收集、整理和分析第十二章：数学建模与优化 𐟏† 数学建模的定义将实际问题转化为数学模型优化问题的定义在给定条件下寻求最优解优化问题的解法线性规划、非线性规划等第十三章：数学思想与文化 𐟌ˆ 数学思想数学中的逻辑、归纳、演绎等思想数学文化数学与历史、艺术、哲学等的联系数学与现代科技数学在现代科技中的应用和发展希望这些公式和知识点能帮助你更好地理解和掌握高二数学的内容！加油！𐟒ꀀ

卡特兰数：通项公式的求解卡特兰数（Catalan Number）在组合数学中是一个非常常见的数列，以比利时数学家欧仁ⷦŸ姐†ⷥᧉ𙥅𐧚„名字命名。这个数列在各种计数问题中都有出现。虽然它的递推公式相对简单，但得到通项公式却并不容易。这次我们将介绍一种使用生成函数法求解通项公式的方法，这种方法通常不会让人联想到组合数学中会出现根号，更不会想到这样复杂的运算之后，得到的通项公式会如此简洁。卡特兰数的定义和递推公式 𐟌𓊥ᧉ𙥅𐦕𐥏碌委褺Œ叉树的个数来表示。例如，C3=5，表示包含3个左括号和3个右括号的括号对序列的个数。根据分治的思想，递推公式为： Cn+1=∑Ckⷃn−kCn+1 = \sum C_k \cdot C_{n-k}Cn+1=∑Ck⋅Cn−k 其中，C0=1C_0 = 1C0=1。生成函数法 𐟓‰ 生成函数法是一种求解通项公式的方法。定义生成函数G(x)G(x)G(x)为： G(x)=∑CnxnG(x) = \sum C_n x^nG(x)=∑Cnxn 其中，nnn表示卡特兰数的下标。求解通项公式 𐟧€š过一系列复杂的运算，最终可以得到生成函数的表达式： G(x)=1+xC2(x)G(x) = 1 + x C_2(x)G(x)=1+xC2(x) 其中，C2(x)C_2(x)C2(x)表示另一个生成函数。进一步简化 𐟔„ 继续使用牛顿二项式定理进行简化，最终得到： G(x)=1−4x2(1−4x)2G(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2(1 - 4x)^2}G(x)=2(1−4x)21−4x\ 代入x=0x = 0x=0，可以得到卡特兰数的通项公式： Cn=2n−1n+1C_n = \frac{2^n - 1}{n + 1}Cn=n+12n−1 历史背景 𐟓œ 有趣的是，清朝数学家明安图在其《割圜密率捷法》中最先发明了这种计数方式，早于卡特兰。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”。通过这种方法，我们可以看到组合数学中的美妙和复杂性，同时也能够欣赏到历史上的数学成就。

掌握这些技巧，判断推理全对不是梦！别只知道傻傻刷题了，掌握技巧才是提升正确率的关键啊。把我备考中比较常用到的知识点给大家总结出来了，研究透彻后对提分提速的帮助很大哦。翻译推理（必背！）翻译规则如果A，那么B：A→B 只有A，才B：B→A 除非A，否则不B：B→A 除非A，否则B：⬂→A A是B的充分条件：A→B A是B的必要条件：B→A A并且B：A且B A或者B：A或B A和B至多有一个：⬁或⬂ 要么A，要么B：要么A，要么B 推理规则 “且”关系：同真才真，一假则假 “或”关系：一真则真，同假才假德ⷦ‘馠𙥮š律 ⬯𜈁或B）＝⬁且⬂ ⬯𜈁且B）＝⬁或⬂ 集合推理基本命题所有S都是P：S→P 所有S都不是P：S→⬐ 有的S是P：有的S→P 有的S不是P：有的S→⬐ 换位命题所有S都是P ⇒有的P是S 所有S都不是P ⇔所有P都不是S 有的S是P ⇔有的P是S 推出关系所有S都是P ⇒某个S是P ⇒ 有的S是P 所有S都不是P ⇒某个S不是P ⇒有的S不是P 递推公式 A→B，B→C，推出：A→B→C 中间连项B，表达“所有” 真假推理矛盾关系规则：必有一真，必有一假 6组矛盾： A vs ⬁ 所有S都是P vs 有的S不是P 所有S都不是P vs 有的S是P A且B vs ⬁或⬂ A或B vs ⬁且⬂ P→Q vs P且⬑ 反对关系规则：两个所有，必有一假；两个有的，必有一真 2组反对：所有S都是P vs 所有S都不是P 有的S是P vs 有的S不是P 推出关系所有S都是P ⇒某个S是P ⇒有的S是P 所有S都不是P ⇒某个S不是P ⇒有的S不是P A且B ⇒A（B）⇒A或B 考编用到的资料题库：职测5000题、历年真题课程：陈.子格事考，应试技巧学透之后进面更稳文具：活页本/A4纸、计时器

𐟓š 联考数学要点：数列的奥秘 𐟔 𐟔 数列的定义数列是一系列按顺序排列的数字。每个数字都被称为数列的项。比如，第1项、第2项、第3项……第n项，分别用a1、a2、a3……an来表示，简记为｛an｝。 𐟓ˆ 函数视角下的数列在函数的语境中，数列可以看作是一个以次序n为自变量，以项an为函数值的函数，其定义域是正整数集。 𐟓Š 通项公式与递推公式如果数列｛an｝的第n项an与它的序号n之间的关系可以用一个关于n的解析式f(n)来表达，那么an=f(n)就被称为数列｛an｝的通项公式。 𐟓‰ 单调性递增数列：如果数列｛an｝中，an+1 > an，即每一项都比前一项大，那么这个数列为单调递增数列。递减数列：如果数列｛an｝中，an+1 < an，即每一项都比前一项小，那么这个数列为单调递减数列。摆动数列：如果数列从第二项开始，有些项大于前一项，有些项小于前一项，那么这个数列为摆动数列。常数列：如果数列的每一项都等于同一个常数，那么这个数列为常数列。 𐟓– 等差数列的定义等差数列是一种特殊的数列，其中从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数d。这个常数被称为公差。等差数列的定义表达式为：an+1 - an = d，n∈N+。 𐟓 等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d，n∈N+。这个公式可以帮助我们快速找到数列中的任意一项。

斐波那契数列通项公式：从基础到深入 𐟓š 斐波那契数列，一个经典且有趣的数学序列，满足F1=F2=1，并且递推关系式为Fn=Fn-1+Fn-2。这个数列的前几项是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89等等，显然它有无穷多项。 𐟔 我们来探索一下这个数列的通项公式。首先，我们注意到满足递推关系式的数列具有一些有趣的性质。例如，各项都是0的数列显然满足递推关系式，记作0=(0,0,0,...)。 𐟓– 接下来，我们考虑线性组合。如果数列a和b都满足递推式，那么对任意实数入1和入2，c=入1a+入2b也满足递推式。这个性质告诉我们，斐波那契数列的任何线性组合也是斐波那契数列。 𐟔 进一步，我们注意到斐波那契数列的前两项（F1和F2）决定了整个数列的后续项。例如，数列e=(1,0,0,...)，g=(0,1,1,...)，它们的线性组合F=e+g也满足递推式。 𐟓– 然而，尽管e和g的通项表达式未知，但它们的一个关键性质是，对于任意的h，都存在入1和入2，使得h=入1e+入2g。这启发我们去寻找具有类似性质的数列。 𐟔 等差数列和等比数列是我们熟知的两种具有通项表达式的数列。然而，我们发现只有等比数列能够满足递推式，并且只有当公比q为0时，等差数列才满足递推式。 𐟓– 因此，我们转向等比数列。首项为a0，公比为q0的等比数列的通项为an=aqn-1。当a=1时，我们得到Q=(1,q,q^2,...,q^n-1)。将Q的通项代入递推表达式，我们得到一个一元二次方程。 𐟔 这个方程有两个相异的实数根，分别记为91和92。因此，我们得到了两个满足递推式的等比数列：Q1=(1,1,...,91)和Q2=(1,2,...,92)。 𐟓– 最后，我们考虑Q1和Q2是否也具备像e和g那样的良好性质。我们发现对于任意的h，都存在入1和入2，使得h=入1Q1+入2Q2。这表明Q1和Q2的前两项能够唯一确定整个数列。 𐟔 因此，我们得出结论：对于任意的斐波那契数列h，都存在入1和入2，使得h=入1Q1+入2Q2。这为我们求解斐波那契数列的通项公式提供了新的思路。

掌握这些技巧，逻辑判断轻松满分！ 𐟓š 逻辑判断的秘诀：掌握底层逻辑，事半功倍！ 𐟔 翻译推理：关键在于理解逻辑关系！ 1️⃣ 翻译规则： 𐟔𙠥悦žœA，那么B：A→B 𐟔𙠥ꦜ‰A，才B：B→A 𐟔𙠩™䩝žA，否则不B：B→A 𐟔𙠩™䩝žA，否则B：⬂→A 𐟔𙠁是B的充分条件：A→B 𐟔𙠁是B的必要条件：B→A 𐟔𙠁并且B：A且B 𐟔𙠁或者B：A或B 𐟔𙠁和B至多有一个：⬁或⬂ 𐟔𙠨恤𙈁，要么B：要么A，要么B 2️⃣ 推理规则： 𐟔𙠢€œ且”关系：同真才真，一假则假 𐟔𙠢€œ或”关系：一真则真，同假才假 3️⃣ 德ⷦ‘馠𙥮š律： 𐟔𙠂쯼ˆA或B）=⬁且⬂ 𐟔𙠂쯼ˆA且B）=⬁或⬂ 𐟓š 集合推理：从基本命题到复杂推理 1️⃣ 基本命题： 𐟔𙠦‰€有S都是P：S→P 𐟔𙠦‰€有S都不是P：S→⬐ 𐟔𙠦œ‰的S是P：有的S→P 𐟔𙠦œ‰的S不是P：有的S→⬐ 2️⃣ 换位命题： 𐟔𙠦‰€有S都是P ⇒有的P是S 𐟔𙠦‰€有S都不是P ⇔所有P都不是S 𐟔𙠦œ‰的S是P ⇔有的P是S 3️⃣ 推出关系： 𐟔𙠦‰€有S都是P ⇒某个S是P ⇒有的S是P 𐟔𙠦‰€有S都不是P ⇒某个S不是P ⇒有的S不是P 4️⃣ 递推公式： 𐟔𙠁→B，B→C，推出：A→B→C 𐟔𙠤𘭩—𔨿ž项B，表达“所有” 𐟓š 真假推理：从矛盾到反对再到推出 1️⃣ 矛盾关系： 𐟔𙠨焥ˆ™：必有一真，必有一假 𐟔𙠶组矛盾： A vs ⬁ 所有S都是P vs 有的S不是P 所有S都不是P vs 有的S是P A且B vs ⬁或⬂ A或B vs ⬁且⬂ P→Q vs P且⬑ 2️⃣ 反对关系： 𐟔𙠨焥ˆ™：两个所有，必有一假；两个有的，必有一真 𐟔𙠲组反对：所有S都是P vs 所有S都不是P 有的S是P vs 有的S不是P 3️⃣ 推出关系： 𐟔𙠦‰€有S都是P ⇒某个S是P ⇒有的S是P 𐟔𙠦‰€有S都不是P ⇒某个S不是P ⇒有的S不是P 𐟔𙠁且B ⇒A（B）⇒A或B 𐟓š 备考资料推荐：题库、课程、文具等全攻略！题库：职测5000题、历年真题卷、粉笔APP 课程：陈子格事考，各科老师都很牛，应试技巧学透之后进面更稳！文具：活页本/A4纸、计时器

圆周率是怎么计算出来的？ #热点引擎计划# #百家快评# #圆周率# 圆周率（(）的计算方法有很多种，以下是一些常见的方法：阿基米德的双侧逼近法：原理：使用圆的内接正多边形和外切正多边形的周长来近似圆的周长，正多边形的边数越多，多边形周长就越接近圆的周长。通过计算正多边形的周长与直径的比值来逼近圆周率。步骤：首先，画出圆的内接正多边形和外切正多边形。然后，分别计算它们的周长。随着正多边形边数的增加，其周长会越来越接近圆的周长。最后，通过不断增加正多边形的边数，来提高对圆周率的近似程度。阿基米德最终计算到正96边形，并得出(约等于3.14的结果。刘徽的割圆术：原理：与阿基米德的方法类似，也是通过计算圆的内接正多边形的周长来逼近圆周率。刘徽提出了圆的内接正(N)边形边长与内接正(2N)边形边长之间的递推公式。步骤：先确定一个初始的正多边形（通常是正六边形），然后根据递推公式不断计算出内接正(2N)边形的边长。通过多次迭代，使正多边形的边数逐渐增加，从而得到更精确的圆周率近似值。刘徽计算到了圆的内接正3072边形，得到(的值大约是3.1416。祖冲之的方法：祖冲之使用“缀术”将圆周率的值计算到小数点后第七位，指出(3.1415926＜𜜳.1415927)，但其具体的计算方法已经失传。有科学家认为祖冲之的方法仍然是割圆法，但要得到如此高的精度，需要分割到24576边形，并从正六边形出发，迭代刘徽的公式12次，且在每次迭代过程中必须保证足够多的有效数字。其他方法：蒙特卡罗方法：利用随机模拟的方式来计算圆周率。通过在一个正方形内随机生成大量的点，并统计落在圆内的点的数量与总点数的比例，来近似得到圆的面积与正方形面积的比值，从而计算出圆周率。泰勒级数展开：利用数学中的泰勒级数展开来计算圆周率。例如，可以使用反正切函数(\arctan(x))的泰勒级数展开式，通过选择合适的(x)值，并进行大量的计算和求和，来逼近圆周率的值。

LeetCode刷题笔记：动态规划解法𐟓š ### LeetCode 392：判断子序列𐟔 问题描述：给定两个字符串 s 和 t，判断 s 是否是 t 的子序列。动态规划思路： dp[i][j] 表示以 s 的第 i 个字符结尾和 t 的第 j 个字符结尾的相同子序列的长度。递推公式：如果 s[i - 1] == t[j - 1]，那么 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 如果 s[i - 1] != t[j - 1]，那么 dp[i][j] = dp[i][j - 1] 初始条件： dp[i][0] 表示 s 的第 i 个字符与空字符串的相同子序列长度，为 0； dp[0][j] 也同理为 0。 LeetCode 53：最大数组和𐟓ˆ 问题描述：给定一个整数数组 nums，找到最大连续子数组的和。动态规划思路： dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最大连续子数组的和。递推公式： dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]) dp[i - 1] + nums[i]：将 nums[i] 加入当前连续子序列的和； nums[i]：从头开始计算当前连续子序列的和。初始条件： dp[0] = nums[0] 遍历方向：从前向后遍历数组。

记得之前有个很火的思维方式，叫做底层逻辑。底层逻辑是指从事物的底层、本质出发，去思考问题的思维方式。它是一种基本的规律和原理，隐藏在各种现象和行为背后。而在高中数学中，底层逻辑是数学知识背后的基本原理、基本规则和基本思维方式。比如函数的底层逻辑是两个非空数集之间的一种对应关系。从定义域、值域、对应法则这几个基本要素去理解函数概念，这就是底层逻辑的体现。在高中数学学习中运用底层逻辑可以这样做：在概念学习时，要深入剖析概念的本质。以数列为例，它的底层逻辑是按照一定顺序排列的一列数。学习时就要紧扣数列的通项公式（描述数列中每一项与项数之间的关系）和递推公式（描述相邻几项之间的关系）这些核心内容，从本质上理解数列是一种特殊的函数，这样不管是等差数列还是等比数列，都能从函数的角度去理解其单调性等性质。在解题方面，运用底层逻辑可以帮助找到解题思路。例如在立体几何中，线面平行判定定理的底层逻辑是通过线线平行来推导线面平行。当遇到证明线面平行的题目时，就会主动去寻找线线平行关系，通过作辅助线等方法构造出符合定理条件的几何关系来解题。

掌握这些技巧，逻辑判断轻松满分！不要再盲目刷题了，掌握底层逻辑才能事半功倍！ 𐟑𛠧🻨Ž觐†（必背！） 1⃣ 翻译规则如果A，那么B：A→B 只有A，才B：B→A 除非A，否则不B：B→A 除非A，否则B：⬂→A A是B的充分条件：A→B A是B的必要条件：B→A A并且B：A且B A或者B：A或B A和B至多有一个：⬁或⬂ 要么A，要么B：要么A，要么B 2⃣ 推理规则 “且”关系：同真才真，一假则假 “或”关系：一真则真，同假才假 3⃣ 德ⷦ‘馠𙥮š律 ⬯𜈁或B）＝⬁且⬂ ⬯𜈁且B）＝⬁或⬂ 𐟑𛠩›†合推理 1⃣ 基本命题所有S都是P：S→P 所有S都不是P：S→⬐ 有的S是P：有的S→P 有的S不是P：有的S→⬐ 2⃣ 换位命题所有S都是P ⇒有的P是S 所有S都不是P ⇔所有P都不是S 有的S是P ⇔有的P是S 3⃣ 推出关系所有S都是P ⇒某个S是P ⇒ 有的S是P 所有S都不是P ⇒某个S不是P ⇒ 有的S不是P 4⃣ 递推公式 A→B，B→C，推出：A→B→C 中间连项B，表达“所有” 𐟑𛠧œŸ假推理 1⃣ 矛盾关系规则：必有一真，必有一假 6组矛盾 A vs ⬁ 所有S都是P vs 有的S不是P 所有S都不是P vs 有的S是P A且B vs ⬁或⬂ A或B vs ⬁且⬂ P→Q vs P且⬑ 2⃣ 反对关系规则：两个所有，必有一假；两个有的，必有一真 2组反对所有S都是P vs 所有S都不是P 有的S是P vs 有的S不是P 3⃣ 推出关系所有S都是P ⇒某个S是P ⇒ 有的S是P 所有S都不是P ⇒某个S不是P ⇒ 有的S不是P A且B ⇒A（B）⇒A或B 𐟑𛠥䇨€ƒ资料题库：中公职测5000题、历年真题课程：陈.子.格事考，应试技巧学透之后进面更稳文具：活页本/A4纸、计时器

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